Дотична до кола та її властивості
~15 хв · 8 розділів · 9 тестових запитань
Властивості дотичної: перпендикулярність до радіуса в точці дотику, рівність відрізків дотичних з однієї точки. Взаємне розміщення прямої та кола, обчислення радіуса, хорди й відстаней за теоремою Піфагора.
Щоб упевнено розв'язувати задачі про дотичну, спочатку розберемося, як пряма взагалі може бути розташована відносно кола. Уявімо коло з центром O і радіусом R. Нехай є пряма l. Відстань d від центра O до прямої l — це довжина перпендикуляра, опущеного з O на l. Залежно від співвідношення d та R маємо три випадки.
Якщо d < R, то пряма перетинає коло у двох точках. Таку пряму називають січною. Відстань від центра до прямої менша за радіус, тому пряма ніби «занурюється» в коло.
Якщо d = R, то пряма має з колом рівно одну спільну точку. Це й є дотична. Вона ніби «торкається» кола в одній точці.
Якщо d > R, то пряма не має з колом жодної спільної точки.
Хорда й відстань від центра
Хорда — це відрізок, що сполучає дві точки кола. Властивість: перпендикуляр, опущений з центра кола на хорду, ділить цю хорду навпіл. Нехай AB — хорда, O — центр, d — відстань від O до хорди (довжина перпендикуляра OM, де M — середина AB). Тоді половина хорди AM дорівнює √(R² − d²), а повна довжина хорди:
AB = 2√(R² − d²)
Розгляньмо приклади.
R = 13, d = 5. Тоді AB = 2√(169 − 25) = 2√144 = 2·12 = 24.
R = 10, AB = 12. Тоді половина хорди дорівнює 6, отже d = √(R² − (AB/2)²) = √(100 − 36) = √64 = 8.
З цієї властивості випливає також, що рівні хорди рівновіддалені від центра кола.
Властивість хорд, що перетинаються (профільний рівень)
За програмою НМТ цей пункт позначено як матеріал лише профільного рівня (П). НМТ охоплює всю програму, тож знати його варто.
Якщо дві хорди AB і CD перетинаються в точці E, то добутки відрізків кожної хорди рівні: AE · EB = CE · ED.
Наприклад, AE = 4, EB = 6, CE = 3. Тоді 4·6 = 3·ED ⇒ 24 = 3·ED ⇒ ED = 8.
Запам'ятай три умови: d < R — січна; d = R — дотична; d > R — спільних точок немає. Перпендикуляр з центра ділить хорду навпіл.
Дотична до кола — це пряма, яка має з колом рівно одну спільну точку. Цю точку називають точкою дотику. Найважливіша властивість дотичної:
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.
Нехай коло з центром O, дотична AT проходить через точку A до кола й торкається його в точці T. Тоді відрізок OT — радіус, проведений у точку дотику, і OT ⊥ AT. Отже, трикутник OTA — прямокутний із прямим кутом при вершині T.
У прямокутному трикутнику OTA:
катети — OT = R (радіус) і AT (відрізок дотичної від точки A до точки дотику T);
гіпотенуза — OA (відстань від зовнішньої точки A до центра кола O).
За теоремою Піфагора:
OA² = R² + AT²
Розгляньмо числові приклади.
Дано: R = 5, AT = 12. OA = √(25 + 144) = √169 = 13.
Дано: OA = 10, R = 6. Тоді AT = √(OA² − R²) = √(100 − 36) = √64 = 8.
Задача з кутом
Якщо відомий кут між дотичною AT і відрізком OA, можна використати тригонометричні співвідношення. Зокрема, коли ∠OAT = 30°, то катет OT (радіус R) лежить навпроти кута 30°, а отже дорівнює половині гіпотенузи OA:
R = OA / 2
Приклад: OA = 14, ∠OAT = 30° ⇒ R = 14 / 2 = 7.
Відстань від зовнішньої точки до кола
Інколи питають, на якій відстані від кола міститься точка A. Найближча точка кола до A лежить на прямій OA, з боку кола. Відстань від A до найближчої точки кола дорівнює OA − R.
Приклад: OA = 13, R = 5 ⇒ відстань від точки A до кола дорівнює 13 − 5 = 8.
Головне правило: дотична утворює прямий кут із радіусом у точці дотику. Помітивши цей прямий кут, застосовуй теорему Піфагора або властивості прямокутного трикутника.
Часто в задачах НМТ з однієї зовнішньої точки A до кола проводять дві дотичні. Нехай вони торкаються кола в точках B і C. Тоді виконуються важливі властивості.
Рівність відрізків дотичних
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні: AB = AC.
Чому це так? Розгляньмо прямокутні трикутники OBA і OCA. Обидва мають прямий кут (радіус перпендикулярний до дотичної). У них спільна гіпотенуза OA, а катети OB = OC = R. Отже, трикутники рівні за гіпотенузою й катетом. Звідси AB = AC, а також ∠OAB = ∠OAC, тобто центр O лежить на бісектрисі кута BAC.
Зв'язок кутів
Розгляньмо чотирикутник ABOC. У ньому два прямі кути: ∠OBA = 90° і ∠OCA = 90°. Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює 360°. Тому:
∠BAC + ∠BOC = 360° − 90° − 90° = 180°
Отже, кут між двома дотичними й центральний кут між радіусами, проведеними в точки дотику, в сумі дають 180°.
Приклад: ∠BAC = 60° ⇒ ∠BOC = 120°. Крім того, оскільки OA — бісектриса кута BAC, то ∠OAB = 30°. У прямокутному трикутнику OAB катет R (навпроти кута 30°) дорівнює половині гіпотенузи OA, тобто OA = 2R.
Периметр трикутника, відтятого третьою дотичною
Класичне завдання: з точки A до кола проведено дві дотичні AB і AC. Третя дотична MN перетинає AB і AC у точках M і N (точка K — її точка дотику).
За властивістю рівності відрізків дотичних з однієї точки: MB = MK, NC = NK, AB = AC. Тоді периметр трикутника AMN:
P(△AMN) = AM + MN + AN = AM + (MK + KN) + AN = (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC = 2·AB
Якщо AB = AC = 10, то P(△AMN) = 10 + 10 = 20.
Властивість рівності відрізків дотичних — це також основа для умови описаного чотирикутника: AB + CD = BC + AD (розглядається в окремому юніті про вписані й описані чотирикутники).
Приклад 1. Вибір однієї відповіді
З точки A до кола з центром O й радіусом 8 проведено дотичну AT. Довжина відрізка AT дорівнює 15. Знайдіть OA.
Розв'язання. Радіус OT перпендикулярний до дотичної AT, тому трикутник OTA прямокутний з прямим кутом у точці T. За теоремою Піфагора:
OA² = R² + AT² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ⇒ OA = √289 = 17.
Відповідь: 17.
Розбір дистракторів:
23 — помилка OA = R + AT (додавання замість теореми Піфагора).
7 — OA = AT − R (різниця, а не сума квадратів).
√161 — сплутали, який катет гіпотенуза: AT² − R² = 225 − 64 = 161.
12 — OA = AT − 3 (безпідставне число).
Приклад 2. Коротка відповідь
З точки A до кола радіуса 6 проведено дві дотичні AB і AC. Кут BAC дорівнює 60°. Знайдіть OA.
Розв'язання. Відрізки AB = AC, центр O лежить на бісектрисі кута BAC, тому ∠OAB = 30°. Трикутник OBA прямокутний (∠OBA = 90°). Катет OB = R = 6 лежить навпроти кута 30°, отже:
OA = 2·OB = 2·6 = 12.
Відповідь: 12.
Типова пастка: прирівняти OA до радіуса (6), не помітивши, що OA — гіпотенуза, а не катет.
Приклад 3. Вибір однієї відповіді
У колі радіуса 10 проведено хорду завдовжки 16. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди.
Розв'язання. Перпендикуляр з центра O ділить хорду AB навпіл. Половина хорди дорівнює 16/2 = 8. За теоремою Піфагора:
d = √(R² − (AB/2)²) = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6.
Відповідь: 6.
Розбір дистракторів:
8 — узяли половину хорди замість відстані.
2 — R − 8 = 10 − 8 = 2 (віднімання замість теореми Піфагора).
4 — помилка в обчисленні кореня: √36 = 6, а не 4.
12 — подвоїли знайдену відстань 6.
Приклад 4. Коротка відповідь
З точки A до кола проведено дві дотичні AB і AC. AB = 9. Третя дотична перетинає відрізки AB і AC у точках M і N відповідно. Знайдіть периметр трикутника AMN.
Розв'язання. Нехай K — точка дотику третьої дотичної. Тоді MB = MK, NC = NK (рівність відрізків дотичних з однієї точки). Також AB = AC = 9.
P(△AMN) = AM + MN + AN = AM + MK + KN + AN = (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC = 9 + 9 = 18.
Відповідь: 18.
Пастка: дати відповідь 9 (узяти тільки одну дотичну). Пам'ятай: периметр дорівнює сумі двох дотичних з вершини A.
Приклад 5. Коротка відповідь (профільний рівень)
У програмі цей матеріал позначено як профільний (П). НМТ охоплює всю програму, тож таке завдання можливе.
Хорди AB і CD кола перетинаються в точці E. AE = 5, EB = 8, CE = 4. Знайдіть ED.
Розв'язання. За властивістю хорд, що перетинаються: AE · EB = CE · ED. Маємо 5·8 = 4·ED ⇒ 40 = 4·ED ⇒ ED = 10.
Відповідь: 10.
Пастка: скласти пропорцію AE:EB = CE:ED, тобто 5:8 = 4:ED ⇒ ED = 32/5 = 6,4. Це неправильно — добутки, а не відношення!
Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ під час розв'язування задач на дотичну до кола.
Не помічають прямого кута між дотичною й радіусом. У результаті застосовують теорему Піфагора до неправильного трикутника або взагалі її не використовують. Завжди проводь радіус у точку дотику — це дає прямий кут.
Вважають гіпотенузою відрізок дотичної AT, а не OA. Насправді прямий кут при точці дотику T, тому гіпотенуза — OA (від центра до зовнішньої точки), а AT і R — катети.
Додають довжину дотичної до радіуса: OA = R + AT. Це груба помилка: відрізки R і AT — катети, а не сума для гіпотенузи. Правильно: OA² = R² + AT².
За відстань від центра до хорди беруть половину хорди або R − половина хорди. Насправді відстань d = √(R² − (AB/2)²), тобто це один із катетів прямокутного трикутника.
Забувають, що відрізки двох дотичних, проведених з однієї точки, рівні. Це стосується й випадку, коли третя дотична «відтинає» трикутник: MB = MK, NC = NK.
Прирівнюють кут між дотичними до центрального кута. Пам'ятай: ∠BAC + ∠BOC = 180°. Якщо ∠BAC = 60°, то ∠BOC = 120°, а не 60°.
Тема «Дотична до кола та її властивості» входить до теми «Коло та круг» програми НМТ з математики. Важливо знати:
Властивість хорд, що перетинаються (AE·EB = CE·ED), у програмі позначено як матеріал профільного рівня (П). НМТ охоплює всю програму, тож така задача можлива, хоча трапляється рідко.
У довідкових матеріалах, які учасник бачить на екрані під час НМТ, властивостей дотичної НЕМАЄ. Теорема Піфагора там є — нею й користуйся.
Завдання 1–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал.
Завдання 19–22 — коротка відповідь, 0 або 2 бали (без часткових балів). Відповідь записується лише десятковим дробом.
У демоваріанті НМТ-2026 тему «Коло та круг» перевіряє завдання 15 (вибір однієї відповіді, 1 бал).
Стратегія розв'язування
На рисунку до задачі одразу проведи радіус у точку дотику й познач прямий кут. Це дасть тобі прямокутний трикутник, до якого можна застосувати теорему Піфагора. Якщо з однієї точки проведено дві дотичні — познач їхню рівність і бісектрису.
Чому дотична перпендикулярна до радіуса?
Це випливає з означення: дотична має з колом лише одну спільну точку. Якби радіус не був перпендикулярним, то існувала б друга точка перетину — і пряма була б січною. Доведення: якщо опустити перпендикуляр з центра на пряму, то його довжина — це відстань d. Для дотичної d = R, і точка дотику — це основа цього перпендикуляра, тому радіус і дотична перпендикулярні.
Чим дотична відрізняється від січної?
Дотична має з колом одну спільну точку (d = R), а січна — дві (d < R). Якщо d > R, то спільних точок немає. Січна фактично «перерізає» коло, а дотична лише «торкається» його.
Чому відрізки дотичних з однієї точки рівні?
Розглянь два прямокутні трикутники OBA і OCA (O — центр, A — зовнішня точка, B і C — точки дотику). У них спільна гіпотенуза OA і рівні катети OB = OC = R. За ознакою рівності прямокутних трикутників (за гіпотенузою й катетом) трикутники рівні, а отже AB = AC.
Як знайти довжину хорди, якщо відомо відстань від центра до неї?
Перпендикуляр з центра ділить хорду навпіл, тому половина хорди = √(R² − d²), а повна довжина AB = 2√(R² − d²). Наприклад, якщо R = 13, d = 5, то AB = 2√(169 − 25) = 2·12 = 24.
Чи треба знати властивість хорд, що перетинаються?
За програмою НМТ ця властивість (AE·EB = CE·ED) належить до профільного рівня (П). НМТ охоплює всю програму, тож така задача можлива, хоча трапляється рідко. Властивість варто знати.
Взаємне розміщення прямої та кола: d < R — січна (дві спільні точки); d = R — дотична (одна точка); d > R — спільних точок немає.
Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику: OT ⊥ AT. Звідси OA² = R² + AT² (теорема Піфагора).
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки, рівні: AB = AC. Центр кола лежить на бісектрисі кута між ними.
Кут між двома дотичними й центральний кут між радіусами в точки дотику в сумі дають 180°: ∠BAC + ∠BOC = 180°.
Перпендикуляр з центра кола ділить хорду навпіл: AB = 2√(R² − d²).
Для хорд, що перетинаються: AE·EB = CE·ED — матеріал профільного рівня (П).