Кількість коренів квадратного рівняння з параметром

Рівняння виду Ax² + Bx + C = 0 є квадратним лише за умови, що старший коефіцієнт A ≠ 0. Якщо ж A = 0, рівняння стає лінійним: Bx + C = 0. Саме тому, коли старший коефіцієнт містить параметр, першим кроком завжди треба перевірити, чи існує значення параметра, за якого він дорівнює нулю. Це називають лінійним випадком.

Розгляньмо рівняння (a − 1)x² + 2x + 3 = 0. Тут старший коефіцієнт A = a − 1. Якщо a = 1, то A = 0, і рівняння зводиться до 2x + 3 = 0. Розв'язавши його, отримуємо x = −1,5 — єдиний корінь. Якщо ж a ≠ 1, то рівняння квадратне, і кількість його коренів визначає дискримінант.

Лінійний випадок може дати не лише один корінь, а й жодного. Наприклад, у рівнянні (a − 2)x² + (a − 2)x + 1 = 0 при a = 2 старший коефіцієнт дорівнює нулю, але й коефіцієнт при x теж стає нульовим: 0 · x + 1 = 0, тобто 1 = 0 — суперечність. Отже, при a = 2 рівняння коренів не має.

Формулювання завдання підказує, чи треба враховувати лінійний випадок. Якщо сказано «рівняння має єдиний корінь», то це може бути як лінійний випадок з одним коренем, так і квадратний випадок з D = 0. Якщо ж сказано «квадратне рівняння має…», то лінійний випадок виключено самою умовою — старший коефіцієнт свідомо не дорівнює нулю.

Запам'ятай: дослідження рівняння з параметром при x² завжди починається з перевірки значення, за якого старший коефіцієнт дорівнює нулю. Це — ключова навичка, яку перевіряють у завданні 22 НМТ.

Для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 дискримінант обчислюють за формулою D = b² − 4ac. Він визначає кількість коренів: D > 0 — два різні корені, D = 0 — один корінь (два збіжні), D < 0 — коренів немає. Коли коефіцієнти містять параметр, дискримінант стає виразом від цього параметра, і умову на D розв'язують як рівняння чи нерівність відносно параметра.

Найпростіший випадок: параметр лише у вільному члені

Розгляньмо рівняння x² − 4x + a = 0. Тут A = 1, B = −4, C = a. Дискримінант: D = (−4)² − 4 · 1 · a = 16 − 4a. Отже:

• два корені, коли 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4

• один корінь (x = 2), коли 16 − 4a = 0 ⇒ a = 4

• жодного кореня, коли 16 − 4a < 0 ⇒ a > 4

Параметр у коефіцієнті b: квадратна нерівність відносно a

Рівняння x² + ax + 9 = 0. Тут A = 1, B = a, C = 9. Дискримінант: D = a² − 4 · 1 · 9 = a² − 36. Розв'язуємо нерівність a² − 36 > 0 — це квадратна нерівність відносно a. Її розв'язок: a < −6 або a > 6. Отже:

• два корені при a < −6 або a > 6

• один корінь при a = −6 або a = 6

• жодного кореня при −6 < a < 6

Парний другий коефіцієнт: формула D/4

Коли другий коефіцієнт b = 2k — парне число, зручніше рахувати D/4 = k² − ac. Це зменшує кількість обчислень і ризик помилки зі знаками.

Приклад: x² − 2(a + 1)x + 4a = 0. Тут b = −2(a + 1), отже k = −(a + 1). Тоді:

D/4 = [−(a + 1)]² − 1 · 4a = (a + 1)² − 4a = a² + 2a + 1 − 4a = a² − 2a + 1 = (a − 1)²

Оскільки (a − 1)² ≥ 0 для будь-якого a, то D/4 = 0 лише при a = 1 (тоді x = 2), а при a ≠ 1 маємо D/4 > 0 — два різні корені.

Обережно зі знаками! Квадрат від'ємного числа — додатний: b = −2a ⇒ b² = 4a², а не −4a². Також, якщо старший коефіцієнт A = a − 1, а вільний член C = a + 2, то добуток 4AC = 4(a − 1)(a + 2) — обов'язково беріть вираз у дужки, інакше втратите знак.

Коли старший коефіцієнт містить параметр, дослідження рівняння на кількість коренів виконують за єдиним алгоритмом. Розгляньмо його на блок-схемі.

Розгляньмо повне дослідження на прикладі рівняння (a + 1)x² − 4x + 1 = 0.

Крок 1. Лінійний випадок

Старший коефіцієнт A = a + 1. Прирівнюємо його до нуля: a + 1 = 0 ⇒ a = −1. Тоді рівняння стає лінійним: −4x + 1 = 0 ⇒ x = 0,25. Отже, при a = −1 рівняння має один корінь.

Крок 2. Квадратний випадок

При a ≠ −1 рівняння квадратне. Другий коефіцієнт b = −4 — парний, тому зручно скористатися формулою D/4 = k² − AC, де A — старший коефіцієнт, C — вільний член. Тут k = −2, A = a + 1, C = 1. Отже:

D/4 = (−2)² − (a + 1) · 1 = 4 − a − 1 = 3 − a

Тепер аналізуємо:

• Два різні корені: D/4 > 0 ⇒ 3 − a > 0 ⇒ a < 3. Враховуючи a ≠ −1, маємо a < 3, a ≠ −1

• Один корінь: D/4 = 0 ⇒ 3 − a = 0 ⇒ a = 3. Тоді x = −k/A = 2/(a + 1) = 2/4 = 0,5

• Коренів немає: D/4 < 0 ⇒ 3 − a < 0 ⇒ a > 3

Крок 3. Об'єднання випадків

Залежно від того, що питають у задачі, об'єднуємо результати:

Важливо розрізняти формулювання: «два різні корені» означає D > 0 (і старший коефіцієнт ≠ 0), а «має корені» — D ≥ 0 (у квадратному випадку). При D = 0 корінь один, але його часто називають двома збіжними коренями.

Приклад 1. Єдиний корінь без параметра при x²

Завдання: При якому значенні a рівняння x² − 6x + a = 0 має єдиний корінь?

Розв'язання:

Старший коефіцієнт при x² дорівнює 1 і не залежить від a, тому лінійний випадок відсутній. Рівняння квадратне. Для єдиного кореня потрібно D = 0. Обчислюємо: D = (−6)² − 4 · 1 · a = 36 − 4a. Прирівнюємо до нуля: 36 − 4a = 0 ⇒ a = 9. Знайдений корінь: x = 6/2 = 3.

Відповідь: 9.

Пастки: відповідь 36 — забули множник 4 у формулі D = b² − 4ac; відповідь 3 — записали сам корінь рівняння, а не значення параметра a.

Приклад 2. Два різні корені з параметром при x²

Завдання: Знайдіть суму цілих значень a, при яких рівняння (a − 1)x² − 4x + a + 2 = 0 має два різні корені.

Розв'язання:

Крок 1 — лінійний випадок. При a = 1 старший коефіцієнт дорівнює нулю: 0 · x² − 4x + 3 = 0 ⇒ −4x + 3 = 0 ⇒ x = 0,75 — один корінь. Умова «два різні корені» виключає a = 1.

Крок 2 — квадратний випадок при a ≠ 1. Другий коефіцієнт b = −4, парний, тому D/4 = k² − AC, де k = −2, A = a − 1 (старший коефіцієнт), C = a + 2 (вільний член).

D/4 = (−2)² − (a − 1)(a + 2) = 4 − (a² + a − 2) = 4 − a² − a + 2 = −a² − a + 6.

Розкладемо на множники: −a² − a + 6 = −(a² + a − 6) = −(a + 3)(a − 2).

Умова D/4 > 0: −(a + 3)(a − 2) > 0 ⇒ (a + 3)(a − 2) < 0 ⇒ −3 < a < 2.

Крок 3 — об'єднання. На проміжку −3 < a < 2 цілі значення: −2, −1, 0, 1. Значення a = 1 належить проміжку, але його виключаємо: при a = 1 рівняння лінійне й має лише один корінь. Залишаються −2, −1, 0.

Сума: −2 + (−1) + 0 = −3.

Відповідь: −3.

Пастка: відповідь −2 — не виключили a = 1, яке належить проміжку −3 < a < 2, але дає лише один корінь, а потрібно два різні.

Приклад 3. Рівно один корінь

Завдання: Знайдіть суму всіх значень a, при яких рівняння (a + 2)x² + 6x + 3 = 0 має рівно один корінь.

Розв'язання:

Крок 1 — лінійний випадок. При a + 2 = 0 ⇒ a = −2. Тоді рівняння стає лінійним: 0 · x² + 6x + 3 = 0 ⇒ 6x + 3 = 0 ⇒ x = −0,5. Один корінь — умову виконано.

Крок 2 — квадратний випадок при a ≠ −2. Другий коефіцієнт b = 6 — парний, k = 3. D/4 = k² − AC = 9 − (a + 2) · 3 = 9 − 3a − 6 = 3 − 3a.

Для єдиного кореня: D/4 = 0 ⇒ 3 − 3a = 0 ⇒ a = 1. Тоді x = −k/A = −3/(a + 2) = −3/3 = −1 — один корінь.

Крок 3 — об'єднання. Рівно один корінь дають a = −2 (лінійний випадок) та a = 1 (D = 0). Сума: −2 + 1 = −1.

Відповідь: −1.

Пастка: відповідь 1 — забули лінійний випадок a = −2, який теж дає рівно один корінь.

Приклад 4. Коренів немає

Завдання: Знайдіть найменше ціле значення a, при якому рівняння x² − 2x + 3a − 1 = 0 не має коренів.

Розв'язання:

Старший коефіцієнт при x² дорівнює 1, тому лінійного випадку немає. Другий коефіцієнт b = −2, парний. k = −1. D/4 = k² − AC = (−1)² − 1 · (3a − 1) = 1 − 3a + 1 = 2 − 3a.

Умова «не має коренів»: D/4 < 0 ⇒ 2 − 3a < 0 ⇒ −3a < −2 ⇒ a > 2/3.

Найменше ціле число, більше за 2/3 (тобто 0,666…), — це 1.

Відповідь: 1.

Пастка: відповідь 0 — округлили 2/3 вниз, але нерівність строга, a > 2/3, тому a = 0 не підходить (0 < 2/3).

• Забувають лінійний випадок. Коли старший коефіцієнт містить параметр, дехто одразу обчислює дискримінант, не перевіривши, чи може рівняння стати лінійним. Це призводить до втрати цілого значення параметра. Правильно: спершу прирівняй старший коефіцієнт до нуля й розв'яжи лінійне рівняння.

• У відповідь «два різні корені» включають значення, за якого старший коефіцієнт дорівнює 0. Якщо при a = a₀ рівняння стає лінійним з одним коренем, то це a₀ не задовольняє умову «два різні корені», навіть якщо дискримінант додатний на всьому проміжку.

• Помиляються в обчисленні D з параметром. Найчастіші помилки: записують b² при b = −2a як −4a² замість 4a²; не беруть у дужки вираз c = a + 2 у добутку 4ac, через що втрачають знак.

• Плутають «два різні корені» (D > 0) і «має корені» (D ≥ 0). Якщо в завданні написано «має корені», то D = 0 підходить. Якщо «два різні корені» — D = 0 не підходить.

• При D = 0 вважають, що рівняння має два корені. Формально при D = 0 квадратне рівняння має один корінь (два збіжні). Для НМТ важливо: «рівно один корінь» = D = 0 або лінійний випадок.

• Розв'язуючи квадратну нерівність відносно a, беруть проміжок між коренями замість двох крайніх. Наприклад, для a² − 36 > 0 помилково пишуть −6 < a < 6 замість a < −6 або a > 6. Пам'ятай: для a² > m (при m > 0) розв'язок — два промені.

Рівняння з параметрами належать до профільного рівня (П) теми 2.1 програми НМТ з математики. Вимога рівня стандарту — «аналізувати й досліджувати рівняння … залежно від коефіцієнтів». Це означає, що саме вміння розглянути окремі випадки (лінійний, квадратний) і правильно застосувати дискримінант є ключовим.

У демоваріанті НМТ-2026 під номером 22 подано показникове рівняння з параметром. Однак у розібраних тестах НМТ 2023–2024 років (вибірка з відкритого датасету, не дані УЦОЯО) на позиції 22 траплялося й квадратне рівняння з параметром. Тому готуватися треба до будь-якого варіанта.

Завдання № 22 має формат короткої відповіді: 0 або 2 бали без часткових балів. Відповідь — одне число, записане десятковим дробом.

Дискримінант і формула коренів квадратного рівняння є в довідкових матеріалах, які видають на НМТ. Тому важливо не помилитися в підстановці виразів із параметром.

Рекомендована стратегія розв'язання:

• Окремо перевір значення параметра, за якого старший коефіцієнт дорівнює нулю — це лінійний випадок.

• Для квадратного випадку обчисли D (або D/4) як вираз від параметра, уважно з дужками.

• Розв'яжи рівняння чи нерівність відносно параметра.

• Граничні значення параметра обов'язково перевір підстановкою, чи не зникає старший коефіцієнт, чи справді виконується умова.

• Старший коефіцієнт з параметром — спершу перевір випадок, коли він дорівнює 0. Це лінійний випадок, і його не можна досліджувати через дискримінант.

• Далі D як вираз від параметра: D > 0 — два корені, D = 0 — один, D < 0 — жодного.

• Для парного другого коефіцієнта b = 2k рахуй D/4 = k² − ac — це спрощує обчислення.

• «Два різні корені» означає D > 0 і старший коефіцієнт ≠ 0.

• «Рівно один корінь» — це лінійний випадок з коренем або D = 0.

• Граничні значення параметра обов'язково перевір підстановкою: чи не зникає старший коефіцієнт, чи справді виконується умова.