Перпендикуляр, похила й теорема про три перпендикуляри

У стереометрії поняття перпендикулярності є ключовим для визначення відстаней і кутів. Почнімо з найпростішого випадку — перпендикулярності двох прямих у просторі.

Перпендикулярні прямі в просторі

Дві прямі в просторі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. На відміну від планіметрії, у просторі перпендикулярними можуть бути не лише прямі, що перетинаються, а й мимобіжні прямі. Наприклад, у кубі ABCD — A₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ перпендикулярне до ребра DC, хоча ці ребра не перетинаються: AA₁ ⊥ DC, тому що DC ∥ AB, а AA₁ ⊥ AB.

Означення перпендикулярності прямої та площини

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить у цій площині. Якщо пряма a перпендикулярна до площини α, то пишуть a ⊥ α. Точку перетину прямої a з площиною α називають основою перпендикуляра. Із цього означення випливає, що коли a ⊥ α, то a ⊥ b для будь-якої прямої b ⊂ α.

Ознака перпендикулярності прямої та площини

Перевіряти перпендикулярність до всіх прямих площини практично неможливо. На щастя, існує простіша ознака:

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Розгляньмо куб ABCD — A₁B₁C₁D₁. AA₁ перпендикулярна до AB (сусідні ребра основи) і до AD, причому AB і AD перетинаються в точці A. Отже, AA₁ ⊥ (ABC). Тоді автоматично AA₁ ⊥ AC і AA₁ ⊥ BD, хоча жодна з цих прямих не брала участі в перевірці.

Властивості перпендикуляра до площини

Із означення й ознаки випливають важливі властивості:

• Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої площини, паралельні між собою. Наприклад, бічні ребра прямої призми паралельні.

• Через будь-яку точку простору проходить лише одна пряма, перпендикулярна до даної площини.

• Перпендикулярність до однієї прямої площини або до двох паралельних прямих площини ще НЕ гарантує перпендикулярності до самої площини — це часта пастка.

Ознака перпендикулярності двох площин

Площини називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Приклад: у кубі площина (AA₁B₁) перпендикулярна до площини (ABC), тому що AA₁ ⊂ (AA₁B₁) і AA₁ ⊥ (ABC). У чотирикутній піраміді SABCD з основою-квадратом, де SA ⊥ (ABC), грані SAB і SAD перпендикулярні до площини основи, оскільки SA лежить у кожній з них.

Коли ми маємо точку поза площиною, з неї можна провести до площини безліч відрізків. Найкоротший з них — перпендикуляр. Решта — похилі. Розберімо цю конструкцію детально.

Основні поняття

Нехай α — площина, а M — точка, що не лежить у ній. Опустімо з M на α перпендикуляр MO, де O — основа перпендикуляра. Тепер з'єднаємо M з будь-якою іншою точкою A площини α (A ≠ O). Відрізок MA називають похилою до площини, а відрізок OA — проєкцією похилої MA на площину α. Трикутник MOA є прямокутним з прямим кутом при вершині O. У ньому:

MA² = MO² + OA² (похила — гіпотенуза прямокутного трикутника)

Це співвідношення — основа для обчислення будь-якого з трьох елементів (перпендикуляра, похилої або проєкції), якщо відомі два інші.

Властивості похилих з однієї точки

• Перпендикуляр коротший за будь-яку похилу, проведену з тієї самої точки.

• Якщо дві похилі, проведені з однієї точки, рівні, то їхні проєкції теж рівні. І навпаки: рівні проєкції відповідають рівним похилим.

• З двох похилих більша та, у якої більша проєкція.

Числові приклади

Нехай MO = 8, MA = 10. Тоді OA = √(MA² − MO²) = √(100 − 64) = √36 = 6.

Якщо з точки на відстані 8 від площини проведено дві похилі завдовжки 10 і 17, то їхні проєкції дорівнюють відповідно √(100 − 64) = 6 і √(289 − 64) = √225 = 15. Як бачимо, більша похила (17) має більшу проєкцію (15).

Точка, рівновіддалена від вершин многокутника

Важливий окремий випадок: якщо точка M рівновіддалена від усіх вершин многокутника (тобто MA = MB = MC = …), то основа O перпендикуляра, опущеного з M на площину многокутника, збігається з центром описаного навколо многокутника кола. Чому? Бо OA = OB = OC = … як проєкції рівних похилих, а точка, рівновіддалена від усіх вершин, — це саме центр описаного кола.

Розгляньмо приклад. Прямокутний трикутник має гіпотенузу завдовжки 10. Точка M знаходиться на відстані 13 від кожної вершини трикутника. Для прямокутного трикутника центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи, тому OA = 5 (радіус описаного кола). Тоді відстань від M до площини трикутника: MO = √(MA² − OA²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Теорема про три перпендикуляри пов'язує похилу, її проєкцію та пряму в площині. Вона дає змогу визначати перпендикулярність у просторі, перевіряючи її лише на площині.

Формулювання теореми

Пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проєкції тоді й тільки тоді, коли вона перпендикулярна до самої похилої.

Точніше, маємо дві взаємно обернені теореми:

1. Пряма теорема: якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проєкції, то вона перпендикулярна й до самої похилої.

2. Обернена теорема: якщо пряма площини перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна й до проєкції цієї похилої.

Чому це правда?

Нехай MA — похила до площини α, MO — перпендикуляр до α, OA — проєкція похилої. Розгляньмо пряму l, що лежить у площині α та проходить через точку A. Якщо l ⊥ OA (тобто пряма перпендикулярна до проєкції), то l також ⊥ MO, оскільки MO ⊥ α, а отже, MO ⊥ до будь-якої прямої в α. Таким чином, l перпендикулярна до двох прямих площини MOA, що перетинаються (OA та MO) — отже, l ⊥ (MOA). А тоді l ⊥ MA як прямій, що лежить у цій площині. Обернене твердження доводять аналогічно.

Відстань від точки до прямої в просторі

За допомогою теореми про три перпендикуляри можна знаходити відстань від точки поза площиною до прямої, що лежить у цій площині. Для цього будують перпендикуляр у площині до даної прямої, який проходить через основу похилої, а потім за теоремою Піфагора знаходять довжину похилої.

Розгляньмо приклад. MA ⊥ (ABC), ABCD — квадрат зі стороною 6, MA = 8. Потрібно знайти відстань від точки M до прямої CD. У квадраті AD ⊥ CD (AD перпендикулярна до CD). Оскільки AD — проєкція похилої MD на площину (ABC) і AD ⊥ CD, то за теоремою про три перпендикуляри MD ⊥ CD. Отже, відстань від M до CD дорівнює довжині MD = √(MA² + AD²) = √(64 + 36) = 10.

Якщо ж шукати відстань від точки M до діагоналі BD, то спочатку знаходять центр квадрата O (перетин діагоналей). AO ⊥ BD (діагоналі квадрата перпендикулярні), і AO — проєкція MO. За теоремою MO ⊥ BD. AO = 3√2 (половина діагоналі), тому MO = √(MA² + AO²) = √(64 + 18) = √82.

Точка, рівновіддалена від сторін многокутника

Якщо точка M рівновіддалена від усіх сторін многокутника (основа перпендикуляра лежить усередині многокутника), то основа перпендикуляра O збігається з центром вписаного кола. За теоремою про три перпендикуляри, кожна відстань від M до сторони многокутника є похилою, проєкція якої дорівнює радіусу вписаного кола r.

У просторі існує кілька типів відстаней, і кожна з них вимірюється найкоротшим відрізком — перпендикуляром. Розгляньмо основні випадки.

Відстань від точки до площини

Відстань від точки M до площини α — це довжина перпендикуляра MO, опущеного з цієї точки на площину. Саме перпендикуляр, а не похила, дає найкоротшу відстань. Якщо точка лежить у площині, відстань дорівнює нулю.

Відстань від прямої до паралельної їй площини

Якщо пряма a паралельна площині α (a ∥ α), то відстань від a до α визначають як відстань від будь-якої точки прямої a до площини α. Оскільки всі точки прямої рівновіддалені від паралельної площини, результат не залежить від вибору точки.

Відстань між паралельними площинами

Для двох паралельних площин α ∥ β відстанню називають довжину спільного перпендикуляра — відстань від будь-якої точки однієї площини до другої. І знову результат не залежить від вибору точки.

Приклади на прямокутному паралелепіпеді

Розгляньмо прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁:

• Відстань між площинами основ (ABC) і (A₁B₁C₁) дорівнює бічному ребру AA₁.

• Відстань від прямої A₁B₁ до площини (ABC) також дорівнює AA₁, оскільки A₁B₁ ∥ (ABC) і AA₁ — перпендикуляр до (ABC).

• Відстань від прямої CC₁ до площини (AA₁B₁) дорівнює BC. Чому? BC ⊥ AB (як сторони прямокутника) і BC ⊥ BB₁ (BB₁ — перпендикуляр до основи), отже, BC ⊥ (AA₁B₁).

Приклад на кубі

У кубі з ребром a знайдемо відстань від вершини C до площини діагонального перерізу (BB₁D₁). Позначмо O — центр основи ABCD (перетин діагоналей). CO ⊥ BD (діагоналі квадрата перпендикулярні). Крім того, CO ⊥ BB₁, оскільки BB₁ перпендикулярна до всієї площини основи, а CO лежить у ній. Отже, CO перпендикулярна до двох прямих площини (BB₁D₁), що перетинаються (BD і BB₁), тому CO ⊥ (BB₁D₁). Шукана відстань — CO = a√2/2.

Запам'ятай: відстань завжди вимірюють перпендикуляром, а не похилою. Похила завжди довша за перпендикуляр, проведений з тієї самої точки.

Відстань між мимобіжними прямими — складніша задача: у програмі НМТ вона позначена як вимога лише профільного рівня (П).

Розв'яжімо типові завдання НМТ, щоб побачити, як працюють розглянуті теореми на практиці.

Приклад 1. Проєкція похилої

Умова: з точки до площини проведено перпендикуляр завдовжки 12 і похилу завдовжки 13. Знайдіть проєкцію похилої.

Розв'язання: маємо прямокутний трикутник, у якому перпендикуляр (12) і проєкція (невідома) — катети, а похила (13) — гіпотенуза. За теоремою Піфагора: OA² = MA² − MO² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25. Отже, OA = 5.

Відповідь: 5.

Чому інші варіанти хибні: 1 — різниця довжин (13 − 12), без використання теореми Піфагора; 25 — квадрат проєкції, а не її довжина; √313 ≈ 17,7 — результат, отриманий, якщо помилково взяти похилу за катет, а перпендикуляр і проєкцію — за катет і гіпотенузу; 6,5 — половина похилої, без жодних обчислень.

Приклад 2. Відстань від точки до площини трикутника

Умова: точка M віддалена на 10 від кожної вершини правильного трикутника зі стороною 6√3. Знайдіть відстань від M до площини трикутника.

Розв'язання: оскільки M рівновіддалена від усіх вершин, основа перпендикуляра O — центр описаного кола. Для правильного трикутника зі стороною a радіус описаного кола R = a/√3 = 6√3 / √3 = 6. Тоді MO = √(MA² − OA²) = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.

Відповідь: 8.

Типові помилки: узяти відстань 10 (похилу) за відповідь — але ж це відстань до вершини, а не до площини; отримати √73 ≈ 8,54, узявши за радіус половину сторони 3√3, хоча радіус описаного кола правильного трикутника дорівнює a/√3, а не a/2.

Приклад 3. Відстань від точки до прямої в площині

Умова: MA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD, AB = 3, AD = 7, MA = 4. Знайдіть відстань від точки M до прямої BC.

Розв'язання: у прямокутнику AB ⊥ BC (сусідні сторони). AB є проєкцією похилої MB на площину прямокутника. Оскільки AB ⊥ BC, то за теоремою про три перпендикуляри MB ⊥ BC. Отже, відстань від M до BC — довжина MB. Маємо прямокутний трикутник MAB (MA ⊥ AB, бо MA ⊥ (ABC), а AB ⊂ (ABC)). MB = √(MA² + AB²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Відповідь: 5.

Поширені пастки: √74 ≈ 8,6 — так отримують, якщо помилково обчислюють відстань до вершини C (MC = √(MA² + AC²) = √(16 + 58) = √74), а не до прямої BC; 4 — беруть MA, ігноруючи, що потрібна відстань до прямої в площині, а не перпендикуляр до площини.

Приклад 4. Визначення прямого кута

Умова: пряма SA перпендикулярна до площини квадрата ABCD. Укажіть прямий кут серед зазначених.

Розв'язання: BC ⊥ AB (сторони квадрата). AB — проєкція похилої SB на площину квадрата. Оскільки BC ⊥ AB, то за теоремою про три перпендикуляри BC ⊥ SB. Отже, ∠SBC = 90°.

Відповідь: ∠SBC.

Чому інші варіанти хибні: ∠SCB — кут при вершині C трикутника SCB, який не є прямим; ∠SBA — кут між SB і BA, але BA — у площині, SA ⊥ BA, тому трикутник SBA прямокутний з прямим кутом ∠SAB, а не ∠SBA; ∠SCD — аналогічно попередньому; ∠SCA — кут між SC і CA, не прямий.

Перелічимо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на перпендикулярність у просторі. Уникай їх — і твій результат на НМТ буде вищим.

• Беруть похилу замість перпендикуляра як відстань від точки до площини. Відстань — це найкоротший відрізок, а перпендикуляр завжди коротший за будь-яку похилу.

• Вважають пряму перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна лише до однієї прямої площини або до двох паралельних прямих. Потрібні саме дві прямі, що перетинаються!

• У теоремі про три перпендикуляри перевіряють перпендикулярність до довільної прямої, а не до проєкції похилої. Пряма в площині має проходити через основу похилої.

• Відстань від точки до прямої CD шукають як відстань до вершини C чи D, не будуючи перпендикуляра до самої прямої. Потрібно в площині провести через основу похилої перпендикуляр до прямої, а потім застосувати теорему про три перпендикуляри.

• Плутають центри: рівні похилі до вершин ведуть у центр описаного кола, а рівні відстані до сторін — у центр вписаного кола. Розрізняй ці дві ситуації.

• У теоремі Піфагора беруть похилу за катет, хоча вона — гіпотенуза трикутника «перпендикуляр — проєкція — похила». Перевіряй, який кут прямий.

Тема «Перпендикулярність у просторі» належить до теми «Прямі та площини у просторі» розділу «Стереометрія» програми НМТ: перпендикулярність прямих, прямої та площини, двох площин, теорема про три перпендикуляри, відстань від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними площинами — це матеріал рівня стандарту. Ортогональна проєкція та відстань між мимобіжними прямими належать до профільного рівня (позначка «П»).

У тестах 2023–2024 років цій темі окремих завдань не відводили — її перевіряли у складі задач на многогранники й тіла обертання. У демоваріанті 2026 року до цієї теми належить завдання № 5.

Форми завдань: вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал) і коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали, без часткових балів). Відстань у відповіді записують десятковим дробом.

Довідкові матеріали

На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами. У них є теорема Піфагора та співвідношення в прямокутному трикутнику. Однак там немає ні ознак перпендикулярності прямої й площини, ні теореми про три перпендикуляри — ці твердження треба знати напам'ять.

Стратегія розв'язування

1. Уважно прочитай умову та визнач, яку відстань шукають: від точки до площини, до прямої чи між паралельними об'єктами.

2. Познач на рисунку перпендикуляр (якщо його явно задано, знайди за ознакою) і його основу.

3. Виділи прямокутний трикутник «перпендикуляр — похила — проєкція».

4. Перенеси цей трикутник на окремий рисунок — так легше не помилитися з тим, що є гіпотенузою.

5. Застосуй теорему Піфагора. Перевір, чи не потрібна теорема про три перпендикуляри для визначення прямого кута.

• Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих площини, що перетинаються.

• Перпендикуляр, похила й проєкція утворюють прямокутний трикутник, похила — гіпотенуза: MA² = MO² + OA².

• Рівні похилі мають рівні проєкції, і навпаки. Перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.

• Теорема про три перпендикуляри: пряма площини перпендикулярна до проєкції ⇔ вона перпендикулярна до похилої.

• Відстань від точки до площини, від прямої до паралельної площини й між паралельними площинами вимірюють перпендикуляром.

• Точка, рівновіддалена від вершин многокутника, проєктується в центр описаного кола.