Лінійне рівняння з параметром

У звичайному лінійному рівнянні, як-от $2x=6$, усі числа відомі, і ми просто знаходимо $x=3$. Але в рівнянні з параметром одна з літер уважається не змінною, а фіксованим, хоча й невідомим числом. Таку літеру називають параметром. Найчастіше параметр позначають буквою $a$ (рідше $b$, $c$, $k$).

Рівняння $ax=3$ — це не одне рівняння, а ціла сім'я рівнянь: по одному для кожного значення $a$. Наприклад:

• при $a=2$ маємо $2x=3$, корінь $x=1,5$;

• при $a=0$ маємо $0\cdot x=3$, коренів немає (бо $0\ne 3$);

• при $a=-1$ маємо $-x=3$, корінь $x=-3$.

Отже, розв'язати рівняння з параметром — це для кожного можливого значення параметра вказати всі корені (або встановити, що їх немає). Типові запитання на НМТ звучать так:

• При яких значеннях параметра $a$ рівняння має єдиний корінь?

• При яких $a$ рівняння не має коренів?

• При яких $a$ рівняння має безліч коренів?

• При яких $a$ коренем рівняння є число $2$?

• При яких $a$ корінь рівняння є додатним?

Ключова ідея дослідження — контрольні значення параметра. Це ті значення, за яких коефіцієнт, на який ми хочемо поділити, дорівнює нулю. Саме в цих точках змінюється кількість коренів, тому їх треба розглянути окремо, до того, як ділити обидві частини рівняння. Наприклад, у рівнянні $ax=3$ контрольним є $a=0$: при $a=0$ ділити не можна, і ми одразу бачимо, що коренів немає. Для всіх інших $a$ ділимо сміливо й отримуємо $x=3/a$.

Запам'ятай: допоки не перевіриш контрольні значення — не діли!

Будь-яке лінійне рівняння з параметром після спрощення зводиться до вигляду $A\cdot x=B$, де $A$ і $B$ — вирази, що залежать від параметра (або числа). Дослідження такого рівняння дає три принципово різні випадки:

Розгляньмо кілька прикладів.

Приклад: $(a-2)x=a^2-4$

Тут $A=a-2$, $B=a^2-4$. Контрольне значення: $a-2=0\Rightarrow a=2$.

• При $a=2$: $0\cdot x=2^2-4=0$, тобто $0\cdot x=0$ — безліч коренів.

• При $a\ne 2$: ділимо: $x=\frac{a^2-4}{a-2}=\frac{(a-2)(a+2)}{a-2}=a+2$ — єдиний корінь. Зверни увагу: навіть при $a=-2$ корінь $x=0$ — це єдиний корінь, а не безліч.

Приклад: $(a^2-9)x=a+3$

Розкладаємо: $A=a^2-9=(a-3)(a+3)$. Контрольні значення: $a=3$ і $a=-3$.

• При $a=3$: $0\cdot x=3+3=6$ — коренів немає.

• При $a=-3$: $0\cdot x=-3+3=0$ — безліч коренів.

• При $a\ne \pm 3$: $x=\frac{a+3}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a-3}$ — єдиний корінь.

Як звести до вигляду $A\cdot x=B$

Іноді рівняння не одразу має вигляд $A\cdot x=B$. Наприклад:

$a(x-1)=2x+3$

Розкриваємо дужки й переносимо доданки з $x$ вліво:

$ax-a=2x+3\Rightarrow ax-2x=a+3\Rightarrow (a-2)x=a+3$.

Тепер це рівняння виду $A\cdot x=B$, де $A=a-2$, $B=a+3$. Контрольне значення: $a=2$. При $a=2$ маємо $0\cdot x=5$ — коренів немає. При $a\ne 2$: $x=\frac{a+3}{a-2}$ — єдиний корінь.

У задачах з параметром часто просять не просто знайти корінь, а визначити, за яких значень параметра цей корінь задовольняє додаткову умову: має певний знак, належить відрізку, є цілим числом. Також трапляються дробові рівняння, які зводяться до лінійних, але з обмеженням — корінь не може збігатися з нулем знаменника.

Знак кореня

Нехай після зведення ми отримали $x=\frac{3}{a+1}$. За яких $a$ корінь додатний?

Розв'язуємо нерівність відносно $a$: $\frac{3}{a+1}>0$. Оскільки чисельник $3>0$, дріб додатний, коли знаменник додатний: $a+1>0\Rightarrow a>-1$. Відповідь: $a>-1$.

Інший приклад: $x=\frac{a+3}{a-2}<0$. Тут знак дробу визначаємо методом інтервалів відносно $a$. Нулі чисельника: $a=-3$; нулі знаменника: $a=2$ (контрольне значення, за якого кореня немає). На числовій прямій позначаємо точки $-3$ і $2$ та визначаємо знак дробу на кожному проміжку:

Отже, $\frac{a+3}{a-2}<0$ при $-3<a<2$. Відповідь: $-3<a<2$.

Корінь на відрізку

Повернімося до рівняння $(a-2)x=a^2-4$. Ми знаємо, що при $a\ne 2$ єдиний корінь $x=a+2$. За яких цілих $a$ цей корінь належить відрізку $[0;5]$?

Розв'язуємо подвійну нерівність: $0\le a+2\le 5\Rightarrow -2\le a\le 3$. Але $a=2$ треба виключити, бо при $a=2$ рівняння має безліч коренів, а не єдиний корінь. Отже, цілі $a$, що задовольняють умову: $-2,-1,0,1,3$.

Цілий корінь

Нехай $x=\frac{6}{a-1}$. За яких цілих $a$ корінь є цілим числом? Дріб $6/(a-1)$ буде цілим, коли знаменник $a-1$ — дільник числа $6$. Дільники бувають як додатні, так і від'ємні:

$a-1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$

Звідси $a\in \{2,0,3,-1,4,-2,7,-5\}$ — вісім цілих значень. Поширена помилка — враховувати лише додатні дільники $1,2,3,6$, що дає лише чотири значення $a$.

Дробові рівняння з параметром

Дробове рівняння зводиться до лінійного, але з'являється додаткове обмеження: знаменник не може дорівнювати нулю. Розгляньмо $\frac{x-a}{x-3}=0$.

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні: $x-a=0\Rightarrow x=a$, і $x-3\ne 0\Rightarrow a\ne 3$.

• При $a=3$: корінь $x=3$ збігається з нулем знаменника — коренів немає.

• При $a\ne 3$: єдиний корінь $x=a$.

Складніший випадок: $\frac{ax-2}{x-1}=0$. Чисельник: $ax=2$. Маємо два джерела відсутності коренів:

• при $a=0$: $0\cdot x=2$ — коренів немає (лінійне рівняння не має розв'язку);

• при $a=2$: $2x=2\Rightarrow x=1$, але $x=1$ — нуль знаменника, тому коренів немає.

Для всіх інших $a\ne 0,2$ маємо єдиний корінь $x=2/a$.

Завдання 22 на НМТ вимагає записати відповідь одним числом. Це може бути:

• сума значень параметра, що задовольняють умову;

• добуток таких значень;

• кількість цілих значень параметра;

• найменше або найбільше ціле значення параметра.

Тому спершу треба знайти всі значення параметра, що підходять, записати їх як множину, а вже потім обчислити те, що просять.

Приклад переходу від множини до числа

У попередньому розділі ми знайшли, що для рівняння $(a-2)x=a^2-4$ корінь $x=a+2$ належить відрізку $[0;5]$ при цілих $a\in \{-2,-1,0,1,3\}$. Залежно від того, що просять у завданні:

Перевірка граничних значень

Найнадійніший спосіб уникнути помилки — підставити кожне знайдене значення параметра в початкове рівняння й переконатися, що тип відповіді (єдиний корінь, коренів немає, безліч коренів) відповідає умові. Наприклад, для $a=3$ з множини вище:

Підставляємо $a=3$ у $(a-2)x=a^2-4$: $(3-2)x=9-4\Rightarrow 1\cdot x=5\Rightarrow x=5$. Корінь $5$ належить $[0;5]$ — усе правильно. А $a=2$ ми виключили: підстановка дає $0\cdot x=0$ — безліч коренів, що не задовольняє умову «єдиний корінь».

Пам'ятай: відповідь у завданні 22 — завжди одне число, записане десятковим дробом (цілі числа теж записуються без коми, наприклад 5, а не 5,0). Ніяких множин, проміжків чи букв!

Розв'яжемо чотири типові задачі, які можуть зустрітися в завданні 22 НМТ. Кожна — з покроковим розв'язанням і аналізом типових пасток.

Приклад 1. Безліч коренів

Завдання: При якому значенні $a$ рівняння $(a+4)x=a^2-16$ має безліч коренів? Відповідь запишіть десятковим дробом.

Розв'язання:

1. Рівняння має вигляд $A\cdot x=B$, де $A=a+4$, $B=a^2-16$.

2. Безліч коренів буває, коли $A=0$ і $B=0$ одночасно.

3. $A=0\Rightarrow a+4=0\Rightarrow a=-4$.

4. Перевіряємо $B$ при $a=-4$: $(-4{)}^2-16=16-16=0$. Умова виконана.

5. Відповідь: $-4$.

Чому не $4$? При $a=4$ маємо $A=8\ne 0$, рівняння $8x=0$ має єдиний корінь $x=0$, а не безліч.

Приклад 2. Сума значень, за яких немає коренів

Завдання: Знайдіть суму всіх значень $a$, при яких рівняння $(a^2-4a+3)x=a-3$ не має коренів.

Розв'язання:

1. Розкладаємо $A$ на множники: $a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$. Отже, $(a-1)(a-3)\cdot x=a-3$.

2. Контрольні значення — ті, за яких $A=0$: $a=1$ і $a=3$.

3. При $a=1$: $0\cdot x=1-3=-2\ne 0$ — коренів немає. Підходить.

4. При $a=3$: $0\cdot x=3-3=0$ — безліч коренів. Не підходить.

5. Отже, лише $a=1$. Сума всіх таких значень: $1$.

Пастка: деякі випускники вважають, що обидва контрольні значення дають «коренів немає», і додають $1+3=4$. Але при $a=3$ коренів безліч, тому це значення не підходить.

Приклад 3. Кількість цілих значень: корінь на відрізку

Завдання: Скільки існує цілих значень $a$, при яких рівняння $(a+3)x=a^2-9$ має єдиний корінь, що належить відрізку $[-7;0]$?

Розв'язання:

1. Розкладаємо: $(a+3)x=(a-3)(a+3)$.

2. Контрольне значення: $a+3=0\Rightarrow a=-3$. При $a=-3$: $0\cdot x=0$ — безліч коренів, умова «єдиний корінь» не виконується.

3. При $a\ne -3$: ділимо на $a+3$, отримуємо $x=a-3$ — єдиний корінь.

4. Умова належності відрізку: $-7\le a-3\le 0\Rightarrow -4\le a\le 3$.

5. З проміжку $[-4;3]$ виключаємо $a=-3$ (де немає єдиного кореня).

6. Цілі $a$: $-4,-2,-1,0,1,2,3$ — усього $7$ значень.

Пастка: якщо не виключити $a=-3$, вийде $8$ значень. Правильна відповідь: $7$.

Приклад 4. Кількість цілих значень: цілий корінь

Завдання: Знайдіть кількість цілих значень $a$, при яких корінь рівняння $(a+2)x=12$ є цілим числом.

Розв'язання:

1. Контрольне значення: $a+2=0\Rightarrow a=-2$. При $a=-2$: $0\cdot x=12$ — коренів немає, умова не виконується.

2. При $a\ne -2$: $x=\frac{12}{a+2}$.

3. Корінь $x$ — ціле число, коли $a+2$ — дільник числа $12$. Дільники бувають додатні й від'ємні: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$.

4. Отже, $a+2\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12\}$.

5. Звідси $a\in \{-3,-1,-4,0,-5,1,-6,2,-8,4,-14,10\}$ — $12$ значень.

Пастка: врахувати лише додатні дільники $1,2,3,4,6,12$ дасть лише $6$ значень $a$. Правильна відповідь: $12$.

Розв'язуючи завдання з параметром, учні найчастіше припускаються одних і тих самих помилок. Ось шість найнебезпечніших пасток.

• Ділять на вираз з параметром, не розглянувши випадок, коли він дорівнює нулю. Це найпоширеніша помилка. Завжди спочатку знайди, за яких значень параметра коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю, і розглянь ці випадки окремо. Лише потім, для решти значень, можна ділити.

• При $A=0$ не перевіряють $B$ і плутають «безліч коренів» і «коренів немає». Запам'ятай: $0\cdot x=0$ — безліч коренів, $0\cdot x=5$ — коренів немає. Це різні ситуації!

• Скорочують дріб і забувають про контрольне значення. Наприклад, у рівнянні $(a-2)x=a^2-4$ спрощують $x=(a^2-4)/(a-2)=a+2$ і забувають, що при $a=2$ рівняння має безліч коренів, а не один корінь $4$.

• У дробовому рівнянні не виключають значення параметра, за якого корінь дорівнює нулю знаменника. Наприклад, у $(x-a)/(x-3)=0$ корінь $x=a$, але при $a=3$ він збігається з нулем знаменника — тому при $a=3$ рівняння не має коренів. Це значення параметра треба розглянути окремо, а не пропустити.

• Шукаючи цілі корені, рахують лише додатні дільники. Коли корінь $x=12/(a+2)$, дільниками числа $12$ є і $1,2,3,4,6,12$, і $-1,-2,-3,-4,-6,-12$. Усього $12$ дільників, а не $6$.

• Записують у відповідь множину значень $a$, а не число, яке просять. Якщо в завданні просять «суму», «добуток», «кількість» або «найменше ціле значення», то у відповідь потрібно записати саме одне число, а не множину чи проміжок.

Тема «рівняння, нерівності та системи з параметрами» входить до програми НМТ з математики лише для профільного рівня (позначка П у темі 2.1 програми). У демоваріанті НМТ-2026 профільного рівня завдання з параметром потребує лише номер 22.

Формат завдання 22:

• коротка письмова відповідь — лише число (десятковий дріб);

• оцінювання: 0 або 2 бали, часткових балів немає;

• якщо число від'ємне, знак «мінус» ставлять перед першою цифрою.

Навіть у рівні стандарту програма вимагає вміння «аналізувати й досліджувати рівняння … залежно від коефіцієнтів». Випадок $A\cdot x=B$ — це перший крок будь-якого дослідження з параметром, тому опанувати його варто всім, хто планує складати профільний рівень.

За експертною оцінкою, завдання 22 — те, що розрізняє результати 180 і 200 балів. Стратегія роботи на НМТ така:

• Спершу виконай усі завдання 1–21 — вони простіші й дають стабільні бали.

• До завдання 22 переходь, якщо залишився час.

• На чернетці випиши контрольні значення параметра (ті, за яких $A=0$), розглянь кожне окремо, і лише потім працюй з рештою.

• Параметр — фіксоване, але невідоме число; розв'язати рівняння з параметром — розглянути всі його значення.

• Рівняння $A\cdot x=B$: $A\ne 0$ — єдиний корінь $x=B/A$; $A=0$, $B\ne 0$ — коренів немає; $A=0$, $B=0$ — безліч коренів.

• Контрольні значення параметра (ті, за яких $A=0$) розглядаємо окремо, до ділення.

• Умови на корінь (знак, належність відрізку, ціле значення) — це нерівності відносно параметра.

• Дробове рівняння: корінь не може збігатися з нулем знаменника — за такого значення параметра коренів немає.

• Відповідь завдання 22 — одне число: сума, добуток, кількість чи найменше/найбільше значення параметра.