Розташування коренів квадратного тричлена

Нехай маємо квадратний тричлен f(x) = ax² + bx + c, де a ≠ 0. Позначимо його корені x₁ і x₂, причому x₁ ≤ x₂. Залежно від того, де розташований графік — парабола — відносно осі Ox, ми можемо сказати, чи лежить задане число m між коренями, чи обидва корені більші за m, чи менші. Для цього використовують три ключові величини.

Дискримінант D = b² − 4ac

Дискримінант визначає, чи має тричлен дійсні корені: D > 0 — два різні корені; D = 0 — один корінь (два однакові); D < 0 — дійсних коренів немає. Якщо ми щось вимагаємо від коренів, найперше слід переконатися, що вони взагалі існують: D ≥ 0. Коли ж задача вимагає двох різних коренів, умова стає строгою: D > 0.

Абсциса вершини x₀ = −b/(2a)

Вершина параболи лежить рівно посередині між коренями. Тобто x₀ = (x₁ + x₂)/2. Ця властивість дає змогу прив'язати розташування обох коренів до числа m: якщо обидва корені більші за m, то й вершина обов'язково більша за m: x₀ > m. Якщо обидва корені менші — то x₀ < m. А от коли m лежить між коренями, вершина може опинитися по будь-який бік від m — інформації про вершину тут недостатньо.

Знак добутку a · f(m)

Найпотужніший інструмент — значення тричлена в точці m, помножене на старший коефіцієнт a. Він працює однаково для будь-якого напряму віток параболи.

Розгляньмо три можливі випадки:

• a · f(m) < 0 ⇒ число m лежить строго між коренями тричлена. При цьому D > 0 автоматично, адже корені існують і різні.

• a · f(m) > 0 ⇒ число m розташоване поза відрізком [x₁; x₂] або коренів немає. Для того щоб з'ясувати, чи обидва корені по один бік від m, потрібні додаткові умови — D і вершина.

• a · f(m) = 0 ⇒ m збігається з одним із коренів: m = x₁ або m = x₂.

Чому множать саме на a? Уявімо, що a < 0 — вітки параболи спрямовані вниз. Тоді знак f(m) протилежний до того, який він був би при додатному a. Множення на a «випрямляє» картину: незалежно від напряму віток умова a · f(m) < 0 завжди означає, що число m між коренями.

Проілюструємо це ескізами.

Як бачимо, в обох випадках a · f(m) < 0 відповідає тому самому геометричному факту — число між коренями. Саме тому множення на a — універсальний прийом.

Найчастіше в задачах з параметром треба з'ясувати, за яких значень параметра обидва корені квадратного тричлена більші (або менші) за задане число m. Для цього потрібна система з трьох умов.

Загальні схеми

Якщо корені мають бути різними, замість D ≥ 0 пишемо D > 0. Це важливий нюанс: коли говорять «два корені», мають на увазі саме два різні корені.

Розгорнутий приклад

Розглянемо рівняння x² − 2ax + a + 6 = 0. Знайдемо, за яких a обидва його корені більші за 1.

Крок 1. Дискримінант.

Обчислимо чверть дискримінанта: D/4 = a² − (a + 6) = a² − a − 6. Маємо a² − a − 6 = (a − 3)(a + 2).

Умова D ≥ 0 дає (a − 3)(a + 2) ≥ 0, звідки a ≤ −2 або a ≥ 3.

Крок 2. Вершина.

Абсциса вершини x₀ = −(−2a)/(2·1) = a. Для того щоб обидва корені були більші за 1, вершина має бути праворуч від 1: a > 1.

Крок 3. Знак a · f(m).

Тут старший коефіцієнт дорівнює 1 (додатний), тому 1 · f(1) = f(1). Обчислюємо: f(1) = 1 − 2a + a + 6 = 7 − a. Умова 1 · f(1) > 0 дає 7 − a > 0, тобто a < 7.

Об'єднуємо всі три умови:

a ≤ −2 або a ≥ 3; a > 1; a < 7. Перетин цих проміжків — a ∈ [3; 7).

Чому потрібні всі три умови?

Перевірмо a = −3: D/4 = 9 + 3 − 6 = 6 ≥ 0, f(1) = 7 − (−3) = 10 > 0 — дві умови виконано. Але x₀ = −3 < 1! Справді, корені рівняння x = −3 ± √6 — обидва менші за 1. Отже, без умови на вершину ми отримали б хибний проміжок.

Окремий випадок: число m між коренями

Якщо потрібно, щоб число m лежало між коренями, достатньо однієї умови: a · f(m) < 0. Інші умови не потрібні, оскільки з a · f(m) < 0 автоматично випливає, що корені існують і різні (D > 0). Зокрема, «0 лежить між коренями» означає a · f(0) = a · c < 0 — тобто корені різних знаків. Цей окремий випадок ми детальніше розглянемо в розділі про теорему Вієта.

Коли потрібно, щоб обидва корені квадратного тричлена лежали в заданому інтервалі (m; n) або щоб проміжок [m; n] цілком містився між коренями, система умов розширюється. Розгляньмо обидві ситуації.

Обидва корені в інтервалі (m; n)

Для того щоб обидва корені належали відкритому інтервалу (m; n), потрібно виконати чотири умови:

• D ≥ 0 — корені існують;

• m < x₀ < n — вершина лежить усередині інтервалу;

• a · f(m) > 0 — обидва корені більші за m;

• a · f(n) > 0 — обидва корені менші за n.

Дві останні умови гарантують, що обидва корені не виходять за межі інтервалу. Якщо корені мають бути різними, замість D ≥ 0 пишемо D > 0.

Відрізок [m; n] між коренями

Якщо ж треба, щоб увесь проміжок [m; n] (чи інтервал (m; n)) лежав між коренями, умови простіші:

• a · f(m) < 0 — m лежить між коренями;

• a · f(n) < 0 — n лежить між коренями.

Обидві умови разом гарантують, що весь відрізок [m; n] міститься між коренями. Дискримінант тут автоматично додатний, як і в разі з однією точкою.

Рівно один корінь в інтервалі (m; n)

Якщо f(m) · f(n) < 0, то рівно один корінь рівняння f(x) = 0 лежить в інтервалі (m; n). Це випливає з неперервності квадратичної функції: на кінцях проміжку значення мають різні знаки, тому всередині є корінь, а другий корінь лежить поза відрізком [m; n]. Обернене твердження неправильне: рівно один корінь в (m; n) буває і тоді, коли f(m) · f(n) > 0. Так стається, якщо D = 0 і подвійний корінь x₀ = −b/(2a) лежить в (m; n): наприклад, f(x) = (x − 1)² на (0; 2) дає f(0) · f(2) = 1. Тому окремо перевір випадок D = 0, а також випадки, коли m або n є коренем.

Коли D — повний квадрат: явні корені

Іноді дискримінант (або його чверть) виявляється повним квадратом. Тоді корені виражаються явно через параметр, і систему умов можна записати безпосередньо на корені, минаючи громіздку систему з D, вершини та знака a · f(m).

Приклад 1. Рівняння x² − 2ax + a² − 1 = 0. Знайдемо D/4 = a² − (a² − 1) = 1. Отже, D/4 = 1 — повний квадрат. Корені: x = a ± 1, тобто x₁ = a − 1, x₂ = a + 1. Якщо потрібно, щоб обидва корені лежали в інтервалі (0; 4), записуємо:

a − 1 > 0 і a + 1 < 4 ⇒ a > 1 і a < 3 ⇒ 1 < a < 3.

Жодної системи з трьох-чотирьох умов — лише дві прості нерівності. Завжди починай розв'язання з перевірки, чи є дискримінант повним квадратом.

Приклад 2. Тричлен (x − 2)(x − a) має корені 2 та a. Тут умови на розташування записуються ще простіше: наприклад, «обидва корені більші за 1» означає 2 > 1 (виконано) і a > 1. Для «обидва корені в інтервалі (−3; 6)» маємо −3 < 2 < 6 (виконано) і −3 < a < 6.

Теорема Вієта дає зручний спосіб визначити знаки коренів квадратного тричлена без обчислення самих коренів. Для зведеного тричлена x² + px + q = 0 сума коренів дорівнює −p, а добуток — q. Для загального вигляду ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Умови знаків коренів

Важливо: умова D ≥ 0 обов'язкова! Якщо її пропустити, можна отримати хибний висновок. Наприклад, рівняння x² − x + 1 = 0 має суму коренів 1 і добуток 1 — обидва додатні, але D = 1 − 4 = −3 < 0, тому дійсних коренів взагалі не існує.

Розгорнутий приклад

Розглянемо рівняння x² + 2(a − 1)x + a + 5 = 0. Знайдемо, за яких a обидва його корені додатні.

Крок 1. Дискримінант. D/4 = (a − 1)² − (a + 5) = a² − 2a + 1 − a − 5 = a² − 3a − 4 = (a − 4)(a + 1) ≥ 0. Звідси a ≤ −1 або a ≥ 4.

Крок 2. Сума коренів: x₁ + x₂ = −2(a − 1) = −2a + 2 > 0 ⇒ a < 1.

Крок 3. Добуток коренів: x₁ · x₂ = a + 5 > 0 ⇒ a > −5.

Перетин усіх трьох умов: a ∈ (−5; −1]. Перевірка: при a = −2 маємо рівняння x² − 6x + 3 = 0 — D = 36 − 12 = 24 > 0, корені додатні. При a = −5 добуток a + 5 = 0, тому один корінь дорівнює 0 — це вже не «обидва додатні», бо нуль не є додатним числом.

Корені різних знаків

Для коренів різних знаків достатньо однієї умови: c/a < 0. При цьому D > 0 виконується автоматично, бо добуток коренів від'ємний, а отже корені існують і різні. Але слід пам'ятати: якщо один корінь дорівнює 0, то c = 0, і тоді c/a = 0 — це не підпадає під «корені різних знаків», оскільки нуль не має знака.

Зв'язок методів

Умова «обидва корені додатні» — це окремий випадок умови «обидва корені більші за 0». Для неї можна застосувати обидва підходи:

• Через теорему Вієта: D ≥ 0, −b/a > 0, c/a > 0.

• Через систему трьох умов: D ≥ 0, x₀ > 0, a · f(0) > 0.

Обидва підходи рівносильні. Обирай той, який дає простіші обчислення в конкретному рівнянні.

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі з НМТ на розташування коренів квадратного тричлена. Кожну задачу розбираємо покроково, з поясненням типових пасток.

Приклад 1. Число між коренями

Знайдіть суму цілих значень a, при яких число 2 лежить між коренями рівняння (a − 1)x² − 2x − 2a = 0.

Розв'язання:

Тут старший коефіцієнт a₁ = a − 1 залежить від параметра. Умова «число 2 лежить між коренями» записується як a₁ · f(2) < 0, де f(x) = (a − 1)x² − 2x − 2a.

Обчислимо f(2) = (a − 1)·4 − 4 − 2a = 4a − 4 − 4 − 2a = 2a − 8.

Тоді a₁ · f(2) = (a − 1)(2a − 8) < 0. Розв'язуємо нерівність методом інтервалів: корені a = 1 і a = 4. Парабола y = (a − 1)(2a − 8) — вітки вгору (коефіцієнт 2 > 0), отже нерівність виконується між коренями: 1 < a < 4.

Цілі значення a в цьому проміжку: 2 і 3. Їх сума: 2 + 3 = 5.

Відповідь: 5.

Пастка: Якщо записати просто f(2) < 0 (без множення на a − 1), отримаємо 2a − 8 < 0, тобто a < 4. Це дало б нескінченно багато цілих значень (всі від'ємні та 0, 1, 2, 3), що неправильно, бо при a = 0 маємо −x² − 2x = 0 — корені 0 і −2, число 2 не лежить між ними.

Приклад 2. Обидва корені більші за число

Знайдіть найменше ціле значення a, при якому рівняння x² − 2ax + 3a + 4 = 0 має два різні корені, більші за 1.

Розв'язання:

Старший коефіцієнт дорівнює 1 > 0. Записуємо три умови:

1. Два різні корені: D > 0. D/4 = a² − (3a + 4) = a² − 3a − 4 = (a − 4)(a + 1) > 0 ⇒ a < −1 або a > 4.

1. Вершина: x₀ = a > 1.

1. Знак: 1 · f(1) > 0, тобто f(1) = 1 − 2a + 3a + 4 = a + 5 > 0 ⇒ a > −5.

Перетин умов: a > 4 (з першої беремо праву частину, бо ліва a < −1 суперечить a > 1). Найменше ціле a > 4 — це 5.

Відповідь: 5.

Пастки: Відповідь 4 не підходить, бо при a = 4 маємо D = 0 — лише один корінь. Відповідь −4 виникає, якщо взяти ліву частину a < −1 (забули перевірити вершину a > 1).

Приклад 3. Корені різних знаків

Знайдіть кількість цілих значень a, при яких рівняння (a − 3)x² + 4x + a + 2 = 0 має корені різних знаків.

Розв'язання:

Старший коефіцієнт a₁ = a − 3, вільний член c = a + 2. Для коренів різних знаків потрібно c/a₁ < 0, тобто (a + 2)/(a − 3) < 0.

Розв'язуємо нерівність методом інтервалів: корені a = −2 і a = 3. Знак дробу — мінус між коренями: −2 < a < 3.

Цілі числа в цьому проміжку: −1, 0, 1, 2. Їх чотири.

Відповідь: 4.

Пастка: Іноді включають a = −2, але при a = −2 рівняння стає −5x² + 4x = 0, тобто x(−5x + 4) = 0, корені 0 і 4/5. Один корінь дорівнює 0 — це не належить до «різних знаків», бо нуль не має знака. Тому a = −2 не враховуємо.

Приклад 4. Обидва корені в інтервалі (явні корені)

Знайдіть суму цілих значень a, при яких обидва корені рівняння x² − 2ax + a² − 4 = 0 належать інтервалу (−3; 6).

Розв'язання:

Обчислимо D/4 = a² − (a² − 4) = 4. Дискримінант — повний квадрат. Корені: x = a ± 2, тобто x₁ = a − 2, x₂ = a + 2.

Умова «обидва корені в інтервалі (−3; 6)»:

a − 2 > −3 ⇒ a > −1

a + 2 < 6 ⇒ a < 4

Отже, −1 < a < 4. Цілі значення: 0, 1, 2, 3. Їх сума: 0 + 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Пастка: Якщо записати умову лише для одного кореня, наприклад a + 2 < 6 і a + 2 > −3 (тобто тільки для більшого кореня), отримаємо −5 < a < 4, що дасть зайві цілі числа.

Навіть досвідчені учні часто припускаються однотипних помилок у задачах на розташування коренів. Ось найпоширеніші з них.

• Перевіряють лише одну з трьох умов. Наприклад, для «обидва корені більші за m» пишуть тільки f(m) > 0, забуваючи про дискримінант і вершину. Без D ≥ 0 коренів може взагалі не існувати, а без x₀ > m вони можуть опинитися по різні боки від m. Завжди перевіряй усі три умови.

• Пишуть f(m) < 0 замість a · f(m) < 0. Коли старший коефіцієнт a від'ємний, знак f(m) сам по собі не показує, чи лежить m між коренями. Наприклад, при a = −1 умова f(m) < 0 відповідає a · f(m) > 0, тобто m поза коренями.

• Плутають D ≥ 0 і D > 0. Коли в задачі сказано «має два корені» або «два різні корені», потрібно D > 0. Якщо ж сказано «корені» або «розв'язки», іноді допускають і D = 0. Читай умову уважно.

• За теоремою Вієта перевіряють знаки суми й добутку без умови D ≥ 0. Як показано в попередньому розділі, рівняння x² − x + 1 = 0 має додатні суму й добуток, але коренів не існує (D < 0). Умова D ≥ 0 обов'язкова.

• Для «корені різних знаків» включають значення, за якого один корінь дорівнює 0. Умова c/a < 0 вимагає, щоб добуток коренів був строго від'ємним. Якщо c = 0, то один корінь дорівнює 0, і добуток дорівнює 0, а не від'ємний. Таке значення параметра не підходить.

• Не розглядають випадок, коли старший коефіцієнт з параметром дорівнює 0. Якщо в рівнянні (a − 1)x² − 2x − 2a = 0 ми не перевіримо a = 1, то пропустимо, що при a = 1 рівняння стає лінійним −2x − 2 = 0 і має рівно один корінь (який може задовольняти або не задовольняти умову). Завжди окремо перевіряй значення, які обертають старший коефіцієнт на нуль.

Розташування коренів квадратного тричлена — це інструмент для розв'язування рівнянь з параметром, що належить до профільного рівня (П) теми 2.1 програми ЗНО/НМТ з математики. На НМТ такі завдання виносяться на позицію 22 — останню в тесті.

Формат завдання 22 — коротка відповідь (одне число, записане десятковим дробом). Оцінювання: 0 або 2 бали без часткових балів. Це означає, що навіть маленька помилка в знаку нерівності або пропущена умова D ≥ 0 коштує всіх балів.

Як це виглядає на НМТ

У демоваріанті 2026 року завдання № 22 — показникове рівняння з параметром. Після заміни t = 3ˣ (де t > 0) рівняння зводиться до квадратного відносно t. Рівняння не має коренів x тоді й лише тоді, коли квадратне рівняння не має додатних коренів t; це теж задача на розташування коренів квадратного тричлена відносно 0. Саме тут знання з цього уроку дають змогу записати правильну систему умов.

Що є в довідкових матеріалах

У довідкових матеріалах НМТ є формули дискримінанта D = b² − 4ac, коренів квадратного рівняння та розкладу квадратного тричлена на множники a(x − x₁)(x − x₂). Умов розташування коренів там немає, тому їх, як і теорему Вієта, треба знати напам'ять.

Стратегія виконання

• Для кожної умови малюй ескіз параболи в чернетці. Це допоможе не пропустити жодної умови.

• Граничні значення параметра (де D = 0 або де виконується рівність) обов'язково перевіряй підстановкою в початкове рівняння.

• Якщо старший коефіцієнт містить параметр, окремо перевір значення, за якого він дорівнює нулю.

• Відповідь — одне число. Якщо в задачі питають суму, кількість або найменше ціле значення, уважно перечитай питання.

• Записуй відповідь десятковим дробом (наприклад, 5, а не п'ять).

• a · f(m) < 0 — m між коренями, і це єдина потрібна умова. З неї автоматично випливає D > 0.

• Обидва корені по один бік від m — три умови: D ≥ 0 (або D > 0 для різних коренів), x₀ > m (або x₀ < m), a · f(m) > 0.

• Обидва корені в (m; n) — чотири умови: D ≥ 0, m < x₀ < n, a · f(m) > 0, a · f(n) > 0.

• Знаки коренів за теоремою Вієта: обов'язково з умовою D ≥ 0. Різні знаки ⇔ c/a < 0, і тоді D > 0 автоматично.

• Якщо D — повний квадрат, знайди корені явно. Це часто спрощує розв'язання.

• Старший коефіцієнт з параметром — окремо перевір випадок, коли він дорівнює 0 (рівняння стає лінійним).