Формули зведення
~15 хв · 8 розділів · 10 тестових запитань
Формули зведення для аргументів π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π − α: мнемонічне правило зміни назви функції, визначення знака за чвертю, обчислення значень кутів, спрощення виразів.
Формули зведення — це інструмент, який дає змогу виразити тригонометричну функцію будь-якого кута через функцію гострого кута α (від 0° до 90°). Вони працюють для аргументів виду π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π − α (у градусах — 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α, 360° − α). Головне — щоразу відповісти на два запитання: чи змінюється назва функції, і який знак має результат.
Правило «кивка головою»
Уявімо одиничне коло. Кути π (180°) і 2π (360°) лежать на горизонтальній осі (вісь Ox). Кути π/2 (90°) і 3π/2 (270°) — на вертикальній осі (Oy). Мнемонічне правило звучить так: якщо аргумент починається з точки на вертикальній осі (π/2, 3π/2), то назва функції змінюється — синус переходить у косинус і навпаки, тангенс у котангенс і навпаки. Це наче «кивок головою» вздовж вертикалі: «так, змінюємо». Якщо ж аргумент починається з точки на горизонтальній осі (π, 2π), назва залишається тією самою — «голова хитає вбік: ні».
Що таке кофункція
Кофункція — це функція, з якою початкова утворює пару: для синуса кофункцією є косинус, для косинуса — синус, для тангенса — котангенс. У межах рівня стандарту НМТ тангенс і котангенс з формулами зведення використовують обмежено, тому найважливіша пара — sin ↔ cos.
Формули зведення в довідці НМТ
У довідці, яку видають на НМТ, є формули зведення лише для аргументів 90° + α і 180° − α: sin(90° + α) = cos α, cos(90° + α) = −sin α, tg(90° + α) = −1/tg α, sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, tg(180° − α) = −tg α. Решту виводять самостійно за мнемонічним правилом. Тому важливо не зазубрити таблицю, а навчитися міркувати: визначити, чи змінюється назва, а потім — знак.
Коли ми визначили, чи змінюється назва функції, наступний крок — установити знак результату. Для цього завжди вважають, що кут α — гострий (від 0° до 90°). Тоді аргумент формули зведення потрапляє в одну з чотирьох чвертей, і знак результату збігається зі знаком вихідної (початкової) функції в цій чверті.
Чверті аргументів
Ось як розташовуються аргументи за гострого α:
Аргумент | Чверть | Пояснення | Приклад знаку вихідної функції |
|---|---|---|---|
π/2 − α | I | 90° мінус гострий кут — гострий кут | sin > 0, cos > 0 |
π/2 + α | II | 90° + гострий — тупий, II чверть | sin > 0, cos < 0 |
π − α | II | 180° − гострий — теж II чверть | sin > 0, cos < 0 |
π + α | III | 180° + гострий — III чверть | sin < 0, cos < 0 |
3π/2 − α | III | 270° − гострий — III чверть | sin < 0, cos < 0 |
3π/2 + α | IV | 270° + гострий — IV чверть | sin < 0, cos > 0 |
2π − α | IV | 360° − гострий — IV чверть | sin < 0, cos > 0 |
Важливо: Знак беремо від вихідної функції, а не від тієї, яка вийшла після зміни назви. Наприклад, у cos(π + α) вихідна функція — косинус. Косинус у III чверті від'ємний, тому cos(π + α) = −cos α.
Основні формули зведення
Застосувавши обидва кроки (назва й знак), отримуємо найважливіші формули:
Формула | Зміна назви? | Чверть | Знак вихідної |
|---|---|---|---|
sin(π − α) = sin α | ні | II | sin > 0 → + |
cos(π − α) = −cos α | ні | II | cos < 0 → − |
sin(π + α) = −sin α | ні | III | sin < 0 → − |
cos(π/2 − α) = sin α | так (cos→sin) | I | cos > 0 → + |
sin(3π/2 − α) = −cos α | так (sin→cos) | III | sin < 0 → − |
cos(2π − α) = cos α | ні | IV | cos > 0 → + |
tg(π + α) = tg α | ні | III | tg > 0 → + |
tg(π − α) = −tg α | ні | II | tg < 0 → − |
Формула tg(π/2 + α) = −ctg α містить котангенс. У довідці НМТ її подано без котангенса: tg(90° + α) = −1/tg α, тож її теж варто вміти застосовувати. Проте якщо в завданні трапиться котангенс, діє те саме правило: для π/2 і 3π/2 назва змінюється (tg ↔ ctg), а знак визначають за чвертю.
Покроковий алгоритм
Визнач, чи містить аргумент π/2 або 3π/2 — якщо так, зміни назву на кофункцію. Якщо π або 2π — залиш назву без змін.
Уяви α гострим (0° < α < 90°) і визнач, у яку чверть потрапляє аргумент.
Згадай знак вихідної функції в цій чверті та постав його перед результатом.
Зведення кутів, більших за 90°
Кут, більший за прямий, подають як 180° ± α, 360° − α (або 90° + α, 270° ± α), де α — гострий кут. Після цього застосовують формули зведення.
Кут | Подання | Формула зведення | Значення |
|---|---|---|---|
cos 120° | cos(180° − 60°) | cos(π − α) = −cos α | −1/2 |
tg 225° | tg(180° + 45°) | tg(π + α) = tg α | 1 |
sin 300° | sin(360° − 60°) | sin(2π − α) = −sin α | −√3/2 |
cos 330° | cos(360° − 30°) | cos(2π − α) = cos α | √3/2 |
Той самий кут — різні способи
Один і той самий кут можна подати по-різному, і результат має збігатися. Для sin 120°:
sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2
sin(90° + 30°) = cos 30° = √3/2
Обидва способи дають √3/2 — це добра перевірка правильності.
Великі й від'ємні кути
Якщо кут більший за 360° або від'ємний, спершу використовують періодичність тригонометричних функцій. Синус і косинус мають період 360° (2π), тангенс — 180° (π).
Кут 750°: Відкидаємо повні оберти: 750° = 360°·2 + 30°. Отже, sin 750° = sin 30° = 1/2.
Від'ємний аргумент: sin(α − π) = −sin(π − α) = −sin α. Спочатку виносимо мінус через непарність синуса: sin(α − π) = −sin(π − α), потім зводимо sin(π − α) = sin α. Підсумок: sin(α − π) = −sin α.
Спрощення виразів
Коли вираз містить кілька доданків із формулами зведення, кожен зводять окремо, а потім спрощують.
Приклад А: sin(π + α) + cos(π/2 − α) = −sin α + sin α = 0
Приклад Б: cos(π − α) · cos(2π − α) = (−cos α) · (cos α) = −cos²α
Приклад В: sin(π/2 + α) − cos(π + α) = cos α − (−cos α) = cos α + cos α = 2 cos α
Порада: Записуй проміжний результат для кожного доданка окремо. Це дасть змогу не заплутатися в знаках.
Розгляньмо типові завдання НМТ, які перевіряють уміння застосовувати формули зведення.
Приклад 1. Спрощення суми
Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Спростити вираз: sin(π + α) + cos(π/2 − α).
Розв'язання
sin(π + α): π — горизонтальна вісь, назва не змінюється. Аргумент π + α — III чверть, синус там від'ємний. Отже, sin(π + α) = −sin α.
cos(π/2 − α): π/2 — вертикальна вісь, назва змінюється: cos → sin. Аргумент π/2 − α — I чверть, косинус там додатний. Отже, cos(π/2 − α) = sin α.
Додаємо: −sin α + sin α = 0.
Відповідь: 0.
Чому інші варіанти неправильні:
2 sin α — не змінено знак у sin(π + α) (має бути −sin α, а взято +sin α).
−2 sin α — перший доданок зведено правильно (−sin α), а другому помилково приписано знак «−»: cos(π/2 − α) = sin α, а не −sin α.
cos α − sin α — не змінено назву для другого доданка (cos(π/2 − α) = sin α, а не cos α).
1 — не відповідає жодному проміжному обчисленню.
Приклад 2. Обчислення cos 300°
Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Обчислити cos 300°.
Розв'язання
Подаємо кут як 300° = 360° − 60°. Аргумент 360° − α — IV чверть.
Формула: cos(2π − α) = cos α (назва не змінюється, у IV чверті cos > 0).
Отже, cos 300° = cos 60° = 1/2.
Відповідь: 1/2.
Чому інші варіанти неправильні:
−1/2 — помилково взято знак синуса в IV чверті (sin < 0), а треба знак косинуса (cos > 0).
√3/2 — це cos 30°, а не cos 60° (неправильно вибрано гострий кут).
−√3/2 — подвійна помилка: неправильний кут і неправильний знак.
0 — не відповідає жодному зведенню.
Приклад 3. Логічні пари
Завдання (логічні пари 1–3 → А–Д). Установи відповідність між виразом (1–3) і тотожним йому виразом (А–Д):
Вирази | Варіанти |
|---|---|
1) cos(π + α) | А) −cos α |
2) cos(3π/2 − α) | Б) −sin α |
3) tg(π − α) | В) −tg α |
Г) cos α | |
Д) sin α |
Розв'язання
cos(π + α): π — назва та сама. III чверть, cos < 0 → cos(π + α) = −cos α. Отже, 1 → А.
cos(3π/2 − α): 3π/2 — назва змінюється cos → sin. III чверть, cos < 0 → cos(3π/2 − α) = −sin α. Отже, 2 → Б.
tg(π − α): π — назва та сама. II чверть, tg < 0 → tg(π − α) = −tg α. Отже, 3 → В.
Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.
Приклад 4. Добуток значень
Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Обчислити sin 150° · cos 240°.
Розв'язання
sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.
cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2.
Добуток: (1/2) · (−1/2) = −1/4.
Відповідь: −1/4.
Чому інші варіанти неправильні:
1/4 — пропущено знак «мінус» у cos 240°.
−3/4 — для обох множників узято значення не того гострого кута: (√3/2) · (−√3/2) = −3/4.
−√3/4 — узято cos 240° = −√3/2 замість −1/2: (1/2) · (−√3/2) = −√3/4.
√3/4 — подвійна помилка в cos 240°: хибне значення (√3/2 замість 1/2) і пропущений знак «мінус».
Узято знак нової функції замість вихідної. Наприклад, cos(π/2 + α) = sin α. Тут помилка: π/2 — назва змінюється (cos→sin), але аргумент π/2 + α — II чверть, cos там від'ємний. Правильно: cos(π/2 + α) = −sin α. Завжди став знак тієї функції, яка була на початку (у цьому прикладі — косинуса), а вже потім записуй кофункцію.
Змінено назву функції для π чи 2π. Наприклад, sin(π − α) = cos α. Правило: π і 2π — горизонтальна вісь, назва залишається. Правильно: sin(π − α) = sin α.
Не змінено назву для π/2 чи 3π/2. Наприклад, sin(3π/2 − α) = −sin α. Тут π/2 і 3π/2 — вертикальна вісь, назва мусить змінитися. Правильно: sin(3π/2 − α) = −cos α.
Чверть аргументу визначено, вважаючи α тупим кутом. Правило «α — гострий кут» діє завжди, навіть якщо в умові α = 150°. Ми уявляємо α гострим (наприклад, 30°), визначаємо чверть аргументу, а формула працює для будь-якого α.
У cos(−α) змінено знак. Наприклад, cos(−60°) = −1/2. Помилка: косинус — парна функція, cos(−α) = cos α. Отже, cos(−60°) = cos 60° = 1/2. Формули зведення тут не працюють — це властивість парності.
Великий кут зведено без відкидання повних обертів 360°k. Наприклад, відкидають лише один оберт (sin 750° = sin 390°) і далі намагаються застосувати формули зведення до кута 390°. Спочатку треба відкинути всі повні оберти: 750° = 2·360° + 30°, тож sin 750° = sin 30° = 1/2. Лише якщо лишився кут > 90°, застосовують формули зведення.
Формули зведення належать до теми 1.3 програми НМТ — «Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення». Вони можуть зустрітися в завданнях різних форматів.
Формати завдань
Завдання № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). 0 або 1 бал. Пропонують спростити вираз або обчислити значення тригонометричної функції. Типові приклади: sin(π + α) + cos(π/2 − α), cos 300°, sin 150° · cos 240°.
Завдання № 17 — логічні пари. Три вирази (1–3) потрібно зіставити з тотожними виразами або числовими значеннями (А–Д, дві букви зайві). 0–3 бали. Наприклад, cos(π + α), cos(3π/2 − α), tg(π − α) та їхні спрощені форми.
Довідкові матеріали
У довідці, яку ти отримаєш на НМТ, є формули зведення лише для 90° + α і 180° − α:
sin(90° + α) = cos α
cos(90° + α) = −sin α
tg(90° + α) = −1/tg α
sin(180° − α) = sin α
cos(180° − α) = −cos α
tg(180° − α) = −tg α
Таблиця значень тригонометричних функцій містить кути 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°) і 2π (360°). Тому значення для кутів 120°, 225°, 300°, 330° тощо доведеться щоразу отримувати через формули зведення.
Стратегія виконання
Кожен доданок (або множник) опрацьовуй окремо: спочатку визнач, чи змінюється назва, потім — знак за чвертю.
Запиши проміжний результат після зведення для кожної частини.
Тільки після цього виконуй додавання, віднімання або множення отриманих одночленів.
Для великих кутів (> 360°) спершу відкинь всі повні оберти 360°k, потім зводь залишок.
Якщо не впевнений у відповіді, перевір її, обравши конкретне значення α (наприклад, α = 30°) і порівнявши числові результати обох частин.
Чому для π/2 назва функції змінюється, а для π — ні?
Тому що на одиничному колі π/2 і 3π/2 лежать на вертикальній осі (Oy), і мнемонічне правило каже: «кивок головою вгору-вниз — так, змінюємо назву». А π і 2π лежать на горизонтальній осі (Ox) — «голова хитає вбік — ні, назву не змінюємо». Це не просто зручний спосіб запам'ятовування, а відображення геометричної симетрії: зсув на π/2 змінює проєкцію точки на осях координат, тому синус стає косинусом і навпаки.
Знак якої функції брати — вихідної чи нової?
Завжди вихідної (тієї, що стоїть у формулі до зведення). Наприклад, у виразі cos(π + α) вихідна функція — косинус. Визначаємо чверть аргументу π + α (III), згадуємо знак косинуса в III чверті (від'ємний) і ставимо перед результатом «−». Назву функції змінюємо або ні за мнемонічним правилом, а знак беремо саме від косинуса. Помилка: брати знак нової функції (наприклад, для cos(π/2 + α) взяти знак синуса) — найчастіша пастка.
Чому можна вважати α гострим, якщо в умові кут довільний?
Тому що формули зведення виконуються для будь-якого α — не лише для гострого. Спосіб «вважаємо α гострим» — це лише мнемонічний прийом, який допомагає визначити чверть аргументу та знак. Якщо α насправді дорівнює 150°, ви все одно уявляєте замість нього, скажімо, 30°, знаходите чверть, де лежить аргумент π + α (або інший), і застосовуєте правило. Формула спрацює правильно.
Як звести кут 750° до табличного?
Спочатку треба відкинути всі повні оберти 360°: 750° ÷ 360° = 2, залишок 30°. Чому саме 360°, а не 180°? Тому що синус і косинус мають період 360° (2π). Отже, sin 750° = sin(360°·2 + 30°) = sin 30° = 1/2. Якщо після відкидання повних обертів лишається кут, більший за 90°, наприклад 300°, тоді застосовуємо формули зведення до залишку.
Що робити, якщо потрібної формули зведення немає в довідці?
У довідці є формули зведення лише для 90° + α і 180° − α (для sin, cos, tg). Решту треба виводити самостійно за мнемонічним правилом. Наприклад, для cos(π + α): π — на горизонтальній осі → назва не змінюється; π + α — III чверть, косинус там від'ємний → cos(π + α) = −cos α. Цієї формули в довідці немає, але двокроковий алгоритм дає правильний результат.
Назва функції: для π і 2π (горизонтальна вісь) назва залишається sin→sin, cos→cos; для π/2 і 3π/2 (вертикальна вісь) змінюється на кофункцію: sin↔cos, tg↔ctg.
Знак: визначається за знаком вихідної функції в тій чверті, куди потрапляє аргумент. α завжди вважають гострим кутом.
Великі кути (>360°): спершу відкинути всі повні оберти 360°k, потім, якщо потрібно, застосувати формули зведення до залишку.
Довідка НМТ: містить формули зведення лише для 90° + α і 180° − α (sin, cos, tg). Усі інші формули зведення виводять за мнемонічним правилом.
Спрощення: кожен доданок зводять окремо, записують проміжний результат, потім виконують додавання/множення.
Перевірка: обери конкретне значення α, наприклад 30°, та обчисли числове значення вихідного виразу й отриманого — вони мають збігтися.