Як виразити невідому величину з фізичної формули

Коли ти розв'язуєш фізичну задачу, найнадійніший шлях — спершу отримати формулу, у якій шукана величина виражена лише через дані умови й сталі, і лише після цього підставляти числа. Такий підхід називають «розв'язок у загальному вигляді».

Що таке розв'язок у загальному вигляді

Ти записуєш формулу, де ліворуч стоїть шукана величина, а праворуч — вираз, що містить тільки відомі з умови величини та фізичні сталі. Наприклад, тіло рушає зі спокою з прискоренням a і проходить шлях s. Треба знайти швидкість v у кінці шляху. Загальний вигляд:

$$v=\sqrt{2as}$$

Тільки після цього ти підставляєш числа: a = 3 м/с², s = 50 м →

$$v=\sqrt{2\cdot 3\cdot 50}=\sqrt{300}\approx 17,3\text{м/с}$$

Переваги загального вигляду

• Менше арифметики: ти обчислюєш один раз, а не на кожному кроці.

• Немає накопиченого округлення: проміжні числа не спотворюють кінцевий результат.

• Часто скорочується величина, якої немає в умові. Наприклад, у формулі v = √(2Eк/m) маса m може скоротитися, якщо Eк виражено через інші дані.

• Видно, як результат залежить від даних: подвоєння a подвоює v², але v зростає лише в √2 разів.

Похибка проміжного округлення

Ось чому варто уникати проміжних обчислень. Тіло рушає зі спокою, s = 50 м, a = 3 м/с². Якщо спершу знайти час:

$$t=\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{100}{3}}\approx 5,8\text{с}$$

а потім швидкість: v = at ≈ 3 · 5,8 = 17,4 м/с, то відповідь до десятих різниться від правильної 17,3 м/с, отриманої з кінцевої формули v = √(2as) = √300 ≈ 17,3 м/с. Похибка в 0,1 м/с виникла через округлення часу до 5,8 с замість 5,7735… с.

Якщо проміжне число неминуче (наприклад, його треба записати в чернетку), зберігай у ньому на 1–2 значущі цифри більше, ніж потрібно у відповіді.

Перевірка за одиницями

Це простий спосіб виявити помилку в перетворенні формули. У кінцеву формулу замість величин підстав їхні одиниці СІ. Наприклад, перевіряємо формулу

$$s=\frac{v^2}{2a}$$

Підставляємо одиниці: (м/с)² : (м/с²) = м²/с² · с²/м = м. Одиниця шляху — метр, усе збігається.

Якби після перетворень у тебе вийшло s = v² · a, то одиниця була б (м/с)² · (м/с²) = м³/с⁴ — це не метр, отже, у перетворенні помилка.

Перевірка одиниць не ловить помилок у числових множниках (2, π, ½). Якщо ти забув двійку в знаменнику, одиниця все одно буде метр — перевіряй множники окремо.

Будь-яке перетворення формули — це рівносильне перетворення: ти виконуєш ту саму дію з обома частинами рівності. Невідому величину «звільняють» у порядку, оберненому до того, в якому вона була «вкладена» під час обчислення.

Добуток і дріб

Найпростіший випадок — формула, де шукана величина множиться або ділиться на іншу.

Запам'ятай: множник переноситься через знак рівності діленням, дільник — множенням.

Доданок

Якщо шукана величина входить до суми або різниці, спершу відокрем доданок, що містить її, а вже потім діли.

Приклад: v = v₀ + at. Виразимо прискорення a:

1. Переносимо v₀ ліворуч: at = v − v₀

2. Ділимо на t: a = (v − v₀) / t

Поширена помилка: ділити лише частину виразу. Не можна писати a = v/t − v₀ — це порушує рівносильність.

Квадрат

Якщо шукана величина піднесена до квадрата, спершу вирази квадрат, а потім добудь додатний квадратний корінь.

Приклад: кінетична енергія

$$E_{к}=\frac{m{v}^2}{2}$$

Виражаємо модуль швидкості v:

1. Множимо обидві частини на 2: 2Eк = mv²

2. Ділимо на m: v² = 2Eк / m

3. Добуваємо додатний корінь: v = √(2Eк / m)

Беремо лише додатний корінь, бо модуль швидкості (або інша фізична величина, що є модулем) не може бути від'ємним.

Корінь

Якщо шукана величина стоїть під коренем, підносимо обидві частини рівняння до квадрата.

Приклад: v = √(2gh). Виразимо висоту h:

1. Підносимо до квадрата: v² = 2gh

2. Ділимо на 2g: h = v² / (2g)

Обернені величини

Коли невідома входить до виразу як обернена величина, спершу зведи праву частину до спільного знаменника, а потім «переверни» обидві частини.

Приклад: 1/x = 1/a + 1/b. Виразимо x:

1. Зводимо праву частину: 1/x = (a + b) / (ab)

2. Перевертаємо обидві частини: x = ab / (a + b)

Не можна «перевертати» кожен доданок окремо: 1/x = 1/a + 1/b не дорівнює x = a + b. Правильно: x = ab / (a + b).

У багатьох задачах дані пов'язані не однією, а двома чи трьома формулами. Спільна величина, яка з'єднує ці формули, дозволяє «виключити» її й отримати один загальний вираз.

Як виключити спільну величину

Алгоритм простий: з однієї формули виражаєш спільну величину, а потім підставляєш цей вираз у другу формулу.

Приклад: рух зі стану спокою

Тіло рушає зі стану спокою. Відомі прискорення a і час t. Швидкість: v = at. Шлях: s = at²/2. Як виразити шлях через v і a, не знаючи t?

1. З v = at виражаємо t = v / a.

2. Підставляємо в s = at²/2: s = a · (v/a)² / 2 = a · v² / a² / 2 = v² / (2a).

Отримали компактну формулу

$$s=\frac{v^2}{2a}$$

Цікаво, що той самий шлях можна записати ще простіше: s = vt/2. Переконайся: підстав t = v/a → s = v · (v/a) / 2 = v²/(2a).

Ланцюжок підстановок

Коли формул більше ніж дві, підстановки можна виконувати послідовно.

Нагрівання без фазового переходу

Кількість теплоти Q = cmΔt. Маса m = ρV. Підставляємо m:

$$Q=c\cdot \rho V\cdot \Delta t=c\rho V\Delta t$$

Тепер для обчислення Q достатньо знати питому теплоємність c, густину ρ, об'єм V і зміну температури Δt.

Потужність і робота

Робота A = Fs. Потужність P = A/t. Підставляємо A:

$$P=\frac{Fs}{t}=Fv$$

Тут v = s/t — швидкість рівномірного руху. Отже, для сталої сили, що діє вздовж напрямку руху, потужність дорівнює добутку сили на швидкість.

Тиск твердого тіла

Тиск p = F/S. Сила тяжіння F = mg. Підставляємо:

$$p=\frac{mg}{S}$$

Тепер тиск виражено через масу, прискорення вільного падіння й площу опори.

Коли підстановка працює, а коли ні

Для однозначного визначення невідомої потрібна система з незалежних рівнянь. Якщо ти просто переписуєш ту саму формулу в іншому вигляді, нової інформації це не додає. Наприклад, з s = at²/2 і t = √(2s/a) підстановка t у s = at²/2 дасть s = a · (2s/a) / 2 = s — це не нове рівняння, а тотожність, яка не визначає жодної величини.

Розв'яжемо кілька типових задач, які трапляються на НМТ. Уважно стеж за порядком: спершу загальний вираз, потім числа.

Приклад 1. Шлях через швидкість і прискорення

Тіло рушає зі стану спокою з прискоренням 2 м/с² і набуває швидкості 12 м/с. Вирази шлях через v і a та знайди його в метрах.

Розв'язання:

1. Записуємо формули: v = at, s = at²/2.

2. Виражаємо t = v/a.

3. Підставляємо: s = a · (v/a)² / 2 = v² / (2a).

4. Підставляємо числа: s = (12 м/с)² / (2 · 2 м/с²) = 144 / 4 = 36 м.

Відповідь: 36.

Чому не 72? Якщо забути поділити на 2 (наприклад, узяти s = v²/a або s = vt з t = v/a = 6 с), вийде 144 / 2 = 72 — це неправильно. Формула s = vt/2 рівносильна s = v²/(2a) і дає той самий результат 36.

Приклад 2. Швидкість з кінетичної енергії

М'яч масою 0,4 кг має кінетичну енергію 20 Дж. Знайди модуль його швидкості в м/с.

Розв'язання:

1. Формула: Eк = mv² / 2.

2. Виражаємо v: v² = 2Eк / m → v = √(2Eк / m).

3. Підставляємо: v = √(2 · 20 / 0,4) = √(40 / 0,4) = √100 = 10 м/с.

Відповідь: 10.

Поширена помилка: забути помножити Eк на 2. Тоді v = √(20 / 0,4) = √50 ≈ 7,1 — неправильно.

Приклад 3. Нагрівання води

2 л води нагріли на 50 °C. Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг · °C), густина ρ = 1000 кг/м³. Склади вираз Q = cρVΔt і знайди кількість теплоти в кілоджоулях.

Розв'язання:

1. Переводимо об'єм у м³: 2 л = 2 · 10⁻³ м³ = 0,002 м³.

2. Загальний вираз: Q = cρVΔt.

3. Підставляємо: Q = 4200 · 1000 · 0,002 · 50.

4. Обчислюємо: 4200 · 1000 = 4 200 000; 4 200 000 · 0,002 = 8400; 8400 · 50 = 420 000 Дж = 420 кДж.

Відповідь: 420.

Зверни увагу: об'єм у літрах треба перевести в кубічні метри, інакше результат буде хибним.

Приклад 4. Швидкість без проміжного округлення

Тіло рушає зі спокою з прискоренням 3 м/с² і проходить 50 м. Знайди швидкість у кінці шляху в м/с, округливши до десятих.

Розв'язання:

1. Загальний вираз: v = √(2as).

2. Підставляємо: v = √(2 · 3 · 50) = √300.

3. Обчислюємо: √300 ≈ 17,3205… → округлюємо до десятих: 17,3 м/с.

Відповідь: 17,3.

Якщо спершу знайти час t = √(2s/a) = √(100/3) ≈ 5,8 с, а потім v = at ≈ 17,4 м/с, то відповідь буде хибною. Проміжне округлення «з'їдає» точність.

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час перетворення формул, і як їх уникнути.

• Підставляти числа на кожному кроці й округлювати проміжні результати — відповідь до десятих «з'їжджає». Завжди спершу отримуй загальний вираз, потім підставляй числа один раз.

• Переносити множник через знак рівності, не замінюючи дію оберненою. Наприклад, з s = vt пишуть t = sv. Правильно: t = s / v.

• Ділити лише частину виразу. З v = v₀ + at помилково пишуть a = v/t − v₀. Правильно: спершу at = v − v₀, потім a = (v − v₀) / t.

• Забувати добути корінь після виразу квадрата. З Eк = mv²/2 отримали v² = 2Eк/m, але записують v = 2Eк/m, пропускаючи корінь. Або беруть від'ємний корінь для модуля швидкості — фізичний зміст вимагає додатного.

• У формулі з оберненими величинами «перевертати» кожен доданок окремо: з 1/x = 1/a + 1/b пишуть x = a + b. Правильно: x = ab / (a + b).

• Підставляти числа не в одиницях СІ (грами замість кілограмів, сантиметри замість метрів, літри замість кубічних метрів, хвилини замість секунд). Загальний вираз може бути правильним, але відповідь — хибною.

Розуміння того, як саме перевіряють уміння виражати величини з формул, допоможе тобі правильно розподілити час на іспиті.

Довідкові матеріали НМТ

На НМТ-2026 ти отримаєш довідкові матеріали, які містять формули до всіх 17 тем програми. Але ці формули не розв'язані щодо кожної величини — шукану величину з них виражаєш ти сам. Наприклад, у довіднику є Eк = mv²/2, але немає готового виразу v = √(2Eк/m).

Формат завдань № 17–22

Завдання № 17–22 — це розрахункові задачі з короткою відповіддю. Вони оцінюються в 0 або 2 бали без часткових балів. Якщо ти помилився в перетворенні формули або в округленні — отримуєш 0 балів, навіть якщо хід думки був правильним.

Відповідь у № 17–22 — ціле число або десятковий дріб. Одиницю вимірювання вказано в умові, тому в поле відповіді вводиш лише число.

Особливості демонстраційного варіанта 2026

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 числа підібрано так, щоб обчислення можна було виконати без калькулятора. Наприклад, у № 18 використано наближення π² = 10. Тому тобі вигідно спершу спростити загальний вираз — часто після скорочень залишаються прості числа, які легко порахувати усно.

Стратегія виконання

1. У чернетці вирази шукану величину в загальному вигляді.

2. Перевір одиниці: підстав замість величин їхні одиниці СІ — має вийти одиниця шуканої величини.

3. Лише після цього підставляй числа й обчислюй.

4. Введи й збережи відповідь — тільки число, без одиниці.

• Спершу отримай загальний вираз — формулу, де шукана величина виражена лише через дані. Потім підстав числа в СІ один раз.

• Дія, обернена до тієї, що «тримає» величину: множення ↔ ділення, квадрат ↔ корінь.

• Спершу відокрем доданок, що містить невідому, потім діли.

• Спільну величину виключають підстановкою: з v = at і s = at²/2 маємо s = v²/(2a).

• Проміжні числа не округлюй — це спотворює кінцевий результат.

• Одиниця кінцевої формули має збігтися з одиницею шуканої величини. Перевір це перед підстановкою чисел.