Глосарій

Основні твердження стереометрії, які приймають без доведення: (1) через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна й лише одна площина; (2) якщо дві точки прямої лежать у площині, то вся пряма лежить у цій площині; (3) якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Третя координата точки в просторі — координата z, що відповідає осі Oz (осі аплікат).

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини піраміди до сторони основи. Позначається l. Пов'язана з висотою h і радіусом вписаного кола основи r: l² = h² + r².

Поверхня конуса без основи. Її площа обчислюється за формулою S = πRl, де R — радіус основи, l — твірна. У розгортці має форму кругового сектора.

Бічна поверхня призми — це сумарна площа всіх бічних граней призми. Для прямої призми Sбічна = Pосн · h, де Pосн — периметр основи, h — висота.

Крива поверхня циліндра, яка утворюється обертанням твірної навколо осі. Її площа дорівнює 2πRH, де R — радіус основи, H — висота.

Відрізок, що сполучає вершину піраміди з вершиною її основи. Позначають b (або SA, SB, …).

Напрямлений відрізок у тривимірному просторі, що має початок, кінець, довжину (модуль) і напрям. У системі координат Oxyz задається трьома координатами (x; y; z).

Переріз кулі площиною, що проходить через її центр. Радіус великого круга дорівнює радіусу кулі R, а площа — πR².

Спільна точка кількох ребер многогранника. У вершині сходяться щонайменше три ребра.

Три довжини ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда: довжина a, ширина b і висота c. Для куба всі три виміри рівні (a = b = c).

Перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи. Позначається H. У прямокутному трикутнику SOA висота є катетом (SO).

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи. Позначають h (або H).

Висота призми — це відстань між площинами її основ. У прямої призми висота збігається з довжиною бічного ребра.

Модуль тієї координати точки, якої немає в назві площини: до Oxy — |z|, до Oxz — |y|, до Oyz — |x|.

Відстань від точки до її проєкції на вісь: до осі Ox — √(y² + z²), до Oy — √(x² + z²), до Oz — √(x² + y²).

Довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину. Це найкоротша відстань від точки до будь-якої точки площини.

Пряма, що проходить через центри обох основ циліндра. У прямого кругового циліндра вісь перпендикулярна до основ.

Один із многокутників, що обмежують поверхню многогранника. Наприклад, у куба шість граней — квадрати.

Двогранний кут — це фігура, утворена двома півплощинами (гранями) зі спільною межею (ребром). Кут між площинами, що перетинаються, — це менший з утворених двогранних кутів, від 0° до 90°.

Відрізок, що з'єднує дві вершини прямокутного паралелепіпеда, які не лежать в одній грані. Довжина діагоналі d обчислюється за формулою d² = a² + b² + c², де a, b, c — виміри паралелепіпеда. Усі чотири діагоналі рівні й перетинаються в центрі симетрії.

Переріз куба площиною, що проходить через два протилежні ребра. У куба з ребром a є прямокутником зі сторонами a і a√2; його площа дорівнює a²√2.

Діагональний переріз призми — це переріз площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній бічній грані. У прямій призмі діагональний переріз — прямокутник зі сторонами d (діагональ основи) і h (висота).

Площина, яка має зі сферою рівно одну спільну точку. Відстань від центра кулі до дотичної площини дорівнює радіусу кулі R.

Плоский переріз просторового тіла, у якому лежать одночасно всі дані умови задачі й шуканий елемент. Після виконання ключового перерізу стереометрична задача зводиться до планіметричної.

Відношення відстані від вершини конуса (або піраміди) до площини перерізу, паралельного основі, до повної висоти тіла. Позначається k. Радіус (або лінійні розміри) перерізу дорівнюють k·R, а площа перерізу — k² від площі основи.

Тіло обертання, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Складається з вершини, основи (круга) та бічної поверхні.

Три числа (x; y; z), які визначають вектор у системі координат Oxyz. Для вектора AB, де A(x1; y1; z1) і B(x2; y2; z2), координати дорівнюють (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1).

Площина, утворена двома осями координат: Oxy (z = 0), Oxz (y = 0) або Oyz (x = 0). Точки на ній мають нульовою координату, якої немає в назві площини.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі три виміри рівні. Усі шість граней куба — рівні квадрати. Має 12 ребер однакової довжини. Формули: об'єм V = a³, площа поверхні S = 6a², діагональ d = a√3.

Тіло, обмежене сферою: усі точки простору, відстань яких від центра O не більша за R. Об'єм кулі обчислюється за формулою V = 4πR³/3.

Кут між двома мимобіжними прямими — це кут між прямими, що перетинаються й відповідно паралельні заданим мимобіжним прямим. Його величина лежить у межах від 0° до 90°.

Кут між двома площинами, що перетинаються, — це менший із двогранних кутів, утворених цими площинами. Його величина лежить у межах від 0° до 90°. Для вимірювання будують лінійний кут двогранного кута.

Кут між прямою й площиною — це кут між прямою та її проєкцією на цю площину. Якщо пряма паралельна площині або лежить у ній, кут дорівнює 0°; якщо перпендикулярна — 90°. Величина кута: 0° ≤ φ ≤ 90°.

Кут між твірною конуса та площиною основи (∠SAO). Через нього виражають радіус R = l · cos φ і висоту H = l · sin φ.

Кут у рівнобедреному трикутнику, який є осьовим перерізом конуса; утворений двома твірними. Висота конуса ділить цей кут навпіл, утворюючи два прямокутні трикутники.

Лінійний кут двогранного кута — це кут між двома променями, проведеними в гранях з однієї точки ребра перпендикулярно до цього ребра. Усі лінійні кути даного двогранного кута рівні.

Дві прямі в просторі, які не лежать в одній площині. Вони не перетинаються і не є паралельними. Наприклад, у кубі ребро AA1 і ребро BC — мимобіжні.

Геометричне тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості многокутників (граней). Приклади: куб, призма, піраміда.

Довжина (абсолютна величина) вектора. Обчислюється за формулою |a| = √(x² + y² + z²). Для вектора AB модуль дорівнює відстані між точками A і B.

Міра простору, який займає тіло. Для прямокутного паралелепіпеда V = abc (добуток довжини, ширини й висоти). Для куба V = a³. Також V = Sосн · H, де Sосн — площа основи, H — висота (як для будь-якої прямої призми).

Переріз конуса площиною, що проходить через його вісь. Має форму рівнобедреного трикутника з основою 2R (діаметр основи) і бічними сторонами l (твірні). Його площа дорівнює RH.

Переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь. Має форму прямокутника зі сторонами 2R (діаметр основи) і H (висота).

Метод зображення просторових фігур на площині: через кожну точку фігури проводять пряму, паралельну заданому напряму, до перетину з площиною проєкцій. Зберігає паралельність відрізків і середину відрізка, але не зберігає довжини й кути.

Дві площини, які не мають жодної спільної точки. Ознака: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то площини паралельні.

Дві прямі в просторі, які лежать в одній площині й не мають спільних точок. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.

Переріз конуса площиною, паралельною його основі. Утворює круг, подібний до основи. Радіус цього круга знаходять через подібні трикутники осьового перерізу, де коефіцієнт подібності дорівнює відношенню відстані від вершини до площини перерізу до повної висоти конуса.

Круг, що утворюється в результаті перетину кулі площиною. Його радіус r пов'язаний з радіусом кулі R та відстанню d від центра до площини рівністю r² = R² − d².

Многокутник, що утворюється в результаті перетину многогранника з січною площиною. Сторони перерізу лежать на гранях многогранника, а вершини — на його ребрах. Кількість сторін перерізу не перевищує кількості граней.

Переріз піраміди площиною, паралельною її основі. Такий переріз є многокутником, подібним до основи з коефіцієнтом k, який дорівнює відношенню відстані від вершини до площини перерізу до всієї висоти піраміди. Площа перерізу Sпер = k² · Sосн.

Відрізок, проведений з точки до площини перпендикулярно до кожної прямої цієї площини. Його довжина — найкоротша відстань від точки до площини.

Дві площини, кут між якими дорівнює 90°. Ознака: якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Половина кулі. Об'єм півкулі V = 2πR³/3. Повна поверхня півкулі складається з півсфери (2πR²) та круга-основи (πR²), тобто разом 3πR².

Многогранник, одна грань якого (основа) є n-кутником, а решта n граней (бічні) — трикутники зі спільною вершиною.

Сума площ усіх граней многогранника. Для прямокутного паралелепіпеда S = 2(ab + bc + ac). Для куба S = 6a², оскільки всі шість граней — рівні квадрати зі стороною a.

Відрізок, проведений з точки до площини, який не є перпендикуляром до цієї площини. Похила завжди довша за перпендикуляр, опущений з тієї самої точки.

Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а вершина проєктується в його центр. Об'єм: V = ⅓·S_осн·h, бічна поверхня: S_б = ½·P_осн·l (l — апофема).

Правильна призма — це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник (рівносторонній трикутник, квадрат, правильний шестикутник тощо).

Правильна трикутна піраміда, у якої всі шість ребер рівні. Усі чотири грані — рівні рівносторонні трикутники.

Призма — це многогранник, дві грані якого (основи) є рівними n-кутниками в паралельних площинах, а решта n граней (бічні) — паралелограми.

Відрізок, що сполучає основу перпендикуляра та основу похилої на площині. Разом з перпендикуляром і похилою утворює прямокутний трикутник.

Многогранник, у якого бічні ребра перпендикулярні до площини основи; висота збігається з бічним ребром. Об'єм: V = S_осн · H, бічна поверхня: S_б = P_осн · H.

Пряма, яка не лежить у даній площині й не має з нею жодної спільної точки. Ознака: якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якійсь прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

Система з трьох попарно перпендикулярних осей Ox (абсцис), Oy (ординат) і Oz (аплікат) зі спільним початком O, що задає координати будь-якої точки простору як трійку чисел (x; y; z).

Многогранник, усі шість граней якого є прямокутниками. Має 12 ребер, 8 вершин, три виміри: довжину a, ширину b, висоту c. Протилежні грані рівні й паралельні. Є окремим випадком прямої призми з прямокутником в основі.

Спільна сторона двох граней многогранника. Ребра утворюють каркас многогранника.

Плоска фігура, яку отримують, розрізавши поверхню многогранника вздовж кількох ребер і розклавши всі грані на площині без накладань. Слугує викрійкою для склеювання многогранника.

Перетворення, за якого точка відображається в точку, симетричну відносно однієї з координатних площин. Відносно Oxy: (x; y; z) -> (x; y; -z); відносно Oxz: (x; y; z) -> (x; -y; z); відносно Oyz: (x; y; z) -> (-x; y; z).

Площина, яка перетинає многогранник і утворює в місці перетину многокутник — переріз. Січна площина може проходити через вершини, ребра або довільні точки граней многогранника.

Число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат: a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2. Також дорівнює |a| · |b| · cos φ, де φ — кут між векторами. Результат — скаляр (число), а не вектор.

Пряма, по якій січна площина перетинає площину грані (основи) многогранника. Щоб її побудувати, знаходять точки перетину сторін перерізу з прямими, що містять ребра. Використовується в методі слідів для побудови перерізу.

Поверхня, що складається з усіх точок простору, які містяться на однаковій відстані R від центра O. Площа сфери обчислюється за формулою S = 4πR².

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою на колі основи. Позначається l. Пов'язана з радіусом R і висотою H: l² = R² + H².

Відрізок бічної поверхні циліндра, паралельний осі. У прямого кругового циліндра твірна дорівнює висоті H.

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проєкції, то вона перпендикулярна й до самої похилої; справедливе й обернене твердження.

Два ненульові вектори колінеарні, якщо існує число k, таке що b = k · a. У координатах це означає пропорційність усіх трьох координат: x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 = k. Якщо k > 0, вектори однаково напрямлені; якщо k < 0 — протилежно.

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю: a · b = 0. Це випливає з формули a · b = |a|·|b|·cos φ, оскільки cos 90° = 0.

Тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Має дві основи — рівні круги в паралельних площинах — і бічну поверхню.