Вектори і проєкції у фізичних задачах

У фізиці всі величини поділяють на два великі класи: скалярні й векторні. Від того, чи є величина векторною, залежить, як її записувати, додавати й використовувати в законах.

Скалярні величини

Скалярна величина має лише числове значення (модуль) і не має напряму. Її можна додавати, віднімати, множити як звичайні числа. Приклади скалярів: маса ($5$ кг), час ($10$ с), шлях ($20$ м), температура ($300$ К), енергія ($100$ Дж), робота ($50$ Дж). Коли кажуть «маса тіла $5$ кг», напрям не потрібен — число вичерпно описує величину.

Векторні величини

Векторна величина, крім числового значення (модуля), має ще й напрям у просторі. Без напряму вона не визначена. Приклади векторів: переміщення, швидкість, прискорення, сила, імпульс. Наприклад, сказати «швидкість $10$ м/с» недостатньо — треба вказати, куди тіло рухається. Саме тому швидкість — вектор.

Позначення і модуль вектора

Вектор позначають стрілкою над символом: $\vec{a}$, $\vec{v}$, $\vec{F}$. Його модуль (довжину) записують як $a$ або $|\vec{a}|$ — це завжди невід'ємне число. На рисунку вектор зображують напрямленим відрізком: довжина відрізка в обраному масштабі дорівнює модулю, а стрілка показує напрям.

Рівність і протилежність векторів

Два вектори вважають рівними, якщо вони мають однакові модулі й однакові напрями. Вектор $\vec{a}$ і $\vec{b}$ рівні, навіть якщо їхні початки містяться в різних точках простору. Протилежний вектор $-\vec{a}$ має той самий модуль, але напрямлений протилежно до $\vec{a}$.

Множення вектора на число

Добуток $k\cdot \vec{a}$ — це вектор, напрям якого збігається з $\vec{a}$, якщо $k>0$, і протилежний $\vec{a}$, якщо $k<0$. Модуль отриманого вектора дорівнює $|k|\cdot a$. Наприклад, $2\vec{v}$ — вектор удвічі довший і в тому самому напрямі, а $-3\vec{F}$ — вектор з модулем $3F$, напрямлений протилежно до $\vec{F}$.

Чому це важливо для фізики

Переміщення, швидкість і прискорення — вектори. Якщо тіло рухається спочатку на північ, а потім на схід, не можна просто додати пройдені шляхи, щоб знайти переміщення. Напрями різні — отже, потрібні особливі правила додавання векторів, які ми розглянемо далі.

Проєкція вектора на вісь — це число зі знаком, яке показує, якою є «тінь» вектора на цій осі. Саме проєкції дають змогу перейти від геометричного рисунка до алгебраїчних рівнянь.

Що таке проєкція

Нехай є вісь $Ox$ і вектор $\vec{a}$. Опустимо перпендикуляри з початку й кінця вектора на вісь. Відстань між отриманими точками — це довжина проєкції. Якщо кут між вектором і додатним напрямом осі гострий, проєкція додатна; якщо тупий — від'ємна. Коли вектор перпендикулярний до осі, проєкція дорівнює нулю.

Формули проєкцій

Для взаємно перпендикулярних осей $Ox$ і $Oy$ проєкції обчислюють за формулами:

$$a_x=a\cdot \cos \alpha$$ $$a_y=a\cdot \sin \alpha$$

Тут $\alpha$ — орієнтований кут від додатного напряму осі $Ox$ проти годинникової стрілки до вектора $\vec{a}$. Якщо в задачі дано лише неорієнтований кут з $Ox$, знак $a_y$ визначають за рисунком.

Знак проєкції та особливі випадки

Наприклад, $\cos 120^{\circ }=-0,5$, тому вектор з модулем $8$ м/с під кутом $120^{\circ }$ до $Ox$ має проєкцію $v_x=8\cdot (-0,5)=-4$ м/с.

Таблиця значень косинуса (довідкові матеріали НМТ)

У довідкових матеріалах НМТ наведено такі значення:

Приклад обчислення проєкцій

Тіло рухається зі швидкістю $v=10$ м/с під кутом $60^{\circ }$ до додатного напряму осі $Ox$. Знайдемо проєкції:

$$v_x=10\cdot \cos 60^{\circ }=10\cdot 0,5=5\text{м/с}$$ $$v_y=10\cdot \sin 60^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 8,7\text{м/с}$$

Модуль вектора через проєкції

Якщо відомі проєкції вектора на дві взаємно перпендикулярні осі, його модуль знаходять за теоремою Піфагора:

$$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$$

Наприклад, вектор переміщення має проєкції $s_x=12$ м і $s_y=-5$ м. Його модуль:

$$s=\sqrt{12^2+(-5{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{м}$$

Як вибирати осі

На практиці вісь $Ox$ спрямовують уздовж руху тіла або вздовж напряму більшості векторів, які діють у задачі. Тоді багато проєкцій дорівнюватимуть $\pm a$ або $0$, що спрощує обчислення.

Додавати вектори не можна як звичайні числа, якщо їхні напрями різні. Для цього існують геометричні правила, які дають змогу знайти сумарний вектор (результуюче переміщення, рівнодійну силу тощо).

Правило трикутника

Щоб додати два вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ за правилом трикутника, початок вектора $\vec{b}$ переносять у кінець вектора $\vec{a}$. Тоді сума $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ — це вектор, проведений від початку $\vec{a}$ до кінця $\vec{b}$. Для трьох і більше векторів застосовують правило многокутника: вектори послідовно відкладають один за одним, а сума замикає ламану.

Правило паралелограма

Вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ відкладають зі спільного початку. На них будують паралелограм. Сума $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ — це діагональ паралелограма, що виходить з того самого початку. Обидва правила дають однаковий результат.

Модуль суми в окремих випадках

У загальному випадку модуль суми задовольняє нерівність: $|a-b|\le |\vec{a}+\vec{b}|\le a+b$.

Додавання через проєкції

Найзручніший спосіб додавання векторів у фізиці — через їхні проєкції. Проєкція суми дорівнює сумі проєкцій:

$$c_x=a_x+b_x$$ $$c_y=a_y+b_y$$

Після цього модуль суми знаходять за теоремою Піфагора: $c=\sqrt{c_x^2+c_y^2}$. Цей метод працює для будь-яких кутів між векторами.

Віднімання векторів

Віднімання — це додавання протилежного вектора: $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$. У фізиці часто трапляється зміна швидкості $\Delta \vec{v}=\vec{v}-{\vec{v}}_0$. Якщо м'яч налітає на стіну зі швидкістю $5$ м/с і відскакує назад з тією самою швидкістю $5$ м/с, то ${\vec{v}}_0=5$ м/с (до стіни), $\vec{v}=-5$ м/с (від стіни). Зміна швидкості:

$$\Delta v=v-v_0=(-5)-5=-10\text{м/с}$$ $$|\Delta \vec{v}|=10\text{м/с}$$

Модуль зміни швидкості дорівнює $10$ м/с, а не $0$, як можна було б помилково подумати, віднімаючи модулі.

Класичний приклад: турист

Турист пройшов $3$ км на північ, потім $4$ км на схід. Пройдений шлях — $7$ км. Але модуль переміщення (вектор від початкової до кінцевої точки) дорівнює $\sqrt{3^2+4^2}=5$ км. Саме переміщення — вектор, тому його знаходять за правилом паралелограма, а не додаванням модулів.

Розв'яжемо чотири типові задачі на вектори й проєкції, які можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Модуль переміщення туриста

Завдання: Турист пройшов $3$ км на північ, потім $4$ км на схід. Знайди модуль його переміщення (у кілометрах).

Розв'язання:

Переміщення — вектор, що з'єднує початкову й кінцеву точки. Вектори $3$ км (північ) і $4$ км (схід) перпендикулярні. Модуль суми знаходимо за теоремою Піфагора:

$$s=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{км}$$

Відповідь: $5$.

Типова помилка: додати модулі $3+4=7$ км. Так отримують пройдений шлях, а не переміщення.

Приклад 2. Проєкція сили на вісь

Завдання: Сила $F=20$ Н напрямлена під кутом $60^{\circ }$ до осі $Ox$. Яка її проєкція на вісь $Ox$?

Розв'язання:

Кут $\alpha =60^{\circ }$ — гострий, тому $F_x>0$. За формулою:

$$F_x=F\cdot \cos 60^{\circ }=20\cdot 0,5=10\text{Н}$$

Відповідь: $10$ Н.

• $17,3$ Н — обчислено $F\cdot \sin 60^{\circ }$ замість $\cos$.

• $20$ Н — взято модуль сили замість проєкції.

• $-10$ Н — хибний знак (кут гострий, проєкція додатна).

Приклад 3. Проєкція швидкості з тупим кутом

Завдання: Швидкість $v=8$ м/с напрямлена під кутом $120^{\circ }$ до додатного напряму осі $Ox$. Яка проєкція $v_x$?

Розв'язання:

Кут $\alpha =120^{\circ }$ — тупий, тому $v_x<0$. $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-0,5$.

$$v_x=8\cdot \cos 120^{\circ }=8\cdot (-0,5)=-4\text{м/с}$$

Відповідь: $-4$ м/с.

• $4$ м/с — забуто знак «мінус».

• $-6,9$ м/с — обчислено $v\cdot \sin 120^{\circ }\approx 6,9$ м/с і довільно приписано знак «мінус»; для проєкції на $Ox$ потрібен $\cos 120^{\circ }$.

• $0$ — помилкове припущення, що вектор перпендикулярний до осі (проєкція дорівнює нулю лише при куті $90^{\circ }$).

Приклад 4. Модуль вектора за проєкціями

Завдання: Вектор переміщення має проєкції $s_x=12$ м і $s_y=-5$ м. Знайди модуль переміщення (у метрах).

Розв'язання:

Модуль знаходимо за теоремою Піфагора:

$$s=\sqrt{s_x^2+s_y^2}=\sqrt{12^2+(-5{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{м}$$

Відповідь: $13$.

Зверни увагу: квадрат від'ємної проєкції $(-5{)}^2=25$ — додатний, тому модуль завжди невід'ємний.

На НМТ перевіряють не лише знання формул, а й уміння уникнути поширених пасток. Ось найчастіші помилки, які коштують балів.

• Додавати модулі векторів, напрямлених під кутом. Наприклад, $3$ км + $4$ км = $7$ км замість $\sqrt{3^2+4^2}=5$ км. Правильно: для неспівнапрямлених векторів модуль суми менший за суму модулів.

• Брати $\sin$ замість $\cos$, коли кут відраховано від осі $Ox$. Якщо $\alpha$ — кут з $Ox$, то $a_x=a\cdot \cos \alpha$, а $a_y=a\cdot \sin \alpha$. Плутанина виникає, коли кут дано від вертикалі — тоді $\cos$ і $\sin$ міняються місцями.

• Губити знак проєкції вектора, напрямленого проти осі. Якщо вектор напрямлений під кутом $120^{\circ }$ до $Ox$, його $\cos$ від'ємний, отже, проєкція від'ємна. Не можна просто взяти $a\cdot \cos 60^{\circ }$ і забути про знак.

• Вважати модуль від'ємним. Модуль вектора — завжди невід'ємне число. Від'ємною може бути лише проєкція.

• Брати кут між вектором і віссю без урахування напряму осі. Для кута $120^{\circ }$ деякі учні підставляють $\cos 60^{\circ }$, тому що «$120^{\circ }$ — це $60^{\circ }$ до осі». Але формула вимагає саме $120^{\circ }$, а $\cos 120^{\circ }=-0,5$.

• Вважати модуль зміни швидкості різницею модулів, коли напрям змінився. М'яч відскочив від стіни: $v_0=5$ м/с, $v=-5$ м/с. $|\Delta v|=10$ м/с, а не $0$. Зміна швидкості — вектор, тому напрям ураховують.

• Плутати проєкцію (число зі знаком) з модулем вектора. Проєкція може бути від'ємною, модуль — ні. Проєкція залежить від вибору осі, модуль — ні.

Розуміння векторів і проєкцій — наскрізна навичка, яку перевіряють у багатьох завданнях НМТ.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах НМТ-2026 наведено формули проєкцій вектора на осі координат: $a_x=a\cdot \cos \alpha$, $a_y=a\cdot \sin \alpha$. Також там є таблиця значень $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$ для кутів $0^{\circ }$, $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$. Цими даними можна й треба користуватися під час тесту.

Формат завдань

У демонстраційному варіанті НМТ-2026:

• Завдання № 1 (вибір однієї з чотирьох, $1$ бал) перевіряє відмінність шляху й переміщення — тобто розуміння, що переміщення — вектор, а шлях — скаляр.

• Завдання № 2 (вибір однієї з чотирьох, $1$ бал) — напрям прискорення за схемою сил, зображених у масштабі. Тут потрібно додати вектори сил (правило паралелограма або трикутника).

Програма НМТ містить додавання сил (тема 1.2) і вимагає розв'язувати задачі на рух під дією кількох сил. У розрахункових задачах (№ 17–22) запис проєкцій допомагає перейти від геометричного рисунка до алгебраїчних рівнянь, але він потрібен не в кожній задачі.

Стратегія виконання

Щоб не помилитися з векторами на НМТ, дотримуйся такого алгоритму:

1. Прочитай умову й визнач, які величини векторні.

2. Зроби схематичний рисунок і познач на ньому всі вектори.

3. Для кожного вектора познач кут з додатним напрямом осі $Ox$.

4. Запиши проєкцію зі знаком: $a_x=a\cdot \cos \alpha$.

5. Лише після цього підставляй числа з довідкової таблиці.

• Вектор має модуль і напрям; переміщення, швидкість, прискорення, сила — вектори.

• Скалярна величина має лише числове значення: маса, час, шлях, енергія, робота.

• Проєкція на вісь: $a_x=a\cdot \cos \alpha$, де $\alpha$ — кут з додатним напрямом осі $Ox$; знак проєкції показує напрям вектора відносно осі.

• Модуль вектора за проєкціями: $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

• Додавання векторів — за правилом трикутника або паралелограма.

• Для перпендикулярних векторів модуль суми — за теоремою Піфагора: $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

• Проєкція суми дорівнює сумі проєкцій: $c_x=a_x+b_x$, $c_y=a_y+b_y$.

• Модулі векторів, напрямлених під кутом, не додають — це дає хибний результат.