Глосарій

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини піраміди до сторони основи. Позначається l. Пов'язана з висотою h і радіусом вписаного кола основи r: l² = h² + r².

Невід'ємне число, квадрат якого дорівнює підкореневому виразу. Позначається знаком √. Наприклад, √1369 = 37, оскільки 37² = 1369.

Обернена тригонометрична функція: arccos a — це кут з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює a. Властивість: arccos(−a) = π − arccos a.

Обернена тригонометрична функція: arcsin a — це кут з проміжку [−π/2; π/2], синус якого дорівнює a. Властивість: arcsin(−a) = −arcsin a.

Число, яке дорівнює границі інтегральних сум функції на проміжку [a; b] і обчислюється за формулою Ньютона–Лейбніца як різниця значень первісної у верхній та нижній межах.

Перпендикуляр, опущений з вершини паралелограма на протилежну сторону (або її продовження). Довжина висоти дорівнює добутку сусідньої сторони на синус кута між цією стороною й основою.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло. Дорівнює половині дуги, на яку спирається (половині відповідного центрального кута).

Десятковий логарифм — це логарифм з основою 10. Позначають lg b замість log_10 b. Наприклад, lg 100 = 2, lg 0,01 = −2.

Число D = b² − 4ac, яке визначає кількість коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0: D > 0 — два різні корені; D = 0 — один корінь; D < 0 — дійсних коренів немає.

Відрізки, що сполучають протилежні вершини ромба. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл. Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.

Довжина частини кола, що відповідає центральному куту n°. Обчислюється за формулою l = πRn/180 (у градусах) або l = Rα (у радіанах).

Довжина замкненої кривої, що обмежує круг. Обчислюється за формулою L = 2πR, де R — радіус кола. Через діаметр: L = πd.

Многочлен виду ax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числа і a ≠ 0. Якщо D ≥ 0, розкладається на множники першого степеня: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), де x₁, x₂ — корені рівняння ax² + bx + c = 0 (при D = 0 x₁ = x₂). Якщо D < 0, на такі множники не розкладається.

Коренем n-го степеня з числа a називають таке число b, для якого bⁿ = a (n — натуральне, n ≥ 2). Наприклад, коренем четвертого степеня з 81 є 3, бо 3⁴ = 81.

Число k у рівнянні прямої y = kx + b, яке дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі Ox. Обчислюється як k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) для двох точок прямої.

Логарифм числа b за основою a — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Позначають log_a b. Запис log_a b = c означає, що a^c = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Відстань від числа до нуля на числовій прямій. Означення з довідки НМТ: |a| = a, якщо a ≥ 0; |a| = −a, якщо a < 0. Значення модуля завжди невід'ємне.

Натуральний логарифм — це логарифм з основою e, де e ≈ 2,71828 (число Ейлера). Позначають ln b замість log_e b. Наприклад, ln e = 1, ln 1 = 0.

Одиничне коло — це коло з центром у початку координат (0; 0) і радіусом 1. Кут α задає на ньому точку Pα з координатами (cos α; sin α).

Дві паралельні сторони трапеції. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту: S = (a + b)/2 · h.

Основна логарифмічна тотожність: a^(log_a b) = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0. Вона випливає з означення логарифма: log_a b — це показник, піднесення a до якого дає b.

Тотожність sin²α + cos²α = 1, яка виконується для будь-якого кута α і є наслідком теореми Піфагора для точки (cos α; sin α) на одиничному колі.

Визначення двох послідовних цілих чисел, між якими лежить квадратний корінь. Якщо n² < a < (n+1)², то n < √a < n+1. Для наближення до десятих використовують пропорцію між сусідніми квадратами.

Функція F називається первісною для функції f на проміжку, якщо для всіх x цього проміжку виконується рівність F′(x) = f(x).

Половина периметра трикутника: p = (a + b + c) / 2. Використовується у формулі Герона для обчислення площі за трьома сторонами.

Вираз, що стоїть під знаком кореня. Для кореня парного степеня підкореневий вираз має бути невід'ємним, для кореня непарного степеня — може бути будь-яким дійсним числом.

Сума площ усіх бічних граней многогранника або площа бічної поверхні тіла обертання (без основ). Формули для кожного тіла — у довідці НМТ.

Площа частини площини, обмеженої колом. Обчислюється за формулою S = πR², де R — радіус круга. Через діаметр: S = πd²/4.

Сума площ усіх граней (поверхонь) геометричного тіла. Для призми й циліндра: S_п = S_б + 2S_осн; для піраміди й конуса: S_п = S_б + S_осн.

Площа частини круга, обмеженої двома радіусами й дугою. Обчислюється за формулою S = πR²n/360 = ½R²α = ½lR.

Похідна функції f(x) у точці x — це границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Позначають f′(x) або (f(x))′. Похідна показує миттєву швидкість зміни функції.

Формули для знаходження похідної суми, різниці, добутку, частки функцій та функції зі сталим множником: (u ± v)′ = u′ ± v′, (Cu)′ = Cu′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².

Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а вершина проєктується в його центр. Об'єм: V = ⅓·S_осн·h, бічна поверхня: S_б = ½·P_осн·l (l — апофема).

Многогранник, у якого бічні ребра перпендикулярні до площини основи; висота збігається з бічним ребром. Об'єм: V = S_осн · H, бічна поверхня: S_б = P_осн · H.

Відстань від центра вписаного кола (точки перетину бісектрис) до кожної сторони трикутника. Обчислюється за формулою r = S / p, де S — площа трикутника, p — півпериметр.

Радіус кола, яке проходить через усі три вершини трикутника. Позначається R. Через теорему синусів: R = a / (2 sin A), де a — сторона, A — протилежний їй кут.

Рівняння (x − x₀)² + (y − y₀)² = R² задає коло з центром у точці M(x₀; y₀) і радіусом R на координатній площині.

Запис ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), де x₁, x₂ — корені рівняння ax² + bx + c = 0. Множник a обов'язково зберігають, інакше розклад буде неправильним.

Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції. Паралельний основам і дорівнює їхній півсумі: m = (a + b)/2.

Вираз a^(m/n), де a > 0, m — ціле число, n — натуральне число (n ≥ 2). За означенням a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).

Таблиця в довідці НМТ, яка містить значення sin, cos і tg для восьми кутів: 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°), 2π (360°). Для tg 90° і tg 270° зазначено «не існує».

Таблиця в довідкових матеріалах НМТ, яка містить квадрати чисел від 10 до 49 (від 100 до 2401). Рядки позначають десятки, стовпці — одиниці; на перетині стоїть квадрат числа.

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою на колі основи. Позначається l. Пов'язана з радіусом R і висотою H: l² = R² + H².

Якщо зведене квадратне рівняння x² + px + q = 0 має дійсні корені x₁ і x₂ (D ≥ 0), то x₁ + x₂ = −p, а x₁ · x₂ = q. Для загального рівняння ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Формула, що пов'язує сторони й кути довільного трикутника: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними (c² = a² + b² − 2ab · cos C). Узагальнює теорему Піфагора на будь-які трикутники.

Для будь-якого трикутника зі сторонами a, b, c і протилежними кутами A, B, C виконується: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, де R — радіус описаного кола.

Число, яке є квадратом цілого числа. Наприклад, 1369 = 37² — точний квадрат, а 1400 — ні. Число, що закінчується на 2, 3, 7 або 8, не може бути точним квадратом.

Формула для обчислення площі трикутника за трьома сторонами a, b, c: S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), де p — півпериметр.

Основна формула інтегрального числення: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), де F — будь-яка первісна функції f на проміжку [a; b].

Формула logₐ b = log_c b / log_c a, яка дозволяє обчислити логарифм з однією основою через логарифми з іншою основою. Наслідки: logₐ b = 1/log_b a; logₐ b · log_b c = logₐ c.

Тригонометричні тотожності, які виражають синус і косинус суми або різниці двох кутів через синуси й косинуси цих кутів: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.

Тригонометричні формули, які дають змогу виразити функцію кутів π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π − α (у градусах — 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α, 360° − α) через функцію гострого кута α, змінюючи або зберігаючи назву функції за мнемонічним правилом і визначаючи знак за чвертю.

Тотожності, отримані з формул додавання при β = α: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1. Дають змогу виразити тригонометричні функції подвійного кута через функції одинарного кута.

Наслідки з формул подвійного кута: cos²α = (1 + cos 2α)/2; sin²α = (1 − cos 2α)/2. Використовуються для пониження степеня тригонометричних функцій. У довідці НМТ цих формул немає.

Формули, які дозволяють швидко виконувати множення двочленів і розкладати многочлени на множники: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b), a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

Кут, вершина якого збігається з центром кола. Дорівнює градусній мірі дуги, на яку спирається.