Координати в просторі: відстань, середина відрізка й симетрія

У планіметрії тобі знайома прямокутна (декартова) система координат на площині: дві взаємно перпендикулярні осі Ox (абсцис) та Oy (ординат) зі спільним початком O. У стереометрії додають третю вісь — Oz (вісь аплікат), яка перпендикулярна до обох попередніх. Так утворюється прямокутна система координат у просторі.

Кожна точка простору задається трьома числами — координатами:A(x; y; z), де x — абсциса, y — ордината, z — апліката. Початок координат — точка O(0; 0; 0).

Координатні площини

Попарно перпендикулярні осі утворюють три координатні площини:

• Oxy — площина, у якій z = 0; містить осі Ox та Oy

• Oxz — площина, у якій y = 0; містить осі Ox та Oz

• Oyz — площина, у якій x = 0; містить осі Oy та Oz

Точки, що лежать на одній із цих площин, мають нульовою відповідну координату. Наприклад, будь-яка точка площини Oxy має вигляд (x; y; 0). Точка на осі Ox має дві нульові координати: (x; 0; 0); на осі Oz — (0; 0; z).

Проєкції точки на координатні площини й осі

Проєкція точки на координатну площину — це точка, у якій та сама пара координат, а третя (та, якої «немає» в назві площини) дорівнює нулю. Розгляньмо точку A(3; −2; 5):

Як бачиш, усе працює за тією самою логікою, що й на площині, — щойно додано третю координату z. Запам'ятай: координатні осі попарно перпендикулярні, а кожна площина «зануляє» координату, якої немає в її назві.

Відстань між двома точками A(x₁; y₁; z₁) і B(x₂; y₂; z₂) у просторі обчислюється за формулою:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Це природне узагальнення теореми Піфагора: на площині маєш два доданки під коренем, у просторі — три.

Приклад обчислення

Нехай A(1; −2; 3) і B(3; 2; −1). Знайдемо відстань між ними:

• Різниці координат: Δx = 3 − 1 = 2; Δy = 2 − (−2) = 4; Δz = −1 − 3 = −4

• Квадрати різниць: 4; 16; 16

• Сума квадратів: 4 + 16 + 16 = 36

• AB = √36 = 6

Середина відрізка

Координати середини M відрізка AB дорівнюють півсумі відповідних координат кінців:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right)$$

Для точок A(1; −2; 3) і B(3; 2; −1) маємо M(2; 0; 1). Цю формулу, як і формулу відстані, наводять у довідкових матеріалах НМТ.

Обернені задачі

Якщо відомі середина M й один кінець A, другий кінець B знаходять зі співвідношення:

$$B=2M-A$$ тобто B(2x_M − x_A; 2y_M − y_A; 2z_M − z_A).

Приклад: M(1; 2; −3) — середина AB, A(4; −1; 0). Тоді B = (2·1 − 4; 2·2 − (−1); 2·(−3) − 0) = (−2; 5; −6).

Інший тип оберненої задачі — знайти невідому координату точки за відомою відстанню. Нехай A(1; 2; z), B(3; 0; 1) і AB = 3. Підставляємо у формулу відстані:

$\sqrt{(3-1{)}^2+(0-2{)}^2+(1-z{)}^2}=3$ ⇒ $4+4+(z-1{)}^2=9$ ⇒ $(z-1{)}^2=1$ ⇒ z = 0 або z = 2.

Зверни увагу: тут дві відповіді — квадратне рівняння дає два корені.

Застосування до трикутника

Знаючи координати вершин трикутника ABC, можна:

• визначити вид трикутника за сторонами (рівнобедрений — дві сторони рівні, прямокутний — виконується обернена теорема Піфагора);

• обчислити довжину медіани як відстань від вершини до середини протилежної сторони.

Ці відстані легко поплутати. Розберімося раз і назавжди.

Відстань до координатної площини

Відстань від точки A(x; y; z) до координатної площини — це модуль тієї координати, якої немає в назві площини:

Чому модуль? Бо відстань — завжди невід'ємне число, а координата може бути від'ємною. До прикладу, від точки A(3; −4; 12) до площини Oxy відстань дорівнює |12| = 12, а до площини Oyz — |3| = 3.

Відстань до осі координат

Відстань від точки до осі — це відстань від точки до її проєкції на цю вісь. Проєкція на вісь зберігає лише координату, що відповідає цій осі, а дві інші обнулює. Тому:

Наприклад, A(6; −8; 5). Відстань до осі Oz: √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Зверни увагу: це не дорівнює |z| = 5! П'ятірка — відстань до площини Oxy, а не до осі.

Відстань до початку координат

Відстань від точки A(x; y; z) до початку координат O(0; 0; 0) — це окремий випадок загальної формули відстані між точками:

$$AO=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Для A(3; −4; 12): AO = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Запам'ятай: до площини — модуль однієї координати; до осі — корінь із суми квадратів двох інших; до початку — корінь із суми квадратів усіх трьох.

Симетрію відносно початку координат і координатних площин прямо названо в програмі. Розгляньмо два види симетрії.

Симетрія відносно початку координат

Точки A(x; y; z) і A′, симетричні відносно початку координат O, лежать на одній прямій, що проходить через O, причому O — середина відрізка AA′. Звідси:

$$A^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })=(-x;-y;-z)$$

Тобто всі три координати змінюють знак на протилежний. Приклад: A(2; −3; 5) → A′(−2; 3; −5).

Симетрія відносно координатної площини

Тут змінює знак лише одна координата — та, якої немає в назві площини:

Правило просте: змінює знак та координата, якої немає в назві площини. Для Oxy (площина z = 0) змінюється z; для Oxz (y = 0) змінюється y; для Oyz (x = 0) змінюється x.

Розгляньмо A(2; −3; 5):

• відносно Oxy: (2; −3; −5)

• відносно Oxz: (2; 3; 5)

• відносно Oyz: (−2; −3; 5)

Якщо точка лежить у площині симетрії, вона переходить сама в себе (її координати задовольняють рівняння площини, тому знак не змінюється). Відстань між A та її образом відносно Oxy дорівнює 2|z| — подвійному модулю тієї координати, що змінила знак.

Розв'яжемо кілька типових завдань НМТ на досліджувану тему.

Приклад 1. Відстань між точками (вибір однієї відповіді)

Завдання. Знайдіть відстань між точками A(2; −1; 3) і B(−1; 3; 3).

Розв'язання. Обчислюємо різниці координат: Δx = −1 − 2 = −3; Δy = 3 − (−1) = 4; Δz = 3 − 3 = 0. Квадрати: 9; 16; 0. Сума: 9 + 16 = 25. AB = √25 = 5.

Відповідь: 5.

Чому інші варіанти неправильні: 7 — сума модулів різниць (3 + 4 + 0); 25 — забули добути корінь; √41 — додали координати замість віднімання; √7 — помилка в обчисленнях.

Приклад 2. Симетрія точок (логічні пари)

Завдання. Дано точку A(4; −1; 2). Установіть відповідність між перетворенням (1–3) і координатами образу точки (А–Д).

• 1) точка, симетрична A відносно початку координат

• 2) точка, симетрична A відносно площини Oxy

• 3) точка, симетрична A відносно площини Oyz

Варіанти: А (−4; 1; −2); Б (4; −1; −2); В (−4; −1; 2); Г (4; 1; 2); Д (−4; 1; 2).

Розв'язання.

• 1) Відносно початку координат — змінюються знаки всіх трьох координат: (−4; 1; −2) → А.

• 2) Відносно Oxy — змінюється знак z: (4; −1; −2) → Б.

• 3) Відносно Oyz — змінюється знак x: (−4; −1; 2) → В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Варіант Г — симетрія відносно Oxz (змінили знак y), а Д — змінили знаки двох координат (x і y), що не відповідає жодному з трьох видів симетрії.

Приклад 3. Середина відрізка (коротка відповідь)

Завдання. Точка M(−1; 4; 2) — середина відрізка AB, A(3; 0; −5). Знайдіть суму координат точки B.

Розв'язання. Скористаймося формулою B = 2M − A:

• x_B = 2·(−1) − 3 = −2 − 3 = −5

• y_B = 2·4 − 0 = 8

• z_B = 2·2 − (−5) = 4 + 5 = 9

B(−5; 8; 9). Сума координат: −5 + 8 + 9 = 12.

Відповідь: 12.

Типові пастки: обчислити середину AM (отримали б 1,5) або взяти M − A = (−4; 4; 7) — сума 7.

Приклад 4. Відстань до осі (вибір однієї відповіді)

Завдання. Знайдіть відстань від точки A(6; −8; 5) до осі Oz.

Розв'язання. Відстань до осі Oz — це корінь із суми квадратів координат x та y: √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Відповідь: 10.

Чому інші варіанти неправильні:

• 5 — це |z|, відстань до площини Oxy, а не до осі.

• 5√5 ≈ 11,2 — відстань до початку координат: √(36 + 64 + 25) = √125 = 5√5.

• √61 ≈ 7,8 — відстань до осі Oy: √(x² + z²) = √(36 + 25) = √61.

• √89 ≈ 9,4 — відстань до осі Ox: √(y² + z²) = √(64 + 25) = √89.

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ в завданнях із координатами в просторі.

• Відстань до осі Oz рахують як |z|. Насправді |z| — це відстань до площини Oxy. До осі Oz треба брати √(x² + y²).

• Плутають відстань до координатної площини з відстанню до осі. До площини — модуль однієї координати; до осі — корінь із суми квадратів двох інших.

• При симетрії відносно площини Oxy змінюють знак x або y, а не z. Правило: змінює знак координата, якої немає в назві площини. Для Oxy це z.

• При симетрії відносно початку координат змінюють знак лише однієї координати. Насправді всі три координати змінюють знак: (x; y; z) → (−x; −y; −z).

• У формулі середини віднімають координати або забувають ділити на 2. Середина — це півсума, а не піврізниця: (x₁ + x₂)/2.

• В оберненій задачі шукають кінець як (A + M)/2 замість 2M − A. З формули середини: M = (A + B)/2 ⇒ B = 2M − A.

• Забувають третю координату або неправильно віднімають від'ємні числа. Наприклад, 3 − (−5) = 8, а не −2. Уважно працюй зі знаками.

Тема «Координати в просторі» — пункт 6.3 програми НМТ з математики (рівень стандарту). Вона охоплює прямокутну систему координат у просторі, відстань між точками, середину відрізка, симетрію відносно початку координат і координатних площин.

Рівняння сфери у програмі позначено як елемент профільного рівня (П). НМТ укладають за повною програмою, тож таке завдання можливе.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 тему 6.3 перевіряє завдання № 8 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), за яке можна отримати 0 або 1 бал. В аналогічних завданнях ЗНО/НМТ 2023–2024 координати в просторі траплялися також у форматі короткої відповіді (№ 21), де за правильну відповідь дають 0 або 2 бали без часткових.

У довідкових матеріалах, якими можна користуватися на тесті, наведено:

• координати середини відрізка;

• координати вектора в просторі (різниці координат кінця й початку);

• довжина вектора (той самий корінь із суми квадратів різниць).

Формула AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) випливає з довжини вектора — на НМТ її можна вивести з довідкових даних.

Важливо: відстаней до осей і площин, а також правил симетрії в довідкових матеріалах немає — це треба знати напам'ять.

Формат «логічні пари» (завдання 16–18) передбачає три пари з п'яти варіантів; за кожну правильну пару дають 1 бал. У цьому юніті саме в такому форматі відпрацьовується симетрія точок.

Орієнтовний час на завдання з цієї теми — 2–4 хвилини. Стратегія: спочатку визнач, яку саме величину шукають (відстань, середину, симетрію), потім застосовуй відповідну формулу й уважно працюй зі знаками.

• Точка в просторі: A(x; y; z), де x — абсциса, y — ордината, z — апліката.

• Відстань між точками: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

• Середина відрізка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2).

• Кінець відрізка за серединою: B = 2M − A.

• До координатної площини: модуль координати, якої немає в назві площини. До Oxy — |z|.

• До осі: корінь із суми квадратів двох інших координат. До Oz — √(x² + y²).

• До початку координат: √(x² + y² + z²).

• Симетрія відносно початку координат: усі знаки змінюються: (−x; −y; −z).

• Симетрія відносно площини: змінює знак лише та координата, якої немає в назві площини.