Степені, корені й логарифми: формули з довідки НМТ

У розділі «Алгебра й початки аналізу» довідкових матеріалів НМТ є означення степеня та його властивості. Ти маєш чітко знати, де їх шукати, і вміти застосовувати миттєво.

Означення з довідки

У довідці записано:

• $a^1=a$ — степінь із показником 1 дорівнює самій основі.

• $a^n=a\cdot a\cdot \dots \cdot a$ ($n$ множників) для натурального $n\ge 2$.

• $a^0=1$ за умови $a\ne 0$.

• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ за умови $a\ne 0$.

Розберімо приклади, які часто трапляються. Обчислимо $2^{-3}$. За означенням $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$. Ще один приклад: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{1}{(2/3{)}^2}=\frac{1}{4/9}=\frac{9}{4}$.

Вирази $0^0$ і $0^{-2}$ не мають змісту. Нуль у нульовому степені та нуль у від'ємному степені — це заборонені операції, їх не існує в математиці.

П'ять властивостей степенів

У довідці є п'ять основних властивостей для дій зі степенями, які мають однакові або різні основи. Позначимо показники $x$ і $y$:

Чого в довідці немає: сума степенів

У довідці немає жодної формули для суми степенів. Поширена помилка — вважати, що $a^x+a^y=a^{x+y}$. Насправді це неправда. Наприклад, $2^3+2^3=8+8=16=2^4$, а не $2^6$ ($2^6=64$). Тобто $2^3+2^3=2\cdot 2^3=2^4$. Якщо у виразі є сума чи різниця степенів, винось спільний множник за дужки: $3^{x+2}=9\cdot 3^x$, $2^{n+1}-2^n=2^n(2-1)=2^n$.

У довідці НМТ немає окремого розділу «Корені». Натомість корінь $n$-го степеня подано через степінь із раціональним показником. Це важливо пам'ятати.

Степінь із раціональним показником: $a^{m/n}$

Формула з довідки:

$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, де $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$

Розгляньмо кілька прикладів:

• $8^{2/3}$: можна обчислити двома способами. Перший: $8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$. Другий: $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$.

• $27^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}$.

• $16^{0,75}=16^{3/4}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$.

Умова $a>0$ у формулі $a^{m/n}$ обов'язкова. Наприклад, $\sqrt[3]{-8}=-2$ — це число існує, але записувати його як $(-8{)}^{1/3}$ не можна, бо означення степеня з раціональним показником вимагає додатної основи.

Властивості коренів — виводимо зі степенів

Окремих рядків із властивостями коренів у довідці НМТ немає. Але їх легко отримати зі властивостей степенів. Запиши корінь як степінь і застосуй властивості:

• $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=a^{1/n}\cdot b^{1/n}=(ab{)}^{1/n}=\sqrt[n]{ab}$. Приклад: $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{64}=4$.

• $\sqrt{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a^{1/2}\cdot a^{1/4}=a^{3/4}$.

Головна пастка: $\sqrt{a^2}=|a|$

У довідці є окремий рядок: $\sqrt{a^2}=|a|$. Це означає, що квадратний корінь із квадрата числа завжди дорівнює модулю цього числа. Чому? Тому що корінь парного степеня завжди невід'ємний, а квадрат числа — завжди невід'ємний. Тому результат — модуль.

• $\sqrt{(-7{)}^2}=|-7|=7$

• $\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$, тому що $\sqrt{3}>1$

• $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|$

Те саме правило діє для будь-якого парного кореня: $\sqrt[4]{(-2{)}^4}=|-2|=2$, а от для непарного показника модуль не потрібен: $\sqrt[3]{(-2{)}^3}=-2$.

Розділ «Логарифми» в довідці НМТ починається з умов, які треба перевіряти щоразу. Запам'ятай їх як мантру.

Умови застосування

У довідці записано: $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $c>0$, $k\ne 0$.

Логарифм ${\log }_{a}b$ — це показник степеня, до якого треба піднести основу $a$, щоб отримати число $b$. Саме означення довідка не формулює словами — вона дає лише основну логарифмічну тотожність.

Основна логарифмічна тотожність

$a^{{\log }_{a}b}=b$

Це найважливіша формула. Вона означає, що логарифм і піднесення до степеня — взаємно обернені дії.

• $5^{{\log }_{5}7}=7$ — просто й швидко.

• $2^{3+{\log }_{2}5}=2^3\cdot 2^{{\log }_{2}5}=8\cdot 5=40$.

• $9^{{\log }_{3}4}=(3^2{)}^{{\log }_{3}4}=3^{2{\log }_{3}4}=3^{{\log }_3{4}^2}=4^2=16$.

Властивості логарифмів

У довідці є такі властивості:

Логарифм з основою $a^k$

Окрема формула в довідці: ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$, де $k\ne 0$. Вона дуже корисна, коли основа — степінь іншого числа.

• ${\log }_{8}32$: основа $8=2^3$, число $32=2^5$. Отже ${\log }_{8}32=\frac{1}{3}\cdot {\log }_2{2}^5=\frac{5}{3}$.

• ${\log }_{1/3}27$: основа $1/3=3^{-1}$, тому ${\log }_{1/3}27=\frac{1}{-1}\cdot {\log }_{3}27=-3$.

• ${\log }_{\sqrt{5}}25$: основа $\sqrt{5}=5^{1/2}$, тому ${\log }_{\sqrt{5}}25=\frac{1}{1/2}\cdot {\log }_{5}25=2\cdot 2=4$.

Позначення lg і ln

У довідці використано позначення $\lg b={\log }_{10}b$ (десятковий логарифм) і $\ln b={\log }_{e}b$ (натуральний логарифм). Довідка їх не пояснює, тому треба знати: $\lg 25+\lg 4=\lg 100=2$, $\ln e=1$.

Загальної формули переходу до нової основи ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ у довідці НМТ немає. Якщо основи — степені одного числа, використовуй формулу з $a^k$. В інших випадках формулу переходу треба знати напам'ять (про це — в юніті «Формули алгебри й тригонометрії, яких немає в довідці НМТ»).

На НМТ ти матимеш доступ до довідки. Тренуйся знаходити потрібний рядок за лічені секунди. Ось п'ять виразів, які покривають усі ключові формули цього юніта.

Вираз 1: $27^{2/3}\cdot 9^{-1/2}$

Шукаємо в довідці рядок $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$.

$27^{2/3}=(\sqrt[3]{27}{)}^2=3^2=9$.

Далі рядок $a^{-n}=1/a^n$: $9^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$.

Результат: $9\cdot \frac{1}{3}=3$.

Вираз 2: $\sqrt{(2-\sqrt{5}{)}^2}+\sqrt{5}$

Шукаємо рядок $\sqrt{a^2}=|a|$.

Оскільки $\sqrt{5}\approx 2,236$, то $2-\sqrt{5}<0$, тому $|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$.

Маємо: $(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2$.

Вираз 3: ${\log }_{2}12-{\log }_{2}3$

Шукаємо властивість логарифма частки: ${\log }_a(b/c)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$.

${\log }_{2}12-{\log }_{2}3={\log }_2(12/3)={\log }_{2}4=2$.

Вираз 4: $3^{2{\log }_{3}5}$

Спершу властивість логарифма степеня: $2{\log }_{3}5={\log }_3{5}^2={\log }_{3}25$.

Тепер основна логарифмічна тотожність: $3^{{\log }_{3}25}=25$.

Вираз 5: ${\log }_{4}8$

Шукаємо формулу ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$.

Основа $4=2^2$, число $8=2^3$. Отже ${\log }_{4}8=\frac{1}{2}\cdot {\log }_2{2}^3=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}=1,5$.

Порада: для кожного виразу спершу назви рядок довідки, який використовуєш, а потім рахуй. На тренуванні засікай час на всі п'ять виразів — намагайся вкластися в 2–3 хвилини, щоб пошук рядка став автоматичним.

Розгляньмо чотири завдання, схожі на ті, що трапляються на НМТ. Кожне розв'язуємо покроково.

Приклад 1. Обчисліть $16^{3/4}\cdot 2^{-2}$

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д).

Розв'язання. За формулою $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ маємо $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$. За означенням $a^{-n}=1/a^n$: $2^{-2}=1/4$. Добуток: $8\cdot 1/4=2$.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• 3 — якщо помножити 16 на 3/4, не розуміючи означення степеня з раціональним показником.

• 1/2 — якщо взяти $\sqrt[4]{16}=2$, але забути піднести до куба.

• −32 — якщо вважати $2^{-2}=-4$.

• 32 — якщо вважати $2^{-2}=4$ (тобто пропустити мінус у показнику).

Приклад 2. Установіть відповідність між виразом (1–3) і його значенням (А–Д)

Вирази:

1. ${\log }_{3}18-{\log }_{3}2$

2. $2^{{\log }_{2}5-1}$

3. ${\log }_{27}9$

Варіанти значень: А) 2; Б) 2/3; В) 2,5; Г) 3/2; Д) 4.

Розв'язання.

• 1) ${\log }_{3}18-{\log }_{3}2={\log }_3(18/2)={\log }_{3}9=2$ — відповідає А.

• 2) $2^{{\log }_{2}5-1}=2^{{\log }_{2}5}\cdot 2^{-1}=5\cdot 1/2=2,5$ — відповідає В.

• 3) ${\log }_{27}9$: основа $27=3^3$, число $9=3^2$, тому ${\log }_{27}9=\frac{1}{3}\cdot {\log }_3{3}^2=\frac{2}{3}$ — відповідає Б.

Відповідь: 1 → А, 2 → В, 3 → Б.

Чому інші варіанти неправильні: Г) 3/2 — переплутали основу й число в логарифмі; Д) 4 — обчислили $5-1$ замість $2^{{\log }_{2}5-1}$.

Приклад 3. Спростіть $\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}+\sqrt{3}$

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. За формулою $\sqrt{a^2}=|a|$ маємо $\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}=|\sqrt{3}-2|$. Оскільки $\sqrt{3}\approx 1,732$, то $\sqrt{3}-2<0$, тому $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$. Тоді $(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}=2$.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• $2\sqrt{3}-2$ — якщо взяти корінь без модуля: $\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2$.

• −2 — якщо помилитися зі знаком під час розкриття модуля: $|\sqrt{3}-2|=-\sqrt{3}-2$, тоді $(-\sqrt{3}-2)+\sqrt{3}=-2$.

• $2\sqrt{3}+2$ — якщо вважати $|\sqrt{3}-2|=\sqrt{3}+2$.

• $2-2\sqrt{3}$ — якщо правильно розкрити модуль, але відняти $\sqrt{3}$ замість додати: $(2-\sqrt{3})-\sqrt{3}=2-2\sqrt{3}$.

Приклад 4. Обчисліть ${\log }_{2}40-{\log }_{2}5+{\log }_{0,5}4$

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Спочатку застосуємо властивість логарифма частки: ${\log }_{2}40-{\log }_{2}5={\log }_2(40/5)={\log }_{2}8=3$.

Тепер ${\log }_{0,5}4$: основа $0,5=2^{-1}$, число $4=2^2$. За формулою ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$: ${\log }_{0,5}4=\frac{1}{-1}\cdot {\log }_2{2}^2=-2$.

Сума: $3+(-2)=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• 5 — якщо вважати ${\log }_{0,5}4=2$ (забути про від'ємний показник основи).

• 3 — якщо забути третій доданок і зупинитися на ${\log }_{2}8=3$.

• −1 — якщо помилково вважати ${\log }_{0,5}4=-4$ (узяти замість логарифма саме число 4 зі знаком «мінус»): $3+(-4)=-1$.

• ${\log }_{2}35-2$ — якщо відняти числа під логарифмом: $40-5=35$.

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ. Прочитай уважно — і не повторюй їх.

• Забувають модуль: $\sqrt{a^2}=a$ без модуля. Наприклад, $\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}$ дехто записує як $1-\sqrt{2}$, а це від'ємне число. Правильно: $|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$.

• Вважають $a^{-n}$ від'ємним числом: $2^{-3}=-8$ замість $1/8$. Від'ємний показник не робить число від'ємним — він «перевертає» дріб.

• Переносять властивості на суму: $a^x+a^y=a^{x+y}$ — це неправда. Так само ${\log }_a(b+c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ — теж неправда. Логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.

• Плутають $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$ з ${\log }_a(b/c)$. Перше — це відношення двох логарифмів, друге — логарифм частки. Це різні речі.

• У формулі ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ множать на $k$ замість ділити. Наприклад, ${\log }_{8}32$ помилково обчислюють як $3\cdot 5=15$ замість $5/3$.

• Забувають умови: ${\log }_2(-4)$ не існує, бо аргумент має бути додатним. ${\log }_{1}5$ не існує, бо основа не може дорівнювати 1.

• Плутають степінь із раціональним показником із множенням: $8^{2/3}$ рахують як $8\cdot 2/3=16/3$, хоча насправді це $(\sqrt[3]{8}{)}^2=4$.

Означення й властивості степенів і коренів $n$-го степеня належать до теми 1.1 програми НМТ («Дійсні числа (натуральні, раціональні та ірраціональні), порівняння чисел та дії з ними»). Логарифм, його властивості й основна логарифмічна тотожність — тема 1.3 («Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення»).

У демоваріанті НМТ-2026:

• Завдання № 9 — обчислення з коренями $n$-го степеня (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал).

• Завдання № 4 — найпростіше логарифмічне рівняння (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал).

• Завдання № 17 — відповідність «логічні пари»: значення виразів з модулем і степенями з цілим і нульовим показником. 1 бал за кожну правильну пару, до 3 балів.

Розділ «Логарифми» в довідці починається з умов $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $c>0$, $k\ne 0$. Стратегія: перш ніж застосувати будь-яку властивість логарифма, перевір ці умови. Розв'язуй у чернетці — не намагайся тримати всі кроки в голові.

• $a^0=1$, $a^{-n}=1/a^n$, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ при $a>0$ — усе це є в довідці НМТ.

• Властивості коренів окремим рядком у довідці немає — виводь їх зі властивостей степенів.

• Корінь парного степеня з парного степеня — модуль: $\sqrt{a^2}=|a|$, $\sqrt[4]{a^4}=|a|$.

• Основна логарифмічна тотожність: $a^{{\log }_{a}b}=b$.

• Логарифм добутку — сума, частки — різниця, степеня — множник $n$.

• Логарифм з основою $a^k$ дорівнює $(1/k)\cdot {\log }_{a}b$.

• Умови $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ перевіряй завжди, перш ніж застосовувати властивість логарифма.

• Загальну формулу переходу до нової основи ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ знай напам'ять — у довідці її немає.