Логарифмічні нерівності

Логарифмічна нерівність — це нерівність, у якій змінна міститься під знаком логарифма. Наприклад: $lo{g}_2(x-3)<3$, $lgx\ge 2$, $lo{g}_{0,5}(x-1)>-2$. Щоб розв’язати таку нерівність, потрібно врахувати дві речі: область допустимих значень (ОДЗ) і монотонність логарифмічної функції.

Область допустимих значень (ОДЗ)

Логарифм визначено лише для додатних чисел. Тому кожен підлогарифмічний вираз має бути строго більшим за нуль. Крім того, основа логарифма $a$ має задовольняти умови $a>0$ і $a\ne 1$ (у завданнях НМТ основа зазвичай задана числом, і ці умови виконуються автоматично).

Якщо не записати ОДЗ, у відповідь можуть потрапити числа, для яких логарифм не існує. Наприклад, у нерівності $lo{g}_2(x-3)<3$ без ОДЗ можна отримати $x<11$, але при $x=0$ вираз $lo{g}_2(-3)$ не має змісту. Тому спершу завжди записуємо: $x-3>0$, тобто $x>3$.

Монотонність логарифмічної функції

Функція $y=lo{g}_{a}x$ поводиться по-різному залежно від основи:

• якщо $a>1$, функція зростає: більшому аргументу відповідає більший логарифм;

• якщо $0<a<1$, функція спадає: більшому аргументу відповідає менший логарифм.

Звідси випливають ключові правила для розв’язування нерівностей:

• При $a>1$: $lo{g}_{a}f(x)>lo{g}_{a}g(x)\iff f(x)>g(x)>0$ — знак нерівності зберігається.

• При $0<a<1$: $lo{g}_{a}f(x)>lo{g}_{a}g(x)\iff 0<f(x)<g(x)$ — знак нерівності змінюється на протилежний.

Зверни увагу: знак нерівності залежить винятково від основи логарифма, а не від знака правої частини. Навіть якщо справа стоїть від’ємне число, правило не змінюється.

Розв’язок як переріз множин

Розв’язати логарифмічну нерівність — означає знайти переріз (спільну частину) двох множин: ОДЗ і розв’язку нерівності для аргументів. На практиці це виглядає як система нерівностей:

• 1. Записуємо ОДЗ: кожен підлогарифмічний вираз $>0$.

• 2. Розв’язуємо нерівність для аргументів, враховуючи монотонність.

• 3. Знаходимо спільний проміжок — це й буде відповідь.

Найзручніше позначати обидві множини на одній числовій прямій — тоді переріз видно одразу.

Найпростіший тип логарифмічної нерівності — коли з одного боку стоїть логарифм, а з іншого — число. Щоб розв’язати таку нерівність, потрібно записати число у вигляді логарифма з тією самою основою, що й у лівій частині.

Як записати число логарифмом

За означенням логарифма: $b=lo{g}_a{a}^b$. Це означає, що будь-яке число $b$ можна подати як логарифм з основою $a$ від $a^b$. Найпоширеніші приклади:

Приклад 1: $lo{g}_2(x-3)<3$

Крок 1 — ОДЗ: $x-3>0$, отже $x>3$.

Крок 2 — записуємо число логарифмом: $3=lo{g}_{2}8$. Маємо $lo{g}_2(x-3)<lo{g}_{2}8$.

Крок 3 — основа $2>1$, тому знак зберігаємо: $x-3<8$, звідки $x<11$.

Крок 4 — переріз ОДЗ ($x>3$) і розв’язку ($x<11$): $(3;11)$.

Приклад 2: $lo{g}_{0,5}(x-1)>-2$

Крок 1 — ОДЗ: $x-1>0$, отже $x>1$.

Крок 2 — записуємо: $-2=lo{g}_{0,5}4$, бо $0,5^{-2}=4$. Маємо $lo{g}_{0,5}(x-1)>lo{g}_{0,5}4$.

Крок 3 — основа $0,5<1$, тому знак змінюємо: $x-1<4$, звідки $x<5$.

Крок 4 — переріз: $(1;5)$.

Приклад 3: $lo{g}_{1/3}(2x+1)\ge -1$

Крок 1 — ОДЗ: $2x+1>0$, отже $x>-0,5$.

Крок 2 — записуємо: $-1=lo{g}_{1/3}3$. Маємо $lo{g}_{1/3}(2x+1)\ge lo{g}_{1/3}3$.

Крок 3 — основа $1/3<1$, знак змінюємо: $2x+1\le 3$, звідки $x\le 1$.

Крок 4 — переріз: $(-0,5;1]$.

Коли ОДЗ виконується сама

У деяких випадках умова $f(x)>0$ випливає з самої нерівності. Наприклад, якщо $a>1$ і $lo{g}_{a}f(x)>b$, то $f(x)>a^b$, а $a^b$ завжди додатне, тому ОДЗ виконується автоматично. Однак для нерівностей виду $lo{g}_{a}f(x)<b$ при $a>1$ або $lo{g}_{a}f(x)>b$ при $0<a<1$ умова $f(x)>0$ є обов’язковою — її потрібно перевіряти окремо.

Розгляньмо $lgx<0$. Записуємо $0=lg1$, маємо $lgx<lg1$. Основа $10>1$, тому $x<1$. ОДЗ: $x>0$. Переріз: $(0;1)$. Якби ми не записали ОДЗ, то отримали б $(-\infty ;1)$, що включає від’ємні числа, для яких логарифм не існує.

Коли логарифми стоять з обох боків нерівності, ми порівнюємо їхні аргументи за правилами монотонності. Але спершу обов’язково записуємо ОДЗ для обох підлогарифмічних виразів.

Порівняння двох логарифмів з однаковою основою

Розгляньмо $lo{g}_3(2x-1)>lo{g}_3(x+4)$.

• ОДЗ: $2x-1>0$ і $x+4>0$. Звідси $x>0,5$ і $x>-4$. Спільна умова: $x>0,5$.

• Основа $3>1$, знак зберігаємо: $2x-1>x+4$, отже $x>5$.

• Переріз з ОДЗ: $(5;+\infty )$.

Тепер нерівність з основою, меншою за 1: $lo{g}_{0,3}(x+2)\ge lo{g}_{0,3}(4-x)$.

• ОДЗ: $x+2>0$ і $4-x>0$. Звідси $x>-2$ і $x<4$, тобто $-2<x<4$.

• Основа $0,3<1$, знак змінюємо: $x+2\le 4-x$, отже $2x\le 2$, $x\le 1$.

• Переріз: $(-2;1]$.

Застосування властивостей логарифмів

У довідкових матеріалах НМТ є основні властивості логарифмів: логарифм добутку, частки, степеня. Але їх можна застосовувати лише після того, як записано ОДЗ для кожного окремого логарифма. Чому? Тому що, наприклад, $lo{g}_{2}x+lo{g}_2(x-2)$ визначено лише при $x>2$, а $lo{g}_2(x(x-2))$ — при $x<0$ або $x>2$. Якщо спершу згорнути суму в добуток, а потім шукати ОДЗ, можна втратити або додати сторонні проміжки.

Приклад із сумою логарифмів

Розв’яжемо $lo{g}_{2}x+lo{g}_2(x-2)\le 3$.

• ОДЗ: $x>0$ і $x-2>0$, отже $x>2$.

• Застосовуємо властивість: $lo{g}_2(x(x-2))\le 3$.

• Записуємо $3=lo{g}_{2}8$: $lo{g}_2(x(x-2))\le lo{g}_{2}8$.

• Основа $2>1$, знак зберігаємо: $x(x-2)\le 8$, тобто $x^2-2x-8\le 0$.

• Корені квадратного тричлена: $x=-2$ і $x=4$. Розв’язок: $[-2;4]$.

• Переріз з ОДЗ ($x>2$): $(2;4]$.

Квадратний аргумент

Розв’яжемо $lo{g}_2(x^2-3x)\le 2$.

• ОДЗ: $x^2-3x>0$. Розкладаємо: $x(x-3)>0$. Метод інтервалів дає $x<0$ або $x>3$.

• Записуємо $2=lo{g}_{2}4$: $lo{g}_2(x^2-3x)\le lo{g}_{2}4$.

• Основа $2>1$, знак зберігаємо: $x^2-3x\le 4$, тобто $x^2-3x-4\le 0$.

• Корені: $x=-1$ і $x=4$. Розв’язок: $[-1;4]$.

• Переріз з ОДЗ: $[-1;0)\cup (3;4]$.

Заміна змінної

Якщо нерівність містить $lo{g}_a^{2}x$ або $lo{g}_{a}x$ у кількох місцях, зручно зробити заміну $t=lo{g}_{a}x$. Розв’яжемо $lo{g}_2^{2}x-lo{g}_{2}x-2\le 0$.

• ОДЗ: $x>0$.

• Заміна $t=lo{g}_{2}x$: $t^2-t-2\le 0$.

• Корені квадратного тричлена: $t=-1$ і $t=2$. Розв’язок: $-1\le t\le 2$.

• Повертаємося до $x$: $-1\le lo{g}_{2}x\le 2$.

• Записуємо $-1=lo{g}_{2}0,5$ і $2=lo{g}_{2}4$: $lo{g}_{2}0,5\le lo{g}_{2}x\le lo{g}_{2}4$.

• Основа $2>1$, знак зберігаємо: $0,5\le x\le 4$.

• ОДЗ $x>0$ виконується автоматично. Відповідь: $[0,5;4]$.

Розгляньмо п’ять типових завдань на логарифмічні нерівності — саме такі можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність $lo{g}_3(x+2)<2$

Завдання з вибором однієї відповіді з п’яти.

Розв’язання:

• ОДЗ: $x+2>0$, отже $x>-2$.

• Записуємо $2=lo{g}_{3}9$: $lo{g}_3(x+2)<lo{g}_{3}9$.

• Основа $3>1$, знак зберігаємо: $x+2<9$, звідки $x<7$.

• Переріз: $(-2;7)$.

Правильна відповідь: $(-2;7)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $(-\infty ;7)$ — забули ОДЗ, включили числа $x\le -2$, для яких логарифм не існує.

• $(7;+\infty )$ — змінили знак нерівності, хоча основа $3>1$.

• $(-2;4)$ — помилково взяли $3\cdot 2=6$ замість $3^2=9$.

• $(0;7)$ — довільне звуження проміжку без обґрунтування.

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність $lo{g}_{0,2}(3-x)\ge -1$

Завдання з вибором однієї відповіді з п’яти.

Розв’язання:

• ОДЗ: $3-x>0$, отже $x<3$.

• Записуємо $-1=lo{g}_{0,2}5$, бо $0,2^{-1}=5$.

• Основа $0,2<1$, знак змінюємо: $3-x\le 5$, звідки $-x\le 2$, тобто $x\ge -2$.

• Переріз: $[-2;3)$.

Правильна відповідь: $[-2;3)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $(-\infty ;-2]$ — не змінили знак нерівності (отримали $3-x\ge 5$).

• $[-2;+\infty )$ — не врахували ОДЗ $x<3$.

• $[2,8;3)$ — записали $-1$ як $lo{g}_{0,2}0,2$ (помилка: $0,2^{-1}=5$, а не $0,2$).

• $(-2;3)$ — не помітили, що точка $x=-2$ входить у розв’язок (нерівність нестрога).

Приклад 3. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності $lo{g}_2(x-1)\le 3$

Завдання з короткою відповіддю (число).

Розв’язання:

• ОДЗ: $x-1>0$, отже $x>1$.

• $3=lo{g}_{2}8$: $lo{g}_2(x-1)\le lo{g}_{2}8$.

• Основа $2>1$, знак зберігаємо: $x-1\le 8$, звідки $x\le 9$.

• Переріз: $(1;9]$.

• Цілі числа на цьому проміжку: $2,3,4,5,6,7,8,9$ — всього 8 чисел.

Відповідь: 8.

Поширена пастка: включити $x=1$ (тоді цілих буде 9). Але при $x=1$ підлогарифмічний вираз дорівнює 0, а логарифм нуля не існує.

Приклад 4. Знайдіть суму цілих розв’язків нерівності $lo{g}_2(x+1)+lo{g}_2(x-1)\le 3$

Завдання з короткою відповіддю (число).

Розв’язання:

• ОДЗ: $x+1>0$ і $x-1>0$, отже $x>1$.

• Застосовуємо властивість: $lo{g}_2((x+1)(x-1))\le 3$, тобто $lo{g}_2(x^2-1)\le 3$.

• $3=lo{g}_{2}8$: $lo{g}_2(x^2-1)\le lo{g}_{2}8$.

• Основа $2>1$: $x^2-1\le 8$, звідки $x^2\le 9$, тобто $[-3;3]$.

• Переріз з ОДЗ ($x>1$): $(1;3]$.

• Цілі числа: 2 і 3. Сума: $2+3=5$.

Відповідь: 5.

Пастка: якщо не записати ОДЗ, то розв’язком буде $[-3;3]$, цілі числа — від $-3$ до 3, їхня сума дорівнює 0. Але, наприклад, при $x=0$ не визначений $lo{g}_2(x-1)$, а при $x=-2$ — обидва логарифми.

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність $lo{g}_{0,5}(x^2-x)>-1$

Завдання з вибором однієї відповіді з п’яти.

Розв’язання:

• ОДЗ: $x^2-x>0$. $x(x-1)>0$ ⇒ $x<0$ або $x>1$.

• $-1=lo{g}_{0,5}2$: $lo{g}_{0,5}(x^2-x)>lo{g}_{0,5}2$.

• Основа $0,5<1$, знак змінюємо: $x^2-x<2$, тобто $x^2-x-2<0$.

• Корені: $x=-1$ і $x=2$. Розв’язок: $(-1;2)$.

• Переріз з ОДЗ: $(-1;0)\cup (1;2)$.

Правильна відповідь: $(-1;0)\cup (1;2)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $(-1;2)$ — не врахували ОДЗ, включили проміжок $[0;1]$, де логарифм не існує.

• $(-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )$ — не змінили знак нерівності (отримали $x^2-x>2$).

• $(0;1)$ — ці числа не входять ні в ОДЗ, ні в розв’язок.

• $(-1;0]\cup [1;2)$ — включили точки $x=0$ і $x=1$, де логарифм не існує.

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв’язування логарифмічних нерівностей. Запам’ятай їх, щоб не втратити бали на НМТ.

• Забувають ОДЗ. Наприклад, у нерівності $lo{g}_3(x+2)<2$ отримують $(-\infty ;7)$ замість правильного $(-2;7)$. Без ОДЗ у відповідь потрапляють числа, для яких логарифм не існує. Завжди починай з ОДЗ!

• Не змінюють знак при основі $0<a<1$. Наприклад, у нерівності $lo{g}_{0,5}(x-1)>-2$ помилково пишуть $x-1>4$ і отримують $x>5$. Правильно: $x-1<4$, відповідь $(1;5)$. Запам’ятай: основа менша за 1 — знак змінюється.

• Неправильно записують число логарифмом. Наприклад, $-2$ записують як $lo{g}_{0,5}0,25$, а правильно — $lo{g}_{0,5}4$, бо $0,5^{-2}=4$. Перевіряй: $a^b$ має дорівнювати числу під знаком логарифма.

• Шукають ОДЗ після застосування властивостей. Наприклад, у нерівності $lo{g}_{2}x+lo{g}_2(x-2)\le 3$ спершу згортають у $lo{g}_2(x(x-2))$ і шукають ОДЗ для добутку: $x(x-2)>0$. Це дає $x<0$ або $x>2$, що неправильно, бо $lo{g}_{2}x$ існує лише при $x>0$, а $lo{g}_2(x-2)$ — лише при $x>2$. Правильна ОДЗ: $x>2$.

• Змінюють знак через від’ємне число в правій частині. Наприклад, у нерівності $lo{g}_{2}x>-1$ помилково пишуть $x<0,5$, міркуючи: «справа від’ємне число, тому знак змінюється». Це груба помилка! Знак нерівності залежить лише від основи логарифма. Основа $2>1$, тому знак зберігається: $x>0,5$.

• В ОДЗ пишуть $f(x)\ge 0$ замість $f(x)>0$. Логарифм визначено лише для строго додатних чисел. Якщо в ОДЗ написати $x-1\ge 0$, то точка $x=1$ потрапить у відповідь, хоча $lo{g}_{2}0$ не існує. Завжди пиши $>0$.

Логарифмічні нерівності належать до розділу програми «Рівняння, нерівності та їх системи». На рівні стандарту програма вимагає розв’язувати найпростіші логарифмічні нерівності та ті, що зводяться до них. Тригонометричні й ірраціональні нерівності програма відносить до профільного рівня (П), але документи НМТ рівнів не розрізняють, тому виключати такі нерівності з тесту не можна.

Формати завдань

• Вибір однієї відповіді з п’яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). У таких завданнях варіанти-пастки зазвичай побудовано на двох типових помилках: проміжок без ОДЗ і проміжок з незміненим знаком при основі $0<a<1$.

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали без часткових). Тут можуть попросити знайти кількість цілих розв’язків або їхню суму. Відповідь — одне число, яке записують десятковим дробом.

Що є в довідкових матеріалах

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є основна логарифмічна тотожність, властивості логарифмів (логарифм добутку, частки, степеня) і формула $lo{g}_{a^k}b=\frac{1}{k}lo{g}_{a}b$. Однак правил про ОДЗ і зміну знака нерівності там немає — це треба знати самому.

Приклади з демоваріанта НМТ-2026

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 4 — найпростіше логарифмічне рівняння, а № 13 — система нерівностей. Логарифмічні й показникові нерівності за експертною оцінкою в аналізі програми належать до найважчих тем тесту, тому варто приділити їм особливу увагу.

Стратегія для тесту

Якщо сумніваєшся у відповіді, скористайся підстановкою. Візьми число, яке явно належить ОДЗ (наприклад, $x=5$ для $lo{g}_2(x-3)$), і число, яке явно не належить ОДЗ (наприклад, $x=0$). Підстав їх у варіанти — ті, що включають число поза ОДЗ, можна одразу відкинути. Потім перевір знак нерівності для числа з ОДЗ.

• Спершу ОДЗ: кожен підлогарифмічний вираз $>0$.

• Монотонність: $a>1$ — знак для аргументів зберігається; $0<a<1$ — знак змінюється на протилежний. Знак правої частини на це не впливає.

• Число записуємо логарифмом: $b=lo{g}_a{a}^b$. Наприклад, $3=lo{g}_{2}8$, $-2=lo{g}_{0,5}4$.

• Відповідь — переріз: спільна частина ОДЗ і розв’язку нерівності для аргументів.

• Властивості логарифмів: застосовуй лише після запису ОДЗ для початкового виразу.

• Тригонометричні й ірраціональні нерівності: програма відносить їх до профільного рівня, але виключати їх із НМТ не можна.