Нерівності з модулем

Модуль різниці двох чисел — це відстань між відповідними точками на числовій прямій. Запис |x − c| означає «відстань від точки x до точки c». Це геометричне тлумачення дає змогу розв'язувати найпростіші нерівності з модулем майже без обчислень — достатньо уявити числову пряму.

Відстань на числовій прямій

Якщо маємо |x − 2|, то це відстань між точкою x і точкою 2. Наприклад, |5 − 2| = 3 — відстань від 5 до 2 дорівнює 3. А |−1 − 2| = 3 — відстань від −1 до 2 теж 3. Зверни увагу: |x + c| = |x − (−c)|, тобто |x + 1| — це відстань від x до −1, а не до 1. Це часта пастка.

Нерівності виду |x − c| ≤ r і |x − c| > r

Нерівність |x − 2| ≤ 3 означає: «відстань від x до 2 не більша за 3». На числовій прямій це всі точки, що лежать не далі ніж на 3 одиниці від 2. Отже, x належить проміжку від 2 − 3 = −1 до 2 + 3 = 5, включно з межами. Відповідь: [−1; 5].

Нерівність |x − 2| > 3 означає «відстань від x до 2 більша за 3». Це точки, що лежать лівіше від −1 або правіше від 5. Відповідь — об'єднання двох променів: (−∞; −1) ∪ (5; +∞). Межі не входять, бо нерівність строга.

Окремі випадки: |x|, |x + 1|

Нерівність |x| < 3 — це |x − 0| < 3, тобто відстань від x до 0 менша за 3. Звідси −3 < x < 3. Нерівність |x| ≥ 3 дає x ≤ −3 або x ≥ 3.

Нерівність |x + 1| > 4 перепишемо як |x − (−1)| > 4. Це точки, віддалені від −1 більше ніж на 4. Відповідь: (−∞; −5) ∪ (3; +∞).

Центр і радіус

Загальне правило: |x − c| ≤ r ⇔ x ∈ [c − r; c + r]. Число c — центр проміжку, r — радіус. Навпаки, якщо дано проміжок, можна записати відповідну нерівність. Наприклад, проміжок (1; 7) має центр (1 + 7)/2 = 4 і радіус (7 − 1)/2 = 3. Йому відповідає нерівність |x − 4| < 3.

Порівняння відстаней

Нерівність |x − 1| < |x + 3| означає: точка x ближча до 1, ніж до −3. Середина між 1 і −3 — це −1. Усі точки, що лежать правіше від середини, ближчі до правого числа. Отже, x > −1. Геометричний підхід тут набагато швидший за розкриття модулів.

Коли під модулем стоїть не просто x, а вираз f(x), геометричне тлумачення вже не працює безпосередньо. Тут потрібні алгебраїчні правила, які випливають з означення модуля.

Правила для a > 0

Якщо a > 0, то:

• |f(x)| < a ⇔ −a < f(x) < a — подвійна нерівність. Усі три частини перетворюють одночасно.

• |f(x)| > a ⇔ f(x) < −a або f(x) > a — сукупність двох нерівностей. Відповідь — об'єднання проміжків.

Приклад: |2x − 3| ≤ 5. За правилом: −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5. Додаємо 3 до всіх трьох частин: −2 ≤ 2x ≤ 8. Ділимо на 2: −1 ≤ x ≤ 4. Відповідь: [−1; 4]. Цілі розв'язки: −1, 0, 1, 2, 3, 4 — шість чисел.

Приклад: |3x + 1| > 7. За правилом: 3x + 1 < −7 або 3x + 1 > 7. Розв'язуємо кожну: 3x < −8 ⇒ x < −8/3; 3x > 6 ⇒ x > 2. Відповідь: (−∞; −8/3) ∪ (2; +∞).

Від'ємний коефіцієнт під модулем

Коли під модулем вираз із від'ємним коефіцієнтом, наприклад |3 − 2x| < 5, діємо за тим самим правилом: −5 < 3 − 2x < 5. Віднімаємо 3: −8 < −2x < 2. Ділимо на −2 — знаки нерівностей змінюються: 4 > x > −1, тобто −1 < x < 4. Щоб уникнути плутанини, зручно скористатися властивістю |3 − 2x| = |2x − 3| і розв'язувати |2x − 3| < 5.

Випадок a < 0

Модуль завжди невід'ємний, тому:

• |f(x)| < a при a < 0 — розв'язків немає. Наприклад, |2x + 1| < −1 не має розв'язків, бо модуль не може бути меншим за від'ємне число.

• |f(x)| > a і |f(x)| ≥ a при a < 0 виконуються для всіх x з області визначення. Наприклад, |x − 3| ≥ −2 — правильна для будь-якого x.

Випадок a = 0

• |f(x)| < 0 — розв'язків немає.

• |f(x)| ≤ 0 ⇔ f(x) = 0 — модуль дорівнює нулю лише тоді, коли сам вираз дорівнює нулю.

• |f(x)| > 0 ⇔ f(x) ≠ 0. Наприклад, |x − 4| > 0 — усі x, крім 4.

• |f(x)| ≥ 0 — усі x (модуль завжди невід'ємний).

Коли нерівність містить кілька модулів або змінну в правій частині, геометричний спосіб і прості правила вже не дають готової відповіді. Тоді застосовують метод проміжків: знаходять нулі підмодульних виразів, ділять числову пряму на проміжки, на кожному проміжку розкривають модуль зі своїм знаком і розв'язують лінійну нерівність.

Алгоритм

1. Знайди нулі всіх підмодульних виразів (прирівняй кожен до нуля).

2. Познач нулі на числовій прямій — вони розіб'ють її на проміжки.

3. Для кожного проміжку визнач знак кожного підмодульного виразу й розкрий модуль.

4. Розв'яжи утворену лінійну нерівність на цьому проміжку.

5. Перетни отриманий розв'язок із самим проміжком — це частинна відповідь.

6. Об'єднай усі частинні відповіді.

Приклад: сума двох модулів

Розв'яжемо |x − 1| + |x + 3| ≤ 6. Нулі підмодульних виразів: x − 1 = 0 ⇒ x = 1; x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Позначаємо −3 і 1 на прямій — отримуємо три проміжки.

Проміжок I: x < −3. Тоді x − 1 < 0, x + 3 < 0. Розкриваємо: −(x − 1) − (x + 3) ≤ 6 ⇒ −x + 1 − x − 3 ≤ 6 ⇒ −2x − 2 ≤ 6 ⇒ −2x ≤ 8 ⇒ x ≥ −4. Перетинаємо з x < −3: [−4; −3).

Проміжок II: −3 ≤ x < 1. Тут x − 1 < 0, x + 3 ≥ 0. Розкриваємо: −(x − 1) + (x + 3) ≤ 6 ⇒ −x + 1 + x + 3 ≤ 6 ⇒ 4 ≤ 6 — істинна нерівність. Отже, увесь проміжок [−3; 1) входить у відповідь.

Проміжок III: x ≥ 1. Обидва вирази невід'ємні: (x − 1) + (x + 3) ≤ 6 ⇒ 2x + 2 ≤ 6 ⇒ 2x ≤ 4 ⇒ x ≤ 2. Перетинаємо з x ≥ 1: [1; 2].

Об'єднуємо всі частини: [−4; −3) ∪ [−3; 1) ∪ [1; 2] = [−4; 2].

Геометрична перевірка

Вираз |x − 1| + |x + 3| — це сума відстаней від x до 1 і до −3. На відрізку [−3; 1] ця сума завжди дорівнює 4 (довжина відрізка). За межами відрізка сума зростає на 2 з кожною одиницею віддалення. Тому нерівність ≤ 6 виконується, поки ми не відійдемо далі ніж на 1 одиницю вліво від −3 (до −4) і не далі ніж на 1 одиницю вправо від 1 (до 2). Збігається з отриманим проміжком [−4; 2].

Змінна в правій частині

Розв'яжемо |x − 2| < 2x − 1. Тут права частина містить x, тому використовуємо метод проміжків. Нуль підмодульного виразу: x = 2.

Проміжок I: x ≥ 2. Модуль розкриваємо зі знаком «+»: x − 2 < 2x − 1 ⇒ −2 + 1 < 2x − x ⇒ −1 < x ⇒ x > −1. Перетинаємо з x ≥ 2: [2; +∞).

Проміжок II: x < 2. Модуль розкриваємо зі знаком «−»: 2 − x < 2x − 1 ⇒ 2 + 1 < 2x + x ⇒ 3 < 3x ⇒ x > 1. Перетинаємо з x < 2: (1; 2).

Об'єднуємо: (1; 2) ∪ [2; +∞) = (1; +∞).

У цьому розділі розв'яжемо п'ять типових завдань НМТ на нерівності з модулем — від простих до складніших.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність |x − 3| < 4

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д).

Розв'язання. За геометричним змістом |x − 3| < 4 — це точки, віддалені від 3 менше ніж на 4. Отже, −4 < x − 3 < 4. Додаємо 3: −1 < x < 7. Відповідь: (−1; 7).

Чому інші варіанти неправильні:

• (−∞; −1) ∪ (7; +∞) — узяли «зовнішню» частину, тобто розв'язали |x − 3| > 4.

• (−7; 1) — центр зсунули в −3 замість 3, тобто розв'язали |x + 3| < 4.

• [−1; 7] — включили межі, хоча нерівність строга.

• (−∞; 7) — узяли лише одну межу.

Приклад 2. Знайдіть кількість цілих розв'язків нерівності |2x + 1| ≤ 7

Завдання з короткою відповіддю (число).

Розв'язання. За правилом для a > 0: −7 ≤ 2x + 1 ≤ 7. Віднімаємо 1: −8 ≤ 2x ≤ 6. Ділимо на 2: −4 ≤ x ≤ 3. Цілі числа на цьому проміжку: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — усього 8.

Відповідь: 8.

Типові пастки: 6 (не включили межі −4 і 3) і 7 (помилилися в одній межі). Завжди перевіряй межі підстановкою.

Приклад 3. Укажіть множину розв'язків нерівності |5 − x| ≥ 2

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Скористаємося властивістю |5 − x| = |x − 5|. Маємо |x − 5| ≥ 2. За правилом для |f(x)| ≥ a: x − 5 ≤ −2 або x − 5 ≥ 2. Звідси x ≤ 3 або x ≥ 7. Відповідь: (−∞; 3] ∪ [7; +∞).

Чому інші варіанти неправильні:

• [3; 7] — записали подвійну нерівність замість об'єднання.

• (3; 7) — те саме, ще й зі строгими дужками.

• (−∞; 3) ∪ (7; +∞) — не включили межі, хоча нерівність нестрога.

• (−∞; −7] ∪ [−3; +∞) — помилка в центрі й радіусі.

Приклад 4. Скільки цілих розв'язків має нерівність |x − 1| + |x + 2| < 5?

Завдання з короткою відповіддю.

Розв'язання. Сума відстаней до 1 і до −2 менша за 5. Відстань між −2 і 1 дорівнює 3. На відрізку [−2; 1] сума відстаней завжди дорівнює 3, що менше за 5, — увесь відрізок входить. За межами відрізка сума зростає на 2 за кожну одиницю віддалення. Нам потрібно, щоб сума була меншою за 5, тобто можна відійти не більше ніж на 1 одиницю вліво від −2 (до −3) і не більше ніж на 1 одиницю вправо від 1 (до 2). Отже, −3 < x < 2. Цілі числа: −2, −1, 0, 1 — чотири.

Відповідь: 4.

Пастка: 6 — якщо включити межі −3 і 2, але при x = −3 сума дорівнює 5, що не задовольняє строгу нерівність.

Приклад 5. Укажіть нерівність, яка не має розв'язків

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Аналізуємо кожну:

• |x + 2| < −1 — модуль не може бути меншим за від'ємне число. Розв'язків немає. Це ключ.

• |x + 2| > −1 — модуль завжди більший за від'ємне число. Усі x.

• |x + 2| ≤ 0 — модуль дорівнює нулю лише при x = −2.

• |x + 2| > 0 — усі x, крім −2.

• |x| < 1 — −1 < x < 1, має розв'язки.

Відповідь: |x + 2| < −1.

Нижче — найпоширеніші помилки, які коштують балів на НМТ. Прочитай уважно, щоб не потрапити в ці пастки.

• Помилка: для |f(x)| > a записують подвійну нерівність. Наприклад, для |x − 5| ≥ 2 пишуть −2 ≥ x − 5 ≥ 2 і отримують [3; 7]. Правильно: x − 5 ≤ −2 або x − 5 ≥ 2, тобто (−∞; 3] ∪ [7; +∞). Запам'ятай: «менше» — один проміжок, «більше» — два.

• Помилка: неправильно визначають центр. |x + 1| вважають відстанню до 1, а це відстань до −1. Завжди переписуй |x + c| = |x − (−c)|.

• Помилка: при a < 0 для обох нерівностей пишуть «розв'язків немає». |f(x)| > −3 виконується для всіх x, бо модуль завжди невід'ємний. Розв'язків немає лише для |f(x)| < a при a < 0.

• Помилка: у подвійній нерівності ділять на від'ємне число й змінюють лише один знак. Наприклад, у −5 < 3 − 2x < 5 ділять на −2 і отримують 2,5 < −1,5 + x < −2,5 — це нісенітниця. Правильно: ділимо всі три частини на −2 і змінюємо обидва знаки нерівності: 4 > x > −1.

• Помилка: розкривши модуль на проміжку, не перетинають отриманий розв'язок із самим проміжком. Наприклад, для |x − 2| < 2x − 1 при x < 2 отримали x > 1, але записали (1; +∞), хоча треба (1; 2). Завжди перетинай результат із проміжком!

• Помилка: вважають |f(x)| > 0 правильною для всіх x. Насправді |f(x)| > 0 ⇔ f(x) ≠ 0. Наприклад, |x − 4| > 0 — усі x, крім 4.

Нерівності з модулем входять до теми 2.1 програми НМТ, присвяченої рівнянням, нерівностям та їх системам. Це вимога рівня стандарту, тобто обов'язковий мінімум.

Формат завдань

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). Пропонують п'ять проміжків (А–Д), треба вибрати правильний. Пастки: «всередині» замість «зовні» (тобто подвійна нерівність замість об'єднання) і неправильні дужки (круглі замість квадратних і навпаки).

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали без часткових). Просять знайти кількість цілих розв'язків або їхню суму. Відповідь — одне число, яке записують десятковим дробом.

• Системи нерівностей. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 13 — система нерівностей (квадратна й лінійна). Нерівність з модулем може входити до такої системи; тоді потрібно розв'язати кожну нерівність окремо й знайти перетин їхніх розв'язків.

Що можна взяти з собою

У довідкових матеріалах НМТ є означення модуля: |a| = a, якщо a ≥ 0; |a| = −a, якщо a < 0. Правил для нерівностей з модулем (|f(x)| < a чи |f(x)| > a) там немає — їх треба знати напам'ять.

Стратегія

1. У чернетці познач центр і радіус на числовій прямій.

2. Перевір межу підстановкою: чи входить вона у відповідь?

3. Візьми одне число зсередини отриманого проміжку й підстав у вихідну нерівність — переконайся, що вона виконується.

4. Якщо сумніваєшся між двома варіантами, підстав крайні точки кожного.

• |x − c| — відстань від x до c. |x − c| ≤ r — відрізок [c − r; c + r]; |x − c| > r — два промені (−∞; c − r) ∪ (c + r; +∞).

• |f(x)| < a (a > 0) ⇔ −a < f(x) < a — один проміжок.

• |f(x)| > a (a > 0) ⇔ f(x) < −a або f(x) > a — об'єднання двох проміжків.

• a < 0: |f(x)| < a — розв'язків немає; |f(x)| > a — усі x.

• |f(x)| > 0 ⇔ f(x) ≠ 0; |f(x)| ≤ 0 ⇔ f(x) = 0.

• Кілька модулів чи змінна праворуч — розкриваємо модулі на проміжках (нулі підмодульних виразів ділять пряму, на кожному проміжку свій знак).

• Цілі розв'язки виписуй явно, межі перевіряй підстановкою.