Глосарій

Арифметичний корінь ⁿ√a — це невід'ємний корінь n-го степеня з невід'ємного числа a. Наприклад, √16 = 4 (а не ±4). Для непарного n арифметичний корінь збігається зі звичайним коренем.

Спосіб розкладу многочлена, за якого спільний множник (НСД коефіцієнтів і кожна спільна змінна в найменшому степені) виносять за дужки, а в дужках записують частки від ділення кожного члена на цей множник.

Десятковий логарифм — це логарифм з основою 10. Позначають lg b замість log_10 b. Наприклад, lg 100 = 2, lg 0,01 = −2.

Число або вираз, на який потрібно помножити чисельник дробу, щоб звести дріб до спільного знаменника. Його знаходять діленням спільного знаменника на знаменник цього дробу.

Раціональне число m/n, яке є показником степеня. Знаменник n вказує показник кореня, чисельник m — показник степеня підкореневого виразу.

Вираз, який містить ділення на многочлен (вираз зі змінною). Наприклад, 5/x, (x + 1)/(x − 2).

Звільнення від ірраціональності в знаменнику — перетворення дробу, після якого в знаменнику зникають корені. Для цього чисельник і знаменник множать на той самий корінь або на спряжений вираз.

Знак «+» або «−», якого набуває sin α, cos α або tg α залежно від чверті, у якій лежить кут α. Синус додатний у I і II чвертях, косинус — у I і IV, тангенс — у I і III.

Результат піднесення двочлена до квадрата: (a + b)² = a² + 2ab + b² або (a − b)² = a² − 2ab + b². Містить подвоєний добуток першого й другого членів.

Многочлен виду ax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числа і a ≠ 0. Якщо D ≥ 0, розкладається на множники першого степеня: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), де x₁, x₂ — корені рівняння ax² + bx + c = 0 (при D = 0 x₁ = x₂). Якщо D < 0, на такі множники не розкладається.

Координатна чверть — це одна з чотирьох частин координатної площини, на які її ділять осі Ox та Oy. На одиничному колі чверті відповідають проміжкам кутів: I (0°–90°), II (90°–180°), III (180°–270°), IV (270°–360°).

Значення змінної x, за яких квадратний тричлен ax² + bx + c дорівнює нулю. Знаходяться через дискримінант D = b² − 4ac за формулою x = (−b ± √D) / (2a).

Коренем n-го степеня з числа a називають таке число b, для якого bⁿ = a (n — натуральне, n ≥ 2). Наприклад, коренем четвертого степеня з 81 є 3, бо 3⁴ = 81.

Косинус кута α — це абсциса (координата x) точки одиничного кола, що відповідає куту α. Позначають cos α.

Формула додавання для косинуса: cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β; cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β. Знак між добутками в косинусі суми протилежний до знака між кутами.

Відношення абсциси точки одиничного кола до її ординати: ctg α = cos α / sin α, sin α ≠ 0. Котангенс не існує для кутів α = πk (0°, 180°, 360° тощо). У програмі НМТ позначений як вимога профільного рівня.

Тригонометрична функція, що утворює пару з початковою (sin ↔ cos, tg ↔ ctg); на неї замінюють початкову функцію за формулами зведення для аргументів π/2 ± α та 3π/2 ± α.

Логарифм числа b за основою a — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Позначають log_a b. Запис log_a b = c означає, що a^c = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Властивість: логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів кожного множника: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y за умови x > 0, y > 0.

Властивість: показник степеня аргументу виносять множником перед логарифмом: logₐ xᵏ = k · logₐ x за умови x > 0.

Властивість: логарифм частки дорівнює різниці логарифмів чисельника й знаменника: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y за умови x > 0, y > 0.

Вираз, що містить логарифми (наприклад, log₆ 4 + log₆ 9, (lg 8 + lg 18) / (2 lg 2 + lg 3), 36^(log₆ 5)). Такі вирази спрощують за властивостями логарифмів.

Правило-орієнтир для формул зведення: якщо аргумент містить π/2 або 3π/2 (точки на вертикальній осі одиничного кола), назва функції змінюється на кофункцію (sin ↔ cos, tg ↔ ctg); якщо містить π або 2π (горизонтальна вісь) — назва не змінюється. Образно — «кивок головою»: вертикаль — «так», горизонталь — «ні».

Сума одночленів. Кожен одночлен у цій сумі називають членом многочлена. Наприклад: 4a² − 7a + 2a² + a — многочлен.

Добуток усіх різних множників знаменників, узятих у найбільших степенях, які трапляються в цих знаменниках. Наприклад, для знаменників x − 2 і x² − 4 = (x − 2)(x + 2) найпростіший спільний знаменник — (x − 2)(x + 2).

Натуральний логарифм — це логарифм з основою e, де e ≈ 2,71828 (число Ейлера). Позначають ln b замість log_e b. Наприклад, ln e = 1, ln 1 = 0.

Вираз a² ± ab + b²; відрізняється від квадрата суми (різниці) (a ± b)² тим, що містить ab замість 2ab. Неповний квадрат суми a² + ab + b² — другий множник у формулі різниці кубів, неповний квадрат різниці a² − ab + b² — у формулі суми кубів.

Дріб, у якого чисельник і знаменник поміняли місцями. Оберненим до дробу a/b є дріб b/a (за умови a ≠ 0, b ≠ 0). Використовується для ділення раціональних дробів.

Множина всіх значень змінної, за яких вираз має зміст. Для раціонального дробу це всі числа, крім тих, що перетворюють знаменник на нуль.

Одиничне коло — це коло з центром у початку координат (0; 0) і радіусом 1. Кут α задає на ньому точку Pα з координатами (cos α; sin α).

Добуток чисел, змінних та їхніх натуральних степенів. Наприклад: −3a²b, 0,5x, 7. Числовий множник називають коефіцієнтом одночлена.

Основа логарифма — це число a, яке підносять до степеня, щоб отримати аргумент логарифма. У записі log_a b число a є основою. Вимоги до основи: a > 0, a ≠ 1.

Число, яке множать саме на себе в записі степеня. У виразі aⁿ число a є основою степеня. Основа може бути додатною, від'ємною або нулем (крім випадків нульового й від'ємного показника).

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на той самий вираз, що не дорівнює нулю, то дріб не зміниться: P/Q = (P · R)/(Q · R), R ≠ 0.

Основна логарифмічна тотожність: a^(log_a b) = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0. Вона випливає з означення логарифма: log_a b — це показник, піднесення a до якого дає b.

Тотожність sin²α + cos²α = 1, яка виконується для будь-якого кута α і є наслідком теореми Піфагора для точки (cos α; sin α) на одиничному колі.

Вираз, що стоїть під знаком кореня. Для кореня парного степеня підкореневий вираз має бути невід'ємним, для кореня непарного степеня — може бути будь-яким дійсним числом.

Одночлени, які мають однакову буквену частину (набір змінних з тими самими показниками). Коефіцієнти можуть бути різними. Наприклад: 3x²y і −5yx² — подібні, а 3x²y і 3xy² — ні.

Показник кореня — число n у записі ⁿ√a, яке вказує, якого степеня корінь добувають. Для квадратного кореня показник 2 не пишуть: √a замість ²√a.

Число, яке вказує, скільки разів основу множать саму на себе. У виразі aⁿ число n є показником степеня. Показник може бути натуральним (n > 0), нульовим (n = 0) або від'ємним цілим (n < 0).

Радіан — це центральний кут кола, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу цього кола. Позначають «рад». Повний кут 360° дорівнює 2π рад.

Радіанна міра кута — це міра кута, виражена в радіанах. Співвідношення між градусною й радіанною мірою: π рад = 180°, звідки 1° = π/180 рад, 1 рад = 180°/π ≈ 57°.

Вираз, що складається з чисел, змінних і арифметичних дій, зокрема ділення на вираз зі змінною. Наприклад, (x² − 1)/(x + 2) — раціональний вираз.

Дріб виду P/Q, де P і Q — многочлени, причому Q містить змінну. Наприклад, (x² − 1)/(x + 2).

Формула a² − b² = (a − b)(a + b): добуток різниці й суми тих самих виразів дорівнює різниці їхніх квадратів. Працює в обидва боки.

Формула a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Другий множник називають неповним квадратом суми. Знак біля ab у другій дужці — плюс.

Запис многочлена у вигляді добутку кількох многочленів (або одночлена й многочлена). Дія, зворотна до множення многочленів. Перевіряється множенням усіх множників.

Синус кута α — це ордината (координата y) точки одиничного кола, що відповідає куту α. Позначають sin α.

Формула додавання для синуса: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β. Синус суми дорівнює добутку синуса першого кута на косинус другого плюс добуток косинуса першого на синус другого.

Ділення чисельника й знаменника дробу на їхній спільний множник (число або вираз). Скорочувати можна лише множники, а не доданки.

Формули, що пов'язують різні тригонометричні функції одного й того самого кута, зокрема sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α, 1 + tg²α = 1/cos²α.

Спосіб розкладу многочлена, за якого доданки об'єднують у групи так, щоб після винесення спільного множника з кожної групи з'явилася однакова дужка; її виносять як спільний множник.

Спряженими називають вирази, які відрізняються лише знаком між доданками: a + √b і a − √b. Їхній добуток — раціональне число: (√a + √b)(√a − √b) = a − b.

Многочлен, який складається з одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних. Члени такого многочлена зазвичай записують за спаданням степенів змінної.

Вираз, що містить степені зі змінною або числовою основою та раціональними показниками. Спрощується за властивостями степенів.

Степінь числа a з натуральним показником n — це добуток n множників, кожний з яких дорівнює a: aⁿ = a · a · … · a (n разів). Для цілих показників означення розширюють: a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).

Степінь, у якого показник дорівнює нулю. За означенням a⁰ = 1 для будь-якого a ≠ 0. Вираз 0⁰ не має змісту.

Вираз a^(m/n), де a > 0, m — ціле число, n — натуральне число (n ≥ 2). За означенням a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).

Степінь, у якого показник є від'ємним цілим числом. За означенням a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Для дробу: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Від'ємний показник сам по собі не робить результат від'ємним.

Формула a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Другий множник називають неповним квадратом різниці. Знак біля ab у другій дужці — мінус.

Значення sin, cos і tg для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (0, π/6, π/4, π/3, π/2) та кутів на осях (π, 3π/2, 2π). Ці значення наведено в довідці НМТ і потрібні для обчислень.

Відношення ординати точки одиничного кола до її абсциси: tg α = sin α / cos α, cos α ≠ 0. Тангенс не існує для кутів α = π/2 + πk (90°, 270° тощо).

Заміна виразу на тотожно рівний йому вираз. Наприклад, розкриття дужок, зведення подібних доданків, множення многочленів — це тотожні перетворення.

Вирази, значення яких рівні за будь-яких значень змінних, що входять до них. Наприклад: 2(a + b) і 2a + 2b — тотожно рівні.

Вираз, що містить тригонометричні функції (sin, cos, tg, ctg) від деякого аргументу, часто у комбінації з числами та алгебраїчними операціями.

Формула, яка дає змогу виразити логарифм за однією основою через логарифми за іншою основою: logₐ b = (log_c b) / (log_c a), де a, c > 0, a ≠ 1, c ≠ 1, b > 0.

Тригонометричні тотожності, які виражають синус і косинус суми або різниці двох кутів через синуси й косинуси цих кутів: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.

Тригонометричні формули, які дають змогу виразити функцію кутів π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π − α (у градусах — 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α, 360° − α) через функцію гострого кута α, змінюючи або зберігаючи назву функції за мнемонічним правилом і визначаючи знак за чвертю.

Тотожності, отримані з формул додавання при β = α: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1. Дають змогу виразити тригонометричні функції подвійного кута через функції одинарного кута.

Наслідки з формул подвійного кута: cos²α = (1 + cos 2α)/2; sin²α = (1 − cos 2α)/2. Використовуються для пониження степеня тригонометричних функцій. У довідці НМТ цих формул немає.

Формули, які дозволяють швидко виконувати множення двочленів і розкладати многочлени на множники: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b), a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

Вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною. Наприклад, 3x² − 1, x/5, (a + b)².

Число e (число Ейлера, або неперове число) — ірраціональне число, наближено дорівнює 2,71828. Воно є основою натуральних логарифмів. Позначення ln b означає логарифм числа b за основою e.