Центральні та вписані кути

Почнімо з основ — означень, на яких далі будуватиметься вся теорія центральних і вписаних кутів. Тобі вже знайомі ці поняття зі школи, але тепер ми розглянемо їх глибше, адже на НМТ саме чітке розуміння базових елементів кола дає змогу не губитись у складних рисунках.

Коло і круг

Колом називають множину всіх точок площини, які містяться на однаковій відстані R від заданої точки O (центра кола). Саме коло — це лише лінія, його межа. А круг — це частина площини, обмежена колом, разом із самим колом. Іншими словами: круг — це «внутрішність» разом із «межею». На НМТ запитання можуть стосуватися як кола, так і круга, тому важливо не плутати ці поняття.

Радіус, хорда, діаметр

Радіус R — відрізок, що сполучає центр кола з будь-якою точкою на колі. Усі радіуси одного кола рівні між собою.

Хорда — відрізок, що сполучає дві точки кола. Найдовша хорда — діаметр: це хорда, яка проходить через центр кола. Діаметр d = 2R. Найважливіше: діаметр ділить коло на дві рівні дуги — півкола, кожна по 180°.

Дуга кола

Дуга — частина кола між двома його точками. Дві точки A і B ділять коло на дві дуги: меншу й більшу. Їхні градусні міри в сумі завжди дають 360°. Наприклад, якщо менша дуга AB дорівнює 70°, то більша дуга AB дорівнює 360° − 70° = 290°. Півколо — дуга в 180°.

Сектор — частина круга, обмежена двома радіусами й дугою між ними. Сегмент — частина круга, обмежена хордою й дугою. Їхні площі ви обчислюватимете в наступному юніті «Довжина кола й дуги, площа круга й сектора».

Трикутник із двох радіусів і хорди

Розгляньмо трикутник OAB, де O — центр кола, а A і B — точки на колі. OA і OB — радіуси, отже, OA = OB = R. Тому трикутник OAB рівнобедрений з основою AB (хордою). Це просте спостереження дає змогу знаходити кути трикутника OAB, знаючи центральний кут ∠AOB.

Формула: ∠OAB = ∠OBA = (180° − ∠AOB) / 2.

Особливий випадок: коли ∠AOB = 60°, трикутник OAB не просто рівнобедрений, а рівносторонній — усі сторони рівні, отже, хорда AB дорівнює радіусу R. Запам’ятай цей факт: він часто стає ключем до задачі.

Тепер, коли ми знаємо, що таке радіус, хорда й дуга, можемо перейти до головного інструменту вимірювання дуг — центрального кута. Саме через нього ми знаходимо зв'язок між кутами в колі.

Означення та основна властивість

Центральний кут — це кут, вершина якого міститься в центрі кола O, а сторони перетинають коло в двох точках (наприклад A і B). Ключова властивість: градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі центрального кута, що на неї спирається.

Нехай ∠AOB = 70°. Тоді менша дуга AB має градусну міру 70°, а більша дуга AB — 360° − 70° = 290°. Це випливає з того, що дві точки ділять коло на дві дуги, які в сумі дають повний кут 360°.

Формально: ∪AB (менша) = ∠AOB; ∪AB (більша) = 360° − ∠AOB.

Зв'язок хорд, дуг і центральних кутів

Рівні хорди стягують рівні дуги й відповідають рівним центральним кутам. Якщо хорда AB дорівнює хорді CD, то центральні кути ∠AOB і ∠COD рівні, а дуги AB і CD — рівні за градусною мірою. Це взаємно однозначна відповідність: рівні центральні кути → рівні дуги → рівні хорди, і навпаки.

Поділ кола у заданому відношенні

Часто в задачах точки ділять коло на дуги, градусні міри яких відносяться як задані числа. Наприклад, точки A, B, C ділять коло на дуги у відношенні 2 : 3 : 7. Нехай одна частина — x. Тоді маємо рівняння: 2x + 3x + 7x = 360°, тобто 12x = 360°, звідки x = 30°. Отже, дуги дорівнюють: 2 · 30° = 60°, 3 · 30° = 90°, 7 · 30° = 210°.

Практичний сюжет: циферблат годинника

Циферблат годинника поділено на 12 рівних дуг, кожна з яких відповідає одній годині. Повне коло — 360°, отже, одна година — це дуга 360° / 12 = 30°. Тому о 4:00 годинна стрілка вказує на 4, а хвилинна — на 12. Кут між ними дорівнює 4 · 30° = 120°. Це центральний кут, і він дорівнює градусній мірі дуги між позначками 12 і 4. Такі задачі трапляються в практичних сюжетах, і тепер ти знаєш, як їх розв'язувати.

Це найважливіший розділ теми. Вписаний кут — головний герой багатьох задач НМТ. Його властивості дозволяють знаходити кути там, де на перший погляд немає жодних даних.

Означення

Вписаний кут — це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло в двох інших точках. Наприклад, на колі позначено точки A, B, C. Кут ∠ACB буде вписаним, оскільки вершина C лежить на колі, а сторони CA і CB перетинають коло в точках A і B.

Основна теорема: вписаний кут і центральний кут

Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, який спирається на ту саму дугу. Або, що те саме, вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Формула: ∠ACB = ½ ∠AOB = ½ ∪AB (меншої дуги AB).

Приклад: нехай ∠AOB = 110°. Тоді вписаний кут ∠ACB, що спирається на ту саму дугу AB, дорівнює 110° / 2 = 55°.

Вписані кути, що спираються на ту саму дугу

Якщо кілька вписаних кутів мають вершини в різних точках кола, але всі спираються на ту саму дугу (вершини лежать з одного боку від хорди), то всі ці кути рівні. Це дуже зручно: знайшов один — знайшов усі.

Якщо ж вершини вписаних кутів лежать по різні боки від хорди, то такі кути в сумі дають 180°. Чому? Тому що їхні дуги разом становлять повне коло — 360°. Кожен із них дорівнює половині своєї дуги, отже, сума половин дорівнює половині 360°, тобто 180°.

Вписаний кут, що спирається на діаметр

Це окремий, але дуже частий випадок. Діаметр стягує дугу 180° (півколо). Вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює половині 180°, тобто 90°. Іншими словами, кут, що спирається на діаметр, — прямий.

З цього випливає важливий наслідок: гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаного навколо нього кола. Тому, коли в умові задачі сказано, що AB — діаметр, а C — точка на колі, одразу роби висновок: ∠ACB = 90°.

Кут, що спирається на дугу, більшу за півколо

Іноді потрібно знайти вписаний кут, який спирається на більшу дугу (понад 180°). Наприклад, менша дуга AB = 80°. Тоді більша дуга AB = 360° − 80° = 280°. Вписаний кут, що спирається на більшу дугу, дорівнює 280° / 2 = 140°. Запам'ятай: завжди використовуй ту дугу, яка лежить усередині кута.

Ланцюжок через рівнобедрений трикутник OAB

Задача: точки A, B, C лежать на колі з центром O, вписаний кут ∠ACB = 35°. Знайди ∠OAB.

1. Спочатку знаходимо центральний кут: ∠AOB = 2 · ∠ACB = 2 · 35° = 70°.

2. Трикутник OAB рівнобедрений (OA = OB = R).

3. Кути при основі AB: ∠OAB = ∠OBA = (180° − 70°) / 2 = 55°.

Відповідь: ∠OAB = 55°. Такий ланцюжок — типовий прийом у задачах на коло. Тренуйся бачити ці три кроки автоматично.

Розв'яжемо чотири типові задачі НМТ на центральні та вписані кути. Кожну розбираємо покроково.

Приклад 1. Вписаний кут за центральним

Умова: Точки A, B, C лежать на колі з центром O. Центральний кут ∠AOB = 124°. Точка C лежить на більшій дузі AB. Знайди градусну міру вписаного кута ∠ACB.

Розв'язання:

Вписаний кут ∠ACB спирається на ту саму дугу AB, що й центральний кут ∠AOB. За основною теоремою: ∠ACB = ½ ∠AOB = 124° / 2 = 62°. Точка C лежить на більшій дузі, тому вписаний кут — гострий (менший за 90°).

Відповідь: 62°.

Чому решта варіантів неправильні:

• 124° — це центральний кут ∠AOB, а вписаний удвічі менший.

• 248° — подвоїли центральний кут замість ділення на 2.

• 118° — половина більшої дуги (360° − 124°) / 2; так було б, якби C лежала на меншій дузі.

• 56° — доповнення 180° − 124°, яке не відповідає жодному правилу.

Приклад 2. Кут, що спирається на діаметр

Умова: AB — діаметр кола, C — точка на колі. Відомо, що ∠ABC = 34°. Знайди градусну міру кута ∠BAC.

Розв'язання:

Оскільки AB — діаметр, вписаний кут ∠ACB, що спирається на діаметр, є прямим: ∠ACB = 90°. За теоремою про суму кутів трикутника ABC маємо:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°, звідки ∠BAC = 180° − 34° − 90° = 56°.

Відповідь: 56°.

Чому решта варіантів неправильні:

• 34° — прирівняли ∠BAC до ∠ABC без підстави.

• 146° — обчислили 180° − 34° і забули про прямий кут ∠ACB.

• 68° — подвоїли 34°.

• 90° — це ∠ACB, а питали про ∠BAC.

Приклад 3. Логічні пари (1–3 → А–Д)

Умова: У колі з центром O менша дуга AB дорівнює 80°. Точка C лежить на більшій дузі AB, точка D — на меншій дузі AB. Установи відповідність між кутами (1–3) та їхніми градусними мірами (А–Д).

Кути: 1) ∠AOB; 2) ∠ACB; 3) ∠ADB.

Градусні міри: А) 80°; Б) 40°; В) 140°; Г) 160°; Д) 100°.

Розв'язання:

• ∠AOB — центральний кут, він дорівнює дузі AB: 80° ⇒ 1 → А.

• ∠ACB: вершина C на більшій дузі, тому кут спирається на меншу дугу 80°: 80° / 2 = 40° ⇒ 2 → Б.

• ∠ADB: вершина D на меншій дузі, тому кут спирається на більшу дугу 360° − 80° = 280°: 280° / 2 = 140° ⇒ 3 → В.

Відповідь: 1 → А, 2 → Б, 3 → В.

Пояснення до решти варіантів: Г) 160° — це 2 · 80°, подвоєний центральний кут. Д) 100° — помилкове доповнення до 180° (180° − 80° = 100°), яке не відповідає жодному з кутів.

Приклад 4. Дуги у відношенні 3 : 4 : 5

Умова: Точки A, B, C ділять коло на три дуги, градусні міри яких відносяться як 3 : 4 : 5. Знайди найбільший кут трикутника ABC.

Розв'язання:

Нехай одна частина — x. Тоді 3x + 4x + 5x = 360°, 12x = 360°, x = 30°, а дуги дорівнюють 90°, 120° і 150°. Кожен кут трикутника ABC вписаний і спирається на дугу, що лежить навпроти його вершини, тому кути дорівнюють 45°, 60° і 75°. Найбільший кут лежить навпроти найбільшої дуги: 150° / 2 = 75°.

Відповідь: 75°.

Чому решта варіантів неправильні:

• 150° — це найбільша дуга, а вписаний кут удвічі менший за неї.

• 45° і 60° — два інші кути трикутника, а питали найбільший.

• 30° — це одна частина x, а не кут.

Розробники НМТ знають, де найчастіше помиляються учні, і свідомо додають такі варіанти відповідей. Ось шість найпоширеніших пасток, яких слід уникати.

• Прирівнюють вписаний кут до центрального, що спирається на ту саму дугу. Насправді вписаний удвічі менший: якщо ∠AOB = 110°, то ∠ACB = 55°.

• Подвоюють замість ділення: за центральним кутом 80° записують вписаний 160° замість 40°.

• Беруть меншу дугу, коли кут спирається на більшу. Якщо менша дуга AB = 80°, а вершина кута лежить на ній, то кут дорівнює (360° − 80°) / 2 = 140°, а не 40°.

• Не помічають діаметра: кут, що спирається на діаметр, завжди дорівнює 90°.

• Вважають рівними вписані кути з вершинами по різні боки від хорди. Насправді вони в сумі дають 180°.

• У трикутнику OAB кут при основі шукають як ∠AOB / 2. Правильно: (180° − ∠AOB) / 2; для ∠AOB = 100° це 40°, а не 50°.

Порада: щоразу, коли бачиш рисунок із колом, спершу познач на ньому центр O, радіуси, дуги й підпиши відомі градусні міри. Це допоможе не пропустити жодної властивості.

Згідно з програмою НМТ з математики, тема «Центральні та вписані кути» належить до теми «Коло та круг»: «коло, круг та їх елементи; центральні, вписані кути та їх властивості». Це одна з базових тем планіметрії.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 завдання 15 є прикладом задачі на вибір однієї відповіді з п'яти (1 бал), де вписаний кут поєднується з довжиною дуги й кола. Також завдання 18 — логічні пари з геометрії (1–3 → А–Д, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару, усього 0–3 бали).

Стратегія розв'язування: на рисунку обведи дугу, на яку спирається шуканий кут, і одразу підпиши її градусну міру. Якщо дано центральний кут — дуга відома відразу. Якщо дано вписаний — дуга вдвічі більша за цей кут. Цей простий прийом зменшує ризик помилки й допомагає бачити зв'язки між кутами.

Розподіл часу: на завдання з однією відповіддю плануй до 2 хвилин, на логічні пари — до 4 хвилин. Якщо не бачиш розв'язку за 1 хвилину, перейди до наступного завдання, а потім повернись.

• Градусна міра дуги дорівнює центральному куту, що на неї спирається. Усе коло — 360°.

• Вписаний кут — половина дуги, на яку він спирається, тобто половина відповідного центрального кута.

• Вписані кути на ту саму дугу рівні. Якщо вершини по різні боки від хорди — кути в сумі дають 180°.

• Кут, що спирається на діаметр, — 90°.

• Трикутник із двох радіусів і хорди (OAB) завжди рівнобедрений. Кути при хорді: (180° − ∠AOB) / 2.

• Якщо вписаний кут спирається на дугу, більшу за півколо, знайди спочатку меншу дугу, відніми від 360°, поділи на 2.

• На НМТ властивості вписаних і центральних кутів треба знати напам'ять — їх немає в довідкових матеріалах.