Глосарій

Координата x вершини параболи y = ax² + bx + c, яка обчислюється за формулою x₀ = −b/(2a). Якщо тричлен має корені, вона лежить посередині між ними.

Точка на числовій прямій, яка не входить у відповідь (позначається кружечком, у записі проміжку — круглою дужкою). У методі інтервалів виколюють нулі знаменника (завжди) та нулі чисельника при строгих нерівностях (> або <).

Швидкість човна, катера або іншого плавзасобу в стоячій воді (без урахування течії). Позначається v. За течією загальна швидкість дорівнює v + u, проти течії — v − u, де u — швидкість течії.

Метод розв'язування рівнянь з параметром, за якого рівняння записують у вигляді f(x) = a, будують графік функції y = f(x) і визначають кількість коренів як кількість точок перетину цього графіка з горизонтальною прямою y = a або сімейством прямих.

Метод, за яким кожне рівняння системи зображують графіком на координатній площині, а кількість розв'язків визначають як кількість спільних точок цих графіків.

Число D = b² − 4ac, яке визначає кількість коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0: D > 0 — два різні корені; D = 0 — один корінь; D < 0 — дійсних коренів немає.

Прийом розв'язування системи, коли замість x і y вводять нові змінні, наприклад u = x + y, v = xy. Це зводить систему до простіших рівнянь відносно u і v.

Метод розв'язування рівнянь, за якого повторюваний вираз позначають новою змінною t, розв'язують простіше рівняння для t, а потім повертаються до початкової змінної.

Функція, для якої більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁). На графіку — крива йде вгору під час читання зліва направо.

Нерівність вигляду ax² + bx + c > 0 (або <, ≥, ≤), де a ≠ 0. Її розв'язують через ескіз параболи: знаходять корені квадратного тричлена й за знаком старшого коефіцієнта визначають проміжки, де парабола лежить вище або нижче від осі Ox.

Рівняння виду Ax² + Bx + C = 0, де хоча б один із коефіцієнтів A, B або C містить параметр (букву, значення якої не задано). Дослідження такого рівняння потребує окремого розгляду значень параметра, за яких старший коефіцієнт A дорівнює нулю (лінійний випадок) і за яких A ≠ 0 (квадратний випадок, який аналізують через дискримінант).

Многочлен виду ax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числа і a ≠ 0. Якщо D ≥ 0, розкладається на множники першого степеня: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), де x₁, x₂ — корені рівняння ax² + bx + c = 0 (при D = 0 x₁ = x₂). Якщо D < 0, на такі множники не розкладається.

Значення параметра, за яких коефіцієнт при змінній x дорівнює нулю. Саме в цих точках змінюється кількість коренів, тому їх розглядають окремо, до ділення.

Значення змінної x, за яких квадратний тричлен ax² + bx + c дорівнює нулю. Знаходяться через дискримінант D = b² − 4ac за формулою x = (−b ± √D) / (2a).

Значення x, при якому множник виду (x - c)², (x - c)⁴ тощо дорівнює нулю. При переході через такий корінь знак виразу не змінюється, оскільки квадрат (або парний степінь) завжди невід'ємний.

Функція, яка має різні аналітичні формули на різних проміжках області визначення; для обчислення значення спершу визначають потрібний проміжок.

Нерівність, яку рівносильними перетвореннями можна звести до вигляду ax + b > 0 (або з <, ≥, ≤), де a і b — числа, а x — змінна.

Рівняння виду A · x = B, де A і B — вирази, що залежать від параметра. Досліджується за трьома випадками: A ≠ 0 (єдиний корінь), A = 0, B ≠ 0 (коренів немає), A = 0, B = 0 (безліч коренів).

Ситуація в рівнянні з параметром при x², коли старший коефіцієнт дорівнює нулю, і рівняння стає лінійним: Bx + C = 0. Цей випадок завжди треба перевіряти першим, оскільки досліджувати лінійне рівняння через дискримінант не можна.

Нерівність, у якій змінна міститься під знаком логарифма, наприклад log₂(x − 3) < 3, lg x ≥ 2, log₀,₅(x − 1) > −2.

Метод розв'язування системи рівнянь, за якого рівняння домножують на числа так, щоб коефіцієнти при одній змінній стали протилежними (або рівними), а потім додають (або віднімають) рівняння почленно, унаслідок чого ця змінна зникає.

Метод розв'язування раціональних нерівностей: звести дріб до порівняння з нулем, розкласти на лінійні множники, нанести нулі на числову пряму, визначити знаки на інтервалах (справа наліво, починаючи з «+») і вибрати потрібні проміжки за знаком нерівності.

Метод розв'язування системи рівнянь, за якого з одного рівняння виражають одну змінну через іншу, підставляють цей вираз (обов'язково в дужках) у друге рівняння, розв'язують лінійне рівняння з однією змінною, а потім знаходять другу змінну.

Спосіб розв'язування рівнянь і нерівностей з кількома модулями: нулі підмодульних виразів ділять числову пряму на проміжки, на кожному з яких модулі розкривають з певним знаком; знайдені розв'язки перетинають із цим проміжком (корені рівняння перевіряють на належність йому).

Усі значення, яких може набувати функція на заданій області визначення. Для тригонометричних рівнянь з параметром множина значень g(t) на відрізку [-1; 1] визначає, за яких a рівняння g(t) = a має корені.

Властивість функції бути зростаючою або спадною на проміжку. Для показникових нерівностей монотонність визначає, чи зберігається знак нерівності при переході до показників.

Нерівність, у якій змінна або вираз із змінною стоїть під знаком модуля, наприклад |x − 3| < 4 або |2x + 1| ≤ 7. Розв'язують геометрично (як відстань на числовій прямій) або алгебраїчно (розкриттям модуля за означенням).

Значення змінної, при якому вираз під знаком модуля дорівнює нулю. Ці точки ділять числову пряму на проміжки, на яких модуль розкривається зі знаком «+» або «−».

Запис двох або більше числових проміжків через знак ∪ (об'єднання). Використовується у відповідях квадратних нерівностей, коли розв'язки лежать у двох крайніх проміжках, наприклад (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).

Множина всіх значень змінної, за яких вираз має зміст. Для раціонального дробу це всі числа, крім тих, що перетворюють знаменник на нуль.

Множина допустимих значень нової змінної t після заміни, що випливає з області значень функції: t > 0 для t = a^x, будь-яке дійсне число для t = logₐ x і −1 ≤ t ≤ 1 для t = sin x або t = cos x.

Величина, яку потрібно виконати; позначається літерою A. Якщо обсяг не задано в конкретних одиницях, його приймають за 1 (одне ціле). Формула: A = p · t, де p — продуктивність, t — час.

Основа логарифма — це число a, яке підносять до степеня, щоб отримати аргумент логарифма. У записі log_a b число a є основою. Вимоги до основи: a > 0, a ≠ 1.

Буква (найчастіше a), яку в рівнянні вважаємо фіксованим, але невідомим числом. Для кожного значення параметра отримуємо окреме рівняння.

Вираз, що стоїть під знаком логарифма (у записі log_a b — це b). Для існування логарифма підлогарифмічний вираз має бути строго додатним (b > 0).

Запис вигляду a < f(x) ≤ b, рівносильний системі двох нерівностей. Розв’язують, виконуючи ту саму дію з усіма трьома частинами.

Нерівність, у якій змінна міститься в показнику степеня, наприклад 2^x > 8, (1/3)^x ≤ 27, 5^(x−1) < 0,2.

Показникове рівняння, коефіцієнти або вільний член якого залежать від параметра. Часто має вигляд A·a^{2x} + B·a^{x} + C = 0 і заміною t = a^{x} (t > 0) зводиться до квадратного рівняння для t, після чого умова задачі переноситься на корені t з урахуванням t > 0.

Обсяг роботи, який виконують за одиницю часу: деталей за годину, літрів за хвилину. Обсяг роботи дорівнює добутку продуктивності на час.

Нерівність, що містить дріб або добуток многочленів, наприклад (x - 1)(x + 4) > 0 або (x + 2)/(x - 3) ≤ 0. Розв'язується методом інтервалів після зведення до порівняння дробу з нулем.

Нерівності з однаковою множиною розв’язків. Рівносильними перетвореннями розв’язують нерівності: перенесення доданків, множення на додатне число, множення на від’ємне число зі зміною знака.

Рівняння, у якому крім змінної (x) є параметр (a). Розв'язати — означає для кожного значення параметра знайти всі корені або встановити, що їх немає.

Значення змінної, при підстановці якого нерівність перетворюється на правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність — знайти множину всіх її розв’язків.

Пара чисел (x; y), яка перетворює кожне рівняння системи на правильну числову рівність. Якщо пара задовольняє лише одне рівняння, вона не є розв'язком системи.

Умови, що визначають положення коренів квадратного тричлена відносно заданого числа або проміжку, з використанням систем нерівностей на дискримінант, абсцису вершини та знак a·f(m).

Відношення всього пройденого шляху до всього витраченого часу. Не дорівнює середньому арифметичному швидкостей на окремих ділянках, якщо час руху на цих ділянках різний.

Система рівнянь, яка не змінюється, якщо поміняти змінні x і y місцями. Розв'язки симетричної системи завжди утворюють пари (a; b) і (b; a), крім випадку a = b.

Два або більше лінійних рівнянь з двома змінними, об'єднаних фігурною дужкою, які мають виконуватися одночасно. Загальний вигляд: { a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ }.

Кілька нерівностей, які мають виконуватися одночасно. Її розв’язок — переріз множин розв’язків усіх нерівностей системи.

Система двох рівнянь з двома змінними, у якій хоча б одне рівняння містить змінну в другому степені (x², y² або xy). Розв'язком є впорядкована пара чисел (x; y), що задовольняє обидва рівняння.

Множина прямих, що мають спільну характеристику: однаковий кутовий коефіцієнт (паралельні прямі y = x + b) або проходять через спільну точку (прямі через початок координат y = kx). Параметром є вільний член b або кутовий коефіцієнт k.

Функція, для якої більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) < f(x₁). На графіку — крива йде вниз під час читання зліва направо.

Сума продуктивностей усіх учасників, які працюють разом. Для наповнювальних труб продуктивності додають, для зливних — віднімають. Спільний час = 1 : (спільна продуктивність).

Коефіцієнт при x² у квадратному рівнянні Ax² + Bx + C = 0. Визначає, чи є рівняння квадратним: за A ≠ 0 рівняння квадратне, за A = 0 — лінійне. У задачах з параметром значення A = 0 досліджують окремо як лінійний випадок.

Декілька нерівностей, об'єднаних сполучником «або»; розв'язком сукупності є об'єднання розв'язків кожної нерівності. Використовується для нерівностей виду |f(x)| > a, які зводяться до f(x) < −a або f(x) > a.

Якщо зведене квадратне рівняння x² + px + q = 0 має дійсні корені x₁ і x₂ (D ≥ 0), то x₁ + x₂ = −p, а x₁ · x₂ = q. Для загального рівняння ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Точка графіка функції, в якій змінюється аналітичний вираз функції або знак підмодульного виразу. У цій точці графік може мати злам — різку зміну напрямку.

Множина всіх чисел між двома межами, наприклад (−1; 3]. Кругла дужка — межу не включено, квадратна — включено; біля нескінченності дужка завжди кругла.

Швидкість, з якою скорочується відстань між двома об'єктами, що рухаються. Під час руху назустріч вона дорівнює сумі швидкостей (v₁ + v₂), під час руху навздогін — різниці (v₁ − v₂, де v₁ > v₂).

Швидкість, з якою вода в річці рухається відносно берега. Позначається u. Пліт пливе саме з цією швидкістю. Для човна швидкість за течією дорівнює v + u, а проти течії — v − u.