Формули додавання й подвійного кута

Формули додавання — це основа для обчислення тригонометричних функцій кутів, яких немає в стандартній таблиці (15°, 75°, 105° тощо). Вони виражають синус і косинус суми або різниці двох кутів через синуси й косинуси цих кутів:

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

Зверни особливу увагу на знаки в косинусі: у формулі cos(α ± β) знак між добутками cos·cos і sin·sin є протилежним до знака між кутами. Тобто cos(α + β) має мінус (cos α cos β − sin α sin β), а cos(α − β) — плюс (cos α cos β + sin α sin β). Це найчастіша причина помилок під час застосування формул.

Чи є формули в довідці НМТ?

Формул додавання в довідці немає. Програма НМТ (тема 1.3) вимагає вміти їх застосовувати, але самі формули треба знати напам’ять. Тому вивчи їх як таблицю множення — без них не обійтися ні в обчисленнях, ні в завданнях на спрощення.

Обчислення через табличні кути: sin 75° і cos 15°

Кути 75° і 15° не є табличними, але їх можна подати як суму або різницю табличних кутів (30°, 45°, 60°). Ось як це працює.

Обчислимо sin 75°. 75° = 45° + 30°, тому:

$$\sin 75°=\sin (45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

Обчислимо cos 15°. 15° = 45° − 30°, тому:

$$\cos 15°=\cos (45°-30°)=\cos 45°\cos 30°+\sin 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

Цікаво, що sin 75° і cos 15° мають однакове значення (√6 + √2)/4 — це не випадково, адже sin 75° = cos 15° (формула зведення: sin(90° − α) = cos α).

Поширена омана: sin(α + β) ≠ sin α + sin β

Синус суми не дорівнює сумі синусів! Це груба помилка. Перевір на конкретному прикладі: sin 90° = 1, а sin 45° + sin 45° = √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41. Як бачиш, 1 ≠ √2. Ніколи не «розподіляй» синус або косинус на окремі доданки — завжди застосовуй правильну формулу додавання.

Формули додавання працюють в обидва боки. Якщо ти бачиш вираз, що складається з добутків sin·cos ± cos·sin або cos·cos ∓ sin·sin, його можна «згорнути» в синус або косинус одного кута. Це називають згортанням тригонометричного виразу.

Як розпізнати згортання

Ключова підказка: у структурі sin·cos ± cos·sin обидва добутки містять по одному синусу й одному косинусу — це синус суми або різниці. А в структурі cos·cos ∓ sin·sin обидва добутки — або косинуси, або синуси — це косинус суми або різниці.

Приклади згортання з буквами

Формули додавання допомагають спрощувати й буквені вирази. Розгляньмо кілька:

1) cos(α − β) − cos(α + β). Розпишемо кожен доданок:

$$\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )=(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )-(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )$$

$$=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \sin \beta$$

2) sin(α + β) − sin α cos β. Розпишемо перший доданок:

$$\sin (\alpha +\beta )-\sin \alpha \cos \beta =(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-\sin \alpha \cos \beta =\cos \alpha \sin \beta$$

Такі спрощення можуть трапитися й у завданнях на встановлення відповідності (логічні пари).

Якщо у формулах додавання покласти β = α, то отримаємо формули подвійного кута — тотожності, які виражають синус і косинус кута 2α через синус і косинус кута α:

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$

На відміну від формул додавання, sin 2α і cos 2α є в довідці НМТ. Однак це не означає, що їх не треба розуміти — ти маєш обирати потрібну з трьох форм косинуса подвійного кута залежно від виразу, який спрощуєш.

Зв'язок між формулами додавання і подвійного кута

Формули подвійного кута — окремий випадок формул додавання при β = α: sin 2α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos(α + α) = cos²α − sin²α. Якщо замінити cos²α = 1 − sin²α або sin²α = 1 − cos²α, отримаємо ще дві форми: 1 − 2 sin²α і 2 cos²α − 1.

Застосування справа наліво: згортання до табличного кута

Формули подвійного кута, як і формули додавання, читають в обидва боки. Поглянь, як згорнути вирази до значень табличних кутів:

• 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2

• cos²22,5° − sin²22,5° = cos 45° = √2/2

• 1 − 2 sin²15° = cos 30° = √3/2

• sin α cos α = ½ sin 2α

Обчислення за відомим значенням синуса

Нехай sin α = $0,6$, α ∈ (π/2; π). Треба знайти sin 2α і cos 2α.

Крок 1. Визначаємо знак cos α у заданій чверті. Кут α ∈ (π/2; π) — це друга чверть, де косинус відʼємний. Тому cos α < 0.

Крок 2. Знаходимо cos α з основної тригонометричної тотожності:

$${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-0,36=0,64\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{0,64}=-0,8$$

Крок 3. Обчислюємо sin 2α:

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot 0,6\cdot (-0,8)=-0,96$$

Крок 4. Обчислюємо cos 2α (можна будь-якою з трьох форм, наприклад 1 − 2 sin²α):

$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot 0,36=1-0,72=0,28$$

Увага: cos 2α знаходимо без урахування чверті кута α — формула cos 2α = 1 − 2 sin²α не потребує знака cos α. Для sin 2α знак cos α є критичним!

Наслідок: формули пониження степеня

З трьох форм cos 2α можна отримати формули пониження степеня — вони виражають квадрати синуса й косинуса через косинус подвійного кута:

$${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2},{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$

У довідці НМТ цих формул також немає. Їх виводять із cos 2α = 1 − 2 sin²α (для sin²α) та cos 2α = 2 cos²α − 1 (для cos²α). Вони стануть у пригоді в завданнях, де потрібно звести вираз із квадратами до першого степеня.

Поширена омана: sin 2α ≠ 2 sin α

Подвійний кут — це не подвоєння функції! sin 60° = √3/2 ≈ 0,866, а 2 sin 30° = 2 · 1/2 = 1. Як бачиш, 0,866 ≠ 1. Формула sin 2α = 2 sin α cos α обов'язково містить cos α, який «коригує» результат.

У цьому розділі ми навчимося спрощувати складніші вирази, використовуючи формули подвійного кута. Головне — правильно обрати одну з трьох форм косинуса подвійного кута залежно від того, які функції є у виразі.

Вибір потрібної форми cos 2α

Квадрат суми й різниці sin α та cos α

Розкриємо дужки у виразі (sin α + cos α)²:

$$(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+2\sin \alpha \cos \alpha =1+\sin 2\alpha$$

Аналогічно:

$$(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =1-\sin 2\alpha$$

Ці співвідношення корисні, коли треба пов'язати суму синуса й косинуса з подвійним кутом.

Різниця четвертих степенів

Спростимо cos⁴α − sin⁴α. Розкладемо як різницю квадратів:

$${\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )=\cos 2\alpha \cdot 1=\cos 2\alpha$$

Тут ми скористалися першою формою cos 2α = cos²α − sin²α.

Спрощення дробів

Розгляньмо кілька дробових виразів, які спрощуються через формули подвійного кута:

1) $\frac{\sin 2\alpha }{2\cos \alpha }$. Застосуймо формулу sin 2α = 2 sin α cos α:

$$\frac{\sin 2\alpha }{2\cos \alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{2\cos \alpha }=\sin \alpha$$

2) $\frac{\cos 2\alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }$. Тут cos 2α = cos²α − sin²α = (cos α − sin α)(cos α + sin α):

$$\frac{\cos 2\alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\frac{(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )}{\cos \alpha -\sin \alpha }=\cos \alpha +\sin \alpha$$

3) $\frac{1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }$. Використаємо cos 2α = 1 − 2 sin²α у чисельнику та sin 2α = 2 sin α cos α у знаменнику:

$$\frac{1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\frac{1-(1-2{\sin }^2\alpha )}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{2{\sin }^2\alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha$$

Порада: щоразу, бачачи дріб із тригонометричними функціями, спробуй замінити чисельник або знаменник за формулами подвійного кута, щоб скоротити спільні множники.

Приклад 1. Обчислити 2 sin 15° cos 15°

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Вираз 2 sin 15° cos 15° має вигляд правої частини формули подвійного кута sin 2α = 2 sin α cos α. Згортаємо його: 2 sin 15° cos 15° = sin(2·15°) = sin 30° = 1/2.

Відповідь: 1/2.

Розбір дистракторів:

• √3/2 — взято cos 30° замість sin 30°, плутанина з іншою формулою.

• √2/2 — можливий результат, якби у виразі було cos²22,5° − sin²22,5°.

• 1 — кут подвоїли, але зайвий множник 2 залишили: записали 2 sin 30° = 1 замість sin 30° = 1/2.

• 1/4 — хибне ділення: (sin 30°)/2 або (1/2)·(1/2).

Приклад 2. Обчислити cos 75° cos 15° − sin 75° sin 15°

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Вираз має структуру cos·cos − sin·sin, що відповідає правій частині формули cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Згортаємо: cos 75° cos 15° − sin 75° sin 15° = cos(75° + 15°) = cos 90° = 0.

Відповідь: 0.

Розбір дистракторів:

• 1/2 — узято cos(75° − 15°) = cos 60°, помилка у виборі знака формули.

• 1 — результат, якби cos 90° = 1, або помилка у згортанні.

• √3/2 — хибне згортання в sin 60°.

• −1 — сплутано знак: cos 90° = −1.

Приклад 3. Логічні пари: вираз ↔ значення

Завдання на встановлення відповідності (№ 17 НМТ). Для кожного виразу (1–3) обери його значення з переліку А–Д.

Вирази:

1. cos²22,5° − sin²22,5°

2. sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20°

3. 1 − 2 sin²75°

Значення:

• А) √2/2

• Б) √3/2

• В) −√3/2

• Г) 1/2

• Д) 1

Розв'язання.

1) cos²22,5° − sin²22,5° = cos(2·22,5°) = cos 45° = √2/2. Отже, 1–А.

2) sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20° = sin(40° + 20°) = sin 60° = √3/2. Отже, 2–Б.

3) 1 − 2 sin²75° = cos(2·75°) = cos 150°. Кут 150° — це друга чверть, косинус у другій чверті від'ємний: cos 150° = −cos 30° = −√3/2. Отже, 3–В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Зайві варіанти Г і Д — пастки: Г = 1/2 отримає той, хто в третьому виразі замість cos 150° обчислить sin 150°; Д = 1 — той, хто сплутає cos²22,5° − sin²22,5° з тотожністю cos²α + sin²α = 1. Якщо ж не врахувати знак у третьому виразі, вийде √3/2 — варіант Б.

Приклад 4. Знайти sin 2α, якщо sin α = 0,6, α ∈ (π/2; π)

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання.

Крок 1. Визначаємо знак cos α. Кут α ∈ (π/2; π) — друга чверть, де cos α < 0.

Крок 2. Знаходимо cos α: sin²α = $0,6^2=0,36$, отже cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, cos α = −√0,64 = −0,8.

Крок 3. Обчислюємо sin 2α: sin 2α = 2 sin α cos α = 2 · 0,6 · (−0,8) = −0,96.

Відповідь: −0,96.

Розбір дистракторів:

• 0,96 — cos α взято додатним (не враховано чверть).

• 1,2 — помилка sin 2α = 2 sin α, пропущено cos α.

• 0,28 — обчислено cos 2α замість sin 2α.

• −0,48 — пропущено множник 2 (узято sin α cos α замість 2 sin α cos α).

• sin 2α = 2 sin α — забувають множник cos α. Подвійний кут — це подвоєний добуток sin α cos α, а не подвоєний синус. Перевірка: sin 60° = √3/2, а 2 sin 30° = 1.

• sin(α + β) = sin α + sin β — синус (і косинус) не розподіляються на доданки. Це найгрубіша помилка. sin 90° = 1, а sin 45° + sin 45° = √2 ≈ 1,41.

• cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β — у косинусі суми знак між добутками протилежний до знака між кутами. Правильно: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.

• У виразі 2 sin 15° cos 15° замість sin 30° беруть cos 30° — плутають, яка формула дає синус, а яка — косинус подвійного кута. 2 sin α cos α = sin 2α, а не cos 2α.

• cos 2α = 1 − sin²α — пропущено множник 2. Правильно: cos 2α = 1 − 2 sin²α. Коефіцієнт 2 перед sin²α обов'язковий.

• Не враховано знак cos α у заданій чверті — під час обчислення sin 2α за відомим sin α. Якщо α ∈ (π/2; π), cos α від'ємний, і sin 2α = 2 sin α cos α теж від'ємний. Забуваючи про знак, отримують 0,96 замість −0,96.

Формули додавання та наслідки з них належать до теми 1.3 програми НМТ («Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення»). Ось що варто знати про формат перевірки:

• У довідці НМТ є sin 2α і cos 2α, але немає формул додавання й пониження степеня.

• У завданнях № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал: обчислити значення чи спростити тригонометричний вираз.

• У завданні № 17 — «логічні пари» «вираз ↔ значення»: три вирази (1–3) треба зіставити з п'ятьма варіантами значень (А–Д), по 1 балу за кожну правильну пару (максимум 3 бали).

Стратегія виконання

Якщо у виразі фігурує кут, якого немає в таблиці (15°, 22,5°, 75°, 105° тощо), шукай формулу, що зводить цей вираз до табличного кута. Наприклад:

• 2 sin 15° cos 15° → sin 30° — формула подвійного кута.

• cos²22,5° − sin²22,5° → cos 45° — те саме.

• sin 75° — подати як sin(45° + 30°) — формула додавання.

• 1 − 2 sin²75° → cos 150° (пам'ятай про знак за чвертю!) — формула подвійного кута в іншій формі.

Час на таке завдання — близько 1–2 хвилин. Якщо вираз не згортається за 30 секунд, перевір, чи не можна подати кут як суму/різницю табличних (75° = 45° + 30°, 15° = 45° − 30°).

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

• cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β — знак між добутками протилежний до знака між кутами

• sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1

• Формули працюють в обидва боки: згортання дає табличний кут

• Формул додавання в довідці НМТ немає — вчити напам'ять; sin 2α і cos 2α в довідці є