Вписані й описані чотирикутники

Чотирикутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. У такому разі коло називають описаним навколо чотирикутника. Центр кола, описаного навколо чотирикутника, — це точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Не будь-який чотирикутник можна вписати в коло — існує чітка умова, яку ми зараз розглянемо.

Умова вписаності чотирикутника в коло

Щоб опуклий чотирикутник можна було вписати в коло, необхідно й достатньо, щоб сума його протилежних кутів дорівнювала $180^{\circ }$:

$$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$$

Чому це так? Вписані кути $\angle A$ і $\angle C$ спираються на дві дуги кола (на дугу BCD і дугу BAD відповідно). Разом ці дві дуги становлять усе коло, тобто $360^{\circ }$. Оскільки градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається, то сума $\angle A+\angle C=360^{\circ }/2=180^{\circ }$. Те саме міркування — для іншої пари протилежних кутів.

Приклади обчислень

Розглянемо чотирикутник $ABCD$, вписаний у коло. Нехай $\angle A=75^{\circ }$, $\angle B=110^{\circ }$. Тоді $\angle C=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$, а $\angle D=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$.

Інший приклад: кути вписаного чотирикутника відносяться як $\angle A:\angle B:\angle C=2:3:7$. Позначмо одну частину за $x$. Тоді $\angle A=2x$, $\angle B=3x$, $\angle C=7x$. За умовою вписаності $\angle A+\angle C=180^{\circ }$, отже $2x+7x=9x=180^{\circ }$, звідки $x=20^{\circ }$. Маємо: $\angle A=40^{\circ }$, $\angle B=60^{\circ }$, $\angle C=140^{\circ }$, $\angle D=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

Окремі випадки

З усіх паралелограмів коло можна описати лише навколо прямокутника (а отже, й квадрата). Чому? У паралелограма протилежні кути рівні: $\angle A=\angle C$, $\angle B=\angle D$. Якщо цей паралелограм вписаний у коло, то $\angle A+\angle C=180^{\circ }$, тобто $2\angle A=180^{\circ }$, $\angle A=90^{\circ }$. Отже, всі кути прямі — це прямокутник. Навколо ромба, що не є квадратом, описати коло не можна.

З трапецій коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції. У рівнобічній трапеції $ABCD$ кути при основі рівні ($\angle A=\angle D$), а кути, прилеглі до бічної сторони, дають у сумі $180^{\circ }$ ($\angle A+\angle B=180^{\circ }$). Тому $\angle B+\angle D=180^{\circ }$: протилежні кути в сумі дають $180^{\circ }$.

Радіус кола, описаного навколо прямокутника

Центр кола, описаного навколо прямокутника, збігається з точкою перетину його діагоналей. Радіус дорівнює половині діагоналі: $R=d/2$. Наприклад, для прямокутника зі сторонами $6$ і $8$ діагональ за теоремою Піфагора дорівнює $d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Отже, $R=10/2=5$.

Чотирикутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола. У такому разі коло називають вписаним у чотирикутник. Центр кола, вписаного в чотирикутник, — точка перетину бісектрис усіх його кутів. Як і для вписаного чотирикутника, існує чітка умова, за якої навколо кола можна описати чотирикутник.

Умова описаності чотирикутника навколо кола

Щоб опуклий чотирикутник можна було описати навколо кола, необхідно й достатньо, щоб суми його протилежних сторін були рівними:

$$AB+CD=BC+AD$$

Чому це так? Відрізки дотичних, проведених з однієї вершини до кола, рівні між собою. Позначмо точки дотику на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ як $K$, $L$, $M$, $N$ відповідно. Тоді $AK=AN$, $BK=BL$, $CL=CM$, $DM=DN$. Додавши рівності для протилежних сторін, отримуємо $AB+CD=BC+AD$.

Приклади обчислень

Нехай чотирикутник $ABCD$ описано навколо кола, $AB=7$, $BC=9$, $CD=12$. За умовою описаності $AB+CD=BC+AD$, тобто $7+12=9+AD$, звідки $AD=7+12-9=10$.

Периметр описаного чотирикутника можна обчислити як подвоєну суму однієї пари протилежних сторін: $P=2(AB+CD)=2(BC+AD)$. Для нашого прикладу $P=2(7+12)=38$ або $P=2(9+10)=38$.

Окремі випадки

З усіх паралелограмів коло можна вписати лише в ромб (а отже, і в квадрат). Чому? У паралелограма протилежні сторони рівні: $AB=CD$, $BC=AD$. Умова описаності $AB+CD=BC+AD$ перетворюється на $2AB=2BC$, тобто $AB=BC$. Отже, всі сторони рівні — це ромб. У прямокутник, що не є квадратом, коло вписати не можна.

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола. Якщо висота ромба $h=8$, то радіус вписаного кола $r=h/2=4$.

Трапеція, описана навколо кола, — це окремий і дуже важливий для НМТ випадок описаного чотирикутника. Розгляньмо її властивості детально.

Висота трапеції та діаметр вписаного кола

Висота трапеції, описаної навколо кола, дорівнює діаметру цього кола: $h=2r$. Чому? Основи трапеції — це дві паралельні прямі, кожна з яких дотикається до кола. Відстань між двома паралельними дотичними до кола дорівнює його діаметру. Отже, висота трапеції (відстань між основами) збігається з $2r$.

Співвідношення сторін і периметр

Оскільки трапеція є описаним чотирикутником, для неї виконується умова: суми протилежних сторін рівні. Позначмо основи як $a$ і $b$, а бічні сторони як $c$ і $d$. Тоді:

$$a+b=c+d$$

Периметр трапеції: $P=a+b+c+d=2(a+b)=2(c+d)$. Середня лінія трапеції $m=(a+b)/2$ водночас дорівнює $(c+d)/2$ — половині суми бічних сторін.

Рівнобічна трапеція, описана навколо кола

Для рівнобічної описаної трапеції бічні сторони рівні: $c=d$. Тоді з $a+b=2c$ отримуємо:

$$c=\frac{a+b}{2}=m$$

Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює її середній лінії.

Приклад 1. У рівнобічну трапецію вписано коло, бічна сторона дорівнює $13$. Знайдімо периметр. Розв'язання: $a+b=2c=2\cdot 13=26$. Тоді $P=2(a+b)=2\cdot 26=52$.

Приклад 2. Основи рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнюють $4$ і $16$. Знайдімо радіус вписаного кола. Розв'язання: бічна сторона $c=(4+16)/2=10$. Проєкція бічної сторони на більшу основу дорівнює $(16-4)/2=6$. За теоремою Піфагора висота $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$. Оскільки $h=2r$, то $r=h/2=8/2=4$.

Прямокутна трапеція, описана навколо кола

У прямокутній трапеції, описаній навколо кола, менша бічна сторона є висотою і дорівнює $2r$. Для похилої бічної сторони $c$ і висоти $h$ виконується $h+c=a+b$.

Приклад. Основи прямокутної трапеції, описаної навколо кола, дорівнюють $10$ і $15$, а похила бічна сторона — $13$. Знайдімо радіус вписаного кола. Розв'язання: $a+b=10+15=25$. За умовою описаності $h+13=25$, звідки $h=25-13=12$. Тоді $r=h/2=6$. Перевіримо за теоремою Піфагора: різниця основ $15-10=5$, $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ — збігається з $h$.

Трапеція, яка одночасно вписана й описана

Трапецію, яку можна і вписати в коло, і описати навколо кола, — це рівнобічна трапеція, у якої бічна сторона дорівнює середній лінії. Така трапеція існує при будь-яких співвідношеннях основ, що задовольняють цю умову.

Наприклад, якщо основи дорівнюють $4$ і $16$, то бічна сторона $c=10=(4+16)/2=m$, і цю трапецію можна як вписати в коло (вона рівнобічна), так і описати навколо кола (суми протилежних сторін рівні: $4+16=10+10$).

Розгляньмо типові завдання на тему вписаних і описаних чотирикутників, які трапляються на НМТ.

Приклад 1. Кут вписаного чотирикутника

Чотирикутник $ABCD$ вписано в коло. $\angle A=58^{\circ }$, $\angle B=96^{\circ }$. Знайдіть $\angle C$.

Розв'язання. Оскільки чотирикутник вписаний у коло, сума протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$: $\angle A+\angle C=180^{\circ }$.

$\angle C=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-58^{\circ }=122^{\circ }$.

Відповідь: $122^{\circ }$.

Чому інші варіанти неправильні? $84^{\circ }$ — це значення $\angle D=180^{\circ }-96^{\circ }$, а питали про $\angle C$. $58^{\circ }$ — помилкове прирівнювання протилежних кутів (це властивість паралелограма, а не вписаного чотирикутника). $96^{\circ }$ — кут $B$, не протилежний до $C$. $29^{\circ }$ — ділення $58^{\circ }/2$ без жодної підстави.

Приклад 2. Периметр описаної трапеції

У рівнобічну трапецію вписано коло. Бічна сторона трапеції дорівнює $13$. Знайдіть периметр трапеції.

Розв'язання. Для описаного чотирикутника $a+b=c+d$. У рівнобічної трапеції $c=d=13$, отже $a+b=13+13=26$.

Периметр $P=a+b+c+d=26+26=52$.

Відповідь: $52$.

Типова пастка: узяти лише суму бічних сторін $26$ і записати її як відповідь. Пам'ятай: $P=2(a+b)=2(c+d)$.

Приклад 3. Радіус кола, вписаного в трапецію

Основи рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнюють $8$ і $18$. Знайдіть радіус кола.

Розв'язання. Бічна сторона $c=(a+b)/2=(8+18)/2=13$.

Проєкція бічної сторони на більшу основу: $(18-8)/2=5$.

За теоремою Піфагора висота $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

Оскільки $h=2r$, то $r=h/2=12/2=6$.

Відповідь: $6$.

Пастка: записати $12$ (висоту) замість $6$ (радіуса). Уважно читай, що питають: радіус, а не висоту.

Приклад 4. Навколо якого чотирикутника можна описати коло?

Навколо якого з наведених чотирикутників завжди можна описати коло?

А) ромб; Б) паралелограм; В) прямокутник; Г) прямокутна трапеція; Д) довільна трапеція.

Розв'язання. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$. Серед паралелограмів цій умові задовольняє лише прямокутник (у нього всі кути по $90^{\circ }$, тому $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$). Серед трапецій — лише рівнобічна. Ромб (не квадрат) і довільний паралелограм не підходять, бо їхні протилежні кути рівні, але не обов'язково прямі.

Відповідь: прямокутник.

Приклад 5. Сторона описаного чотирикутника

Чотирикутник $ABCD$ описано навколо кола. $AB=6$, $BC=8$, $CD=11$. Знайдіть $AD$.

Розв'язання. За умовою описаності $AB+CD=BC+AD$.

$6+11=8+AD$

$AD=6+11-8=9$.

Відповідь: $9$.

Чому дистрактори неправильні? $13$ — це $BC+CD-AB=8+11-6$, але додавати треба протилежні сторони, а не сусідні. $3$ — різниця $CD-BC=11-8$, безпідставна. $25$ — сума всіх відомих сторін $6+8+11=25$, але це не периметр. $5$ — $BC-AB=8-6$, випадкове число.

На НМТ учні часто помиляються, плутаючи умови вписаного й описаного чотирикутників. Розгляньмо найпоширеніші пастки.

• Переплутують умови: для вписаного чотирикутника перевіряють суми сторін, а для описаного — суми кутів. Запам'ятай: «вписаний — кути, описаний — сторони». Вписаний чотирикутник лежить вершинами на колі — це про кути. Описаний чотирикутник дотикається сторонами до кола — це про сторони.

• У вписаному чотирикутнику вважають протилежні кути рівними (це властивість паралелограма), хоча в сумі вони дають $180^{\circ }$. Наприклад, для вписаного чотирикутника $\angle A=70^{\circ }$ зовсім не означає, що $\angle C=70^{\circ }$ — насправді $\angle C=110^{\circ }$.

• Додають сусідні сторони замість протилежних: помилково записують $AB+BC=CD+AD$. Правильна умова для описаного чотирикутника: $AB+CD=BC+AD$. Складати треба протилежні сторони.

• У трапеції, описаній навколо кола, прирівнюють висоту до радіуса, а не до діаметра. Пам'ятай: $h=2r$, тому $r=h/2$. Якщо висота $12$, то радіус $6$, а не $12$.

• Вважають, що коло можна описати навколо будь-якої трапеції чи ромба. Насправді коло описують лише навколо рівнобічної трапеції та прямокутника (зокрема квадрата). Навколо ромба, що не є квадратом, коло описати не можна.

• Рахують периметр описаної трапеції як $a+b$ замість $2(a+b)$. Оскільки $a+b=c+d$, увесь периметр — це подвоєна сума однієї пари протилежних сторін. Наприклад, якщо $a+b=26$, то $P=52$, а не $26$.

Тема вписаних і описаних чотирикутників входить до теми «Чотирикутники» програми НМТ з математики: «вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники». Від тебе вимагають уміти застосовувати властивості чотирикутників до планіметричних задач.

Що треба знати напам'ять?

Умови вписаності й описаності чотирикутника в довідкових матеріалах НМТ немає — їх треба знати напам'ять. Теорема Піфагора в довідкових матеріалах є, тому нею можна користуватися без запам'ятовування.

Ось дві формули, які мусиш пам'ятати:

• вписаний чотирикутник: $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$;

• описаний чотирикутник: $AB+CD=BC+AD$.

Як виглядають завдання на НМТ

Завдання 1–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), оцінюються в $0$ або $1$ бал. У них можуть питати:

• знайти невідомий кут вписаного чотирикутника;

• визначити, навколо якої фігури можна описати коло;

• знайти сторону описаного чотирикутника.

Завдання 19–22 — коротка відповідь (число, записане десятковим дробом), оцінюються в $0$ або $2$ бали без часткових балів. У цих завданнях можуть питати:

• периметр трапеції, описаної навколо кола;

• радіус кола, вписаного в трапецію.

Стратегія розв'язування

Найкраща стратегія — виписати в чернетці обидві умови поруч: «вписаний — кути, описаний — сторони». Потім уважно прочитай умову задачі й визнач, із яким чотирикутником маєш справу. Це допоможе не переплутати формули й уникнути типових помилок.

Збери найважливіші факти теми в одному місці, щоб повторити перед НМТ.

• Вписаний чотирикутник: $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$.

• Описаний чотирикутник: $AB+CD=BC+AD$.

• Коло можна описати навколо прямокутника (зокрема квадрата) й рівнобічної трапеції.

• Коло можна вписати в ромб (зокрема квадрат).

• Описана трапеція: $h=2r$, $P=2(a+b)=2(c+d)$.

• Бічна сторона рівнобічної описаної трапеції дорівнює середній лінії: $c=(a+b)/2=m$.

• Радіус кола, описаного навколо прямокутника: $R=d/2$ (половина діагоналі).

• Радіус кола, вписаного в ромб: $r=h/2$ (половина висоти).