Формули чотирикутників і кола з довідки НМТ

У довідці НМТ ти знайдеш дві формули площі паралелограма й одну — для прямокутника. Розберімося, коли яку застосовувати і чому висоту не можна плутати зі стороною.

Формули з довідки

Паралелограм — це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні. Довідка дає два способи обчислити його площу:

• S = a · hₐ — добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

• S = ab sin γ — добуток двох сусідніх сторін на синус кута між ними.

Для прямокутника формула простіша: S = ab, де a і b — сусідні сторони. Прямокутник — окремий випадок паралелограма, у якого всі кути прямі, тому обидві формули паралелограма теж працюють: sin 90° = 1, тож S = ab · 1 = ab.

Висота — це перпендикуляр, а не сусідня сторона

Найпоширеніша помилка — у формулі S = a · hₐ брати за висоту сусідню сторону. Висота — це перпендикуляр, опущений з вершини на протилежну сторону (або її продовження). Розгляньмо приклад.

Нехай сторони паралелограма дорівнюють 10 і 6, а гострий кут між ними — 30°. Щоб знайти висоту до сторони 10, розглянь прямокутний трикутник, утворений висотою, сусідньою стороною 6 і кутом 30°: h = 6 · sin 30° = 6 · 0,5 = 3. Тоді S = 10 · 3 = 30. Якби ти помилково взяв за висоту сторону 6, отримав би S = 10 · 6 = 60 — це вдвічі більше за правильну відповідь.

Чому підходить будь-який кут паралелограма

У формулі S = ab sin γ γ — це кут між сторонами a і b. У паралелограма сума сусідніх кутів дорівнює 180°. Синуси суміжних кутів рівні: sin(180° − γ) = sin γ. Це формула зведення, яка теж є в довідці НМТ. Тому байдуже, який кут узяти — гострий чи тупий, результат буде той самий.

Дві висоти паралелограма

До різних сторін можна провести різні висоти, але добуток сторони на відповідну висоту завжди дає ту саму площу: a · hₐ = b · h_b. Це випливає з того, що площа — одна й та сама. Наприклад, сторони паралелограма 12 і 8, висота до сторони 12 дорівнює 4. Тоді S = 12 · 4 = 48, а висота до сторони 8 дорівнює 48 : 8 = 6.

Квадрат: окремої формули в довідці немає

Квадрат — одночасно прямокутник і ромб, тому окремої формули для нього в довідці немає. Його площу можна знайти як S = a² (сторона в квадраті) або S = d²/2 (половина квадрата діагоналі). Обидві формули випливають із загальних: квадрат — це прямокутник з рівними сторонами, і ромб з рівними діагоналями.

Ромб і трапеція — два важливі чотирикутники, для яких у довідці НМТ є окремі формули площі. Розгляньмо їх уважно.

Площа ромба через діагоналі

Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні. У довідці НМТ для ромба подано формулу:

S = ½ d₁d₂, де d₁ і d₂ — діагоналі ромба.

Оскільки ромб — паралелограм, до нього застосовні й обидві формули з попереднього розділу: S = a · h (сторона на висоту) і S = a² sin γ (квадрат сторони на синус кута). Обирай ту, для якої в задачі дано достатньо даних.

Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться навпіл

Властивість діагоналей ромба: вони перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл. Це дає змогу знайти сторону ромба через діагоналі за теоремою Піфагора.

Приклад: діагоналі ромба дорівнюють 10 і 24. Площа: S = ½ · 10 · 24 = 120. Половини діагоналей — 5 і 12, тому сторона ромба: a = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Площа трапеції

Трапеція — чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші — ні (бічні сторони). Формула з довідки:

S = (a + b)/2 · h, де a і b — основи, h — висота (відстань між основами).

Бічна сторона трапеції — це не висота! Висота — перпендикуляр між основами. Якщо дано бічну сторону й кут до основи, висоту знаходять через синус кута.

Приклад: основи трапеції 7 і 15, бічна сторона 10 нахилена до більшої основи під кутом 30°. Висота: h = 10 · sin 30° = 5. Площа: S = (7 + 15)/2 · 5 = 11 · 5 = 55.

Окремі види трапецій

Прямокутна трапеція — одна бічна сторона перпендикулярна до основ, тому вона є висотою. Рівнобічна трапеція — бічні сторони рівні; проєкція бічної сторони на більшу основу дорівнює (a − b)/2, де a — більша основа, b — менша.

У довідці НМТ є три ключові формули, пов'язані з колом: довжина кола, площа круга й рівняння кола. Розгляньмо кожну.

Довжина кола та площа круга

Довжина кола L обчислюється за формулою:

L = 2πR, де R — радіус кола.

Площа круга S (тобто частини площини, обмеженої колом) обчислюється за формулою:

S = πR².

Якщо дано діаметр d = 2R, то L = πd, а S = πd²/4.

Рівняння кола

Коло на координатній площині задається рівнянням:

(x − x₀)² + (y − y₀)² = R², де M(x₀; y₀) — центр кола, R — радіус.

Приклад 1: (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Центр — (3; −2), радіус R = √25 = 5.

Приклад 2: x² + (y − 1)² = 7. Центр — (0; 1), радіус R = √7.

Як перевірити, чи лежить точка на колі

Підстав координати точки в рівняння кола. Якщо ліва частина дорівнює правій — точка лежить на колі.

Приклад: чи лежить точка A(6; 2) на колі (x − 3)² + (y + 2)² = 25? Підставляємо: (6 − 3)² + (2 + 2)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Так, точка A лежить на колі.

Зв'язок між довжиною кола та площею круга

Знаючи довжину кола, можна знайти радіус, а потім — площу круга. Наприклад, L = 10π ⇒ R = L/(2π) = 10π/(2π) = 5 ⇒ S = π · 5² = 25π.

Якщо радіус збільшити втричі, довжина кола зросте теж утричі (L = 2π·3R = 3·2πR), а площа круга — у 9 разів (S = π·(3R)² = 9·πR²).

Не всі потрібні формули є в довідці НМТ у готовому вигляді. Деякі доводиться виводити з наявних або звужувати з просторових аналогів.

Довжина дуги й площа сектора

У довідці НМТ немає окремих формул для довжини дуги та площі сектора. Довідка дає лише повне коло (L = 2πR) і повний круг (S = πR²). Щоб знайти довжину дуги, що відповідає центральному куту n°, бери частку від довжини кола: L_дуги = (n°/360°) · 2πR. Аналогічно площа сектора: S_сектора = (n°/360°) · πR². Ці формули вивчають окремо в юніті «Формули геометрії, яких немає в довідці НМТ».

Відстань між точками на площині

У довідці НМТ є формула відстані між точками в просторі:

|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

На площині координата z не використовується — просто прибери доданок із z. Для точок A(1; 2) і B(7; 10): |AB| = √((7 − 1)² + (10 − 2)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Середина відрізка на площині

У довідці формула середини відрізка подана для простору:

x₀ = (x₁ + x₂)/2, y₀ = (y₁ + y₂)/2, z₀ = (z₁ + z₂)/2.

На площині третю координату відкидаємо. Для точок A(1; 2) і B(7; 10) середина: x₀ = (1 + 7)/2 = 4, y₀ = (2 + 10)/2 = 6, тобто (4; 6).

Вправа: формула — типова задача

Розгляньмо кілька типових завдань на НМТ, які перевіряють уміння застосовувати формули чотирикутників і кола.

Приклад 1. Площа паралелограма

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см, а гострий кут між ними — 30°. Знайдіть площу паралелограма.

Розв'язання. У задачі дано дві сторони й кут між ними — застосуй формулу S = ab sin γ. Підставляємо: S = 8 · 5 · sin 30° = 40 · 0,5 = 20 (см²).

Відповідь: 20 см².

Чому інші варіанти неправильні:

• 40 — перемножили сторони, не врахувавши синус кута (S = ab без sin γ).

• 20√3 — узяли косинус 30° замість синуса (cos 30° = √3/2).

• 10 — поділили добуток сторін навпіл без жодної підстави.

• 26 — знайшли периметр (2·(8 + 5) = 26), а не площу.

Приклад 2. Відповідність: фігура — площа

Завдання (логічні пари). Установіть відповідність між фігурою (1–3) та її площею (А–Д).

1) Ромб з діагоналями 6 і 8.

2) Трапеція з основами 5 і 11 та висотою 4.

3) Круг, довжина кола якого дорівнює 8π.

Варіанти площ: А) 24; Б) 32; В) 48; Г) 16π; Д) 64π.

Розв'язання.

• 1) Ромб: S = ½ · 6 · 8 = 24. Відповідає А.

• 2) Трапеція: S = (5 + 11)/2 · 4 = 8 · 4 = 32. Відповідає Б.

• 3) Круг: L = 2πR = 8π ⇒ R = 4. S = π · 4² = 16π. Відповідає Г.

Чому інші варіанти неправильні: В) 48 — площа ромба без ½ (6·8 = 48); Д) 64π — узяли L = πR замість 2πR, тобто R = 8, S = 64π.

Приклад 3. Центр і радіус кола за рівнянням

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Укажіть центр і радіус кола, заданого рівнянням (x + 4)² + (y − 1)² = 9.

Розв'язання. Рівняння кола: (x − x₀)² + (y − y₀)² = R². Маємо (x + 4)² = (x − (−4))², тому x₀ = −4. (y − 1)² дає y₀ = 1. R² = 9, отже R = √9 = 3.

Відповідь: центр (−4; 1), радіус 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• (4; −1) і 3 — узяли знаки з дужки без зміни.

• (−4; 1) і 9 — радіус узяли як число з правої частини, не добувши корінь.

• (4; −1) і 9 — подвійна помилка: і знаки, і радіус.

• (−4; −1) і 3 — помилка в координаті y₀.

Приклад 4. Відстань між точками на площині

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Знайдіть відстань між точками A(−2; 3) і B(4; −5).

Розв'язання. Використай просторову формулу з довідки, відкинувши z-координату: |AB| = √((4 − (−2))² + (−5 − 3)²) = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Відповідь: 10.

Чому інші варіанти неправильні:

• 14 — додали модулі різниць координат: |6| + |−8| = 14, а треба за теоремою Піфагора.

• 100 — не добули квадратний корінь.

• 2√2 — додали координати замість віднімання: (−2 + 4; 3 + (−5)) = (2; −2), тоді √(2² + 2²) = √8 = 2√2.

• 5 — взяли половину від 10 без обчислень.

• У площі паралелограма беруть сусідню сторону замість висоти. Наприклад, зі сторонами 10 і 6 та кутом 30° обчислюють S = 10 · 6 = 60, хоча правильна відповідь 10 · 3 = 30. Висота — це перпендикуляр, а не сусідня сторона.

• У формулі S = ab sin γ забувають синус або беруть косинус замість синуса. Пам'ятай: у довідці стоїть sin γ, а не cos γ.

• У площі ромба гублять ½ і пишуть S = d₁d₂. Правильно: S = ½ d₁d₂. Половина добутку діагоналей — це площа ромба.

• У площі трапеції беруть бічну сторону замість висоти або не ділять суму основ на 2. Бічна сторона — це не висота, якщо трапеція не прямокутна.

• У рівнянні кола беруть знак центру з дужки без зміни: (x + 4)² ⇒ x₀ = 4, хоча правильно x₀ = −4. Також вважають R рівним числу справа, а не кореню з нього: R = 9 замість R = 3.

• Плутають L = 2πR і S = πR². Довжина кола має множник 2, площа — квадрат радіуса.

• Шукають у довідці окрему формулу відстані на площині й не бачать, що просторову формулу можна звузити, відкинувши доданок із z.

Формули чотирикутників і кола входять до кількох тем програми НМТ з математики:

• Тема 5.4 — чотирикутники: паралелограм, прямокутник, ромб, трапеція.

• Тема 5.6 — площі паралелограма, ромба, трапеції, круга й сектора, довжина кола й дуги.

• Тема 5.7 — рівняння кола, відстань між точками й середина відрізка.

У демоваріанті НМТ-2026:

• № 15 — вписаний кут, довжина дуги й кола (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал).

• № 18 — відрізки в прямокутній трапеції (відповідність «логічні пари», до 3 балів).

• № 21 — об'єм прямої призми з ромбом в основі через діагональний переріз: коротка відповідь лише десятковим дробом, 0 або 2 бали без часткових; площа ромба через діагоналі є в довідці.

Що є в довідці НМТ:

• Площі паралелограма (двома формулами), прямокутника, ромба, трапеції.

• L = 2πR, S = πR² і рівняння кола.

Чого в довідці немає:

• Формул дуги, сектора й відстані на площині — їх треба виводити або звужувати з просторових формул.

• Паралелограм: S = a · hₐ = ab sin γ; висота — перпендикуляр, а не сусідня сторона.

• Прямокутник S = ab, ромб S = ½ d₁d₂, трапеція S = (a + b)/2 · h.

• Коло: L = 2πR, круг: S = πR², рівняння кола (x − x₀)² + (y − y₀)² = R².

• Центр кола — числа з протилежними знаками до тих, що в дужках; радіус — корінь із правої частини.

• Відстань і середину на площині беремо з просторових формул без координати z.

• Дугу й сектор знаємо напам'ять як частку кола й круга.