Системи рівнянь другого степеня

Системою рівнянь другого степеня називають систему, у якій хоча б одне рівняння містить змінну в другому степені — x², y² або добуток xy. Наприклад, x² + y² = 13, xy = 6, y = x² − 3 — це рівняння другого степеня. Часто трапляється система з одного лінійного й одного квадратного рівняння. Основний спосіб розв’язати таку систему — метод підстановки.

Як працює підстановка

З лінійного рівняння виражають одну змінну через іншу, а потім підставляють цей вираз у квадратне рівняння. Отримують квадратне рівняння з однією змінною, розв’язують його, а другу змінну знаходять з того самого лінійного рівняння — не з квадратного!

Приклад: x − y = 1, x² + y² = 13

Маємо систему:

$$\{\begin{array}{l}x-y=1,\\ x^2+y^2=13.\end{array}$$

Крок 1. Виражаємо x з лінійного рівняння: x = y + 1.

Крок 2. Підставляємо в квадратне: (y + 1)² + y² = 13.

Крок 3. Розкриваємо дужки: y² + 2y + 1 + y² = 13, звідки 2y² + 2y − 12 = 0, або y² + y − 6 = 0.

Крок 4. Розв’язуємо квадратне рівняння: y = 2 або y = −3.

Крок 5. Для кожного y знаходимо x з лінійного рівняння x = y + 1: при y = 2 маємо x = 3; при y = −3 маємо x = −2.

Відповідь: дві пари (3; 2) і (−2; −3).

Чому не можна шукати x з квадратного рівняння? Якщо підставити y = 2 у x² + y² = 13, отримаємо x² = 9, тобто x = ±3. Пара (−3; 2) не задовольняє лінійне рівняння x − y = 1, бо −3 − 2 = −5 ≠ 1. Це зайва пара, яка з’являється, коли другу змінну беруть не з лінійного рівняння.

Приклад: y = x² − 2x і y = x + 4

Обидва рівняння виражають y, тому прирівнюємо праві частини:

$$x^2-2x=x+4\Rightarrow x^2-3x-4=0.$$

Корені: x = 4 або x = −1. Підставляємо в лінійне рівняння y = x + 4: при x = 4 маємо y = 8; при x = −1 маємо y = 3. Відповідь: (4; 8) і (−1; 3).

Увага: читаймо запитання

Якщо в задачі просять знайти x₀ + y₀ «для розв’язку системи», а розв’язків два, то умова обов’язково уточнює, який саме: «у якому x₀ > 0», «у якому y₀ < 0», або просить суму для всіх пар. Ніколи не бери першу-ліпшу пару — прочитай умову до кінця.

Симетричною називають систему, яка не змінюється, якщо поміняти x і y місцями. Наприклад, x + y = 5, xy = 6 — симетрична система: після заміни x ↔ y отримуємо y + x = 5, yx = 6 — ті самі рівняння. Такі системи зручно розв’язувати через суму й добуток.

Заміна u = x + y, v = xy

Позначимо u = x + y, v = xy. Тоді x² + y² = (x + y)² − 2xy = u² − 2v. Ця тотожність — ключ до багатьох задач.

Приклад: x + y = 5, xy = 6

За оберненою теоремою Вієта, x і y є коренями квадратного рівняння t² − 5t + 6 = 0. Розв’язуємо: t = 2 або t = 3. Отже, маємо дві пари: (2; 3) і (3; 2).

Теореми Вієта немає в довідкових матеріалах НМТ, але її можна вивести з формули коренів квадратного рівняння. Вивчи її окремо: для t² − St + P = 0 сума коренів дорівнює S, добуток — P.

Приклад: x² + y² = 10, x + y = 4

Використовуємо тотожність: x² + y² = (x + y)² − 2xy. Підставляємо відомі значення:

$$10=4^2-2xy\Rightarrow 10=16-2xy\Rightarrow 2xy=6\Rightarrow xy=3.$$

Тепер маємо симетричну систему x + y = 4, xy = 3. Складаємо рівняння t² − 4t + 3 = 0, корені t = 1 і t = 3. Відповідь: (1; 3) і (3; 1).

Коли x і y шукати не треба

Іноді запитання звучить так: «Знайдіть x₀ · y₀, якщо (x₀; y₀) — розв’язок системи x + y = 5, x² + y² = 13». Тут не потрібно знаходити x і y окремо. Достатньо виразити добуток:

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy\Rightarrow 13=25-2xy\Rightarrow 2xy=12\Rightarrow xy=6.$$

Відповідь: 6. Жодної пари шукати не довелося.

Властивість симетричних систем

Розв’язки симетричної системи завжди йдуть парами (a; b) і (b; a). Одна пара буває лише тоді, коли a = b. Наприклад, система x + y = 4, xy = 4 має єдиний розв’язок (2; 2), бо рівняння t² − 4t + 4 = 0 має один корінь t = 2.

Кожне рівняння системи з двома змінними задає лінію на координатній площині. Розв’язки системи — це координати спільних точок цих ліній. Кількість розв’язків дорівнює кількості точок перетину графіків.

Які лінії трапляються

У довідкових матеріалах НМТ є рівняння кола з центром у точці (x₀; y₀) і радіусом R: (x − x₀)² + (y − y₀)² = R². Якщо центр у початку координат, воно має вигляд x² + y² = R², і тоді радіус — це квадратний корінь із правої частини.

Скільки може бути точок перетину

Пряма й коло перетинаються в 0, 1 або 2 точках. Парабола й коло — до 4 точок. Пряма й парабола — до 2 точок. Пряма й гіпербола — до 2 точок.

Приклад: x² + y² = 2, x + y = 2

Підставляємо y = 2 − x у рівняння кола:

$$x^2+(2-x{)}^2=2\Rightarrow x^2+4-4x+x^2=2\Rightarrow 2x^2-4x+2=0.$$

Ділимо на 2: x² − 2x + 1 = 0. Дискримінант D = 4 − 4 = 0. Один корінь x = 1, тоді y = 1. Система має один розв’язок (1; 1) — пряма дотикається до кола.

Приклад: x² + y² = 4, y = x² − 2

Виражаємо x² = y + 2 з другого рівняння й підставляємо в перше:

$$(y+2)+y^2=4\Rightarrow y^2+y-2=0.$$

Корені: y = 1 або y = −2. Для y = 1 маємо x² = 3, тобто x = ±√3 — дві точки. Для y = −2 маємо x² = 0, тобто x = 0 — одна точка. Усього три розв’язки.

Кількість розв’язків системи не дорівнює кількості значень y! Тут ми отримали два значення y, але розв’язків виявилося три. Завжди рахуй кількість пар (x; y), а не кількість значень однієї змінної.

Обидва рівняння квадратні

Коли обидва рівняння системи містять x² або y², можна виключити квадрати додаванням або підстановкою. У прикладі вище ми підставили x² = y + 2 — це й було виключення x². Інший спосіб: додати або відняти рівняння, щоб знищити x² чи y².

Розгляньмо чотири типові задачі НМТ на системи рівнянь другого степеня. Кожна демонструє окремий прийом.

Приклад 1. Знайти x₀ + y₀ за умови x₀ < 0

Завдання. Нехай (x₀; y₀) — розв’язок системи 2x − y = 1, x² + y = 7, у якому x₀ < 0. Знайдіть x₀ + y₀.

Розв’язання. Виражаємо y з лінійного рівняння: y = 2x − 1. Підставляємо в квадратне:

$$x^2+(2x-1)=7\Rightarrow x^2+2x-8=0.$$

Корені: x = 2 або x = −4. Для кожного знаходимо y з лінійного рівняння: y = 2·2 − 1 = 3 — пара (2; 3); y = 2·(−4) − 1 = −9 — пара (−4; −9). За умовою x₀ < 0, тому беремо другу пару. x₀ + y₀ = −4 + (−9) = −13.

Відповідь: −13.

Пастки. Якщо взяти пару (2; 3), сума буде 5 — це неправильно, бо x₀ > 0. Якщо вписати лише x₀ = −4, ігноруючи y₀, відповідь −4 теж не зарахується.

Приклад 2. Скільки розв’язків має система?

Завдання. Скільки розв’язків має система x² + y² = 9, y = x² − 3?

Варіанти відповіді: жодного, 1, 2, 3, 4.

Розв’язання. Виражаємо x² = y + 3 з другого рівняння й підставляємо в перше:

$$(y+3)+y^2=9\Rightarrow y^2+y-6=0.$$

Корені: y = 2 або y = −3. Для y = 2 маємо x² = 5, тобто x = ±√5 — дві точки. Для y = −3 маємо x² = 0, тобто x = 0 — одна точка. Усього три розв’язки.

Відповідь: 3.

Пастки. Відповідь 2 — це кількість значень y, а не кількість пар. Відповідь 4 — помилка: вважають, що кожне y дає два x, але для y = −3 маємо лише один x.

Приклад 3. Укажіть усі розв’язки симетричної системи

Завдання. Укажіть усі розв’язки системи x + y = 7, xy = 10.

Варіанти відповіді: (2; 5); (5; 2); (2; 5) і (5; 2); (−2; −5) і (−5; −2); (1; 10) і (10; 1).

Розв’язання. За оберненою теоремою Вієта, x і y — корені рівняння t² − 7t + 10 = 0. Корені: t = 2 і t = 5. Отже, маємо дві пари: (2; 5) і (5; 2).

Відповідь: (2; 5) і (5; 2).

Пастка. Записати лише одну пару (2; 5) — найпоширеніша помилка. У симетричній системі завжди дві пари, крім випадку a = b.

Приклад 4. Знайти x₀ · y₀ без пошуку x і y

Завдання. Знайдіть x₀ · y₀, якщо (x₀; y₀) — розв’язок системи x² + y² = 20, x + y = 6.

Розв’язання. Використовуємо тотожність:

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy\Rightarrow 20=36-2xy\Rightarrow 2xy=16\Rightarrow xy=8.$$

Відповідь: 8.

Пастка. Записати 16 — не поділити на 2 після 2xy = 16. Насправді обидві пари (2; 4) і (4; 2) дають той самий добуток 8, тому шукати пари не обов’язково.

• Гублять одну з пар у симетричній системі. Для x + y = 7, xy = 10 записують лише (2; 5), забуваючи про (5; 2). Правильно: завжди записуй обидві пари, крім випадку, коли корінь один.

• Другу змінну знаходять з квадратного рівняння й отримують зайві пари. Наприклад, у системі x − y = 1, x² + y² = 13 після знаходження y = 2 підставляють у квадратне рівняння й отримують x = ±3, хоча x = 3 — єдине правильне. Другу змінну завжди бери з лінійного рівняння.

• Вважають (x + y)² = x² + y², забуваючи доданок 2xy. Правильна тотожність: (x + y)² = x² + 2xy + y², звідки x² + y² = (x + y)² − 2xy. Запам’ятай її як таблицю множення.

• Кількість розв’язків плутають з кількістю значень однієї змінної. У системі x² + y² = 4, y = x² − 2 два значення y, але три розв’язки. Рахуй кількість пар (x; y), а не кількість y чи x.

• У відповідь вписують x₀ замість x₀ + y₀ або беруть не ту пару. Уважно читай запитання: чи просять x₀ + y₀, чи x₀ · y₀, чи x₀ окремо. Якщо пар дві, умова обов’язково вказує, яку брати.

• При підстановці губляться дужки. Наприклад, (y + 1)² записують як y² + 1, хоча правильно y² + 2y + 1. Завжди розкривай дужки за формулою скороченого множення.

Тема «системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня» входить до розділу 2.1 програми НМТ з математики (рівень стандарту). Це означає, що завдання на цю тему можуть з’явитися в будь-якому варіанті.

Формат завдань

Вибір однієї відповіді з п’яти (завдання 1–15). Пропонують вибрати кількість розв’язків, пару чисел або значення x₀ + y₀. Оцінюється в 0 або 1 бал.

Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали без часткових). У відомих варіантах НМТ ці позиції займали інші теми, тож система другого степеня може з’явитися тут хіба що як частина задачі з параметром (№ 22). Відповідь — одне число, яке записують десятковим дробом.

Довідкові матеріали

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є:

• рівняння кола (x − x₀)² + (y − y₀)² = R²;

• формула коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0;

• формули скороченого множення, зокрема (a + b)² = a² + 2ab + b².

Теореми Вієта в довідкових матеріалах немає. Її потрібно знати напам’ять або вміти виводити з формули коренів.

Стратегія

Кожну знайдену пару підстав в обидва рівняння системи. Це відсіює зайві пари (які з’явилися через помилку) і нагадує про загублені. Якщо пара задовольняє обидва рівняння — вона правильна. Якщо ні — шукай помилку в розв’язанні.

Перед тим як записати відповідь, перечитай запитання: чи просять x₀ + y₀, чи x₀ · y₀, чи просто кількість розв’язків? Чи є додаткова умова на знак x₀ чи y₀?

• Лінійне + квадратне — вирази змінну з лінійного рівняння й підстав у квадратне.

• Другу змінну шукай з лінійного рівняння, щоб не отримати зайвих пар.

• Симетрична система: u = x + y, v = xy; x² + y² = u² − 2v; розв’язки парами (a; b) і (b; a).

• Кількість розв’язків — кількість точок перетину графіків, а не кількість значень однієї змінної.

• Кожну пару перевір в обох рівняннях і відповідай саме на запитання: x₀ + y₀ чи x₀ · y₀.