Кут між прямою й площиною та двогранний кут

У стереометрії кути між геометричними об'єктами є однією з головних величин, які доводиться обчислювати. Розберемо спершу, як визначають кут між двома прямими в просторі, а потім — кут між прямою та площиною.

Кут між прямими, що перетинаються

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути. Кутом між прямими називають менший із цих кутів. Тому його величина лежить у межах 0° < φ ≤ 90°. Якщо прямі перпендикулярні, кут дорівнює 90°. Для паралельних прямих (і прямих, що збігаються) кут між ними вважають рівним 0°.

Кут між мимобіжними прямими

Мимобіжні прямі не лежать в одній площині й не перетинаються. Для них кут визначають так: через довільну точку простору проводять прямі, паралельні кожній із заданих. Кут між цими допоміжними прямими, що перетинаються, і є кутом між мимобіжними прямими. Отже, його величина також не перевищує 90°.

Приклад у кубі

Нехай маємо куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Розглянемо прямі AA₁ і BC₁. Оскільки AA₁ ∥ BB₁, кут між AA₁ і BC₁ дорівнює куту між BB₁ і BC₁, тобто ∠B₁BC₁ = 45° (діагональ квадрата ділить прямий кут навпіл).

Інший приклад: знайдімо кут між діагоналями граней A₁B і B₁C. Помічаємо, що B₁C ∥ A₁D. Отже, шуканий кут — це ∠BA₁D у трикутнику A₁BD. Усі сторони цього трикутника — діагоналі граней куба, тому вони рівні. Трикутник A₁BD рівносторонній, а отже, кожен його кут дорівнює 60°. Відповідь: 60°.

Кут між прямою та площиною

Кутом між прямою та площиною називають кут між цією прямою та її проєкцією на цю площину. Якщо пряма паралельна площині або лежить у ній, кут дорівнює 0°; якщо пряма перпендикулярна до площини — 90°. Отже, 0° ≤ φ ≤ 90°.

Алгоритм знаходження

1. Візьми будь-яку точку на прямій (крім точки перетину з площиною) й опусти з неї перпендикуляр на площину.

2. Сполучи основу перпендикуляра з точкою перетину прямої та площини — це й буде проєкція прямої на площину.

3. У прямокутному трикутнику, утвореному похилою (самою прямою), перпендикуляром і проєкцією, застосуй тригонометричні співвідношення.

Обернена задача

Похила завдовжки 10 утворює з площиною кут 30°. Тоді відстань від кінця похилої до площини дорівнює h = 10 · sin 30° = 10 · 0,5 = 5, а довжина проєкції — p = 10 · cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3.

Куб і прямокутний паралелепіпед — найпростіші многогранники, у яких зручно відпрацювати знаходження кутів між прямими та площинами. Усі кути в цих фігурах зводяться до прямокутних трикутників.

Кут між діагоналлю грані куба та площиною основи

Розглянемо куб ABCDA₁B₁C₁D₁ з ребром a. Діагональ грані A₁B — це похила до площини основи ABC. Її проєкція на цю площину — відрізок AB (бо AA₁ ⟂ основи). Отже, шуканий кут — ∠A₁BA. Оскільки трикутник A₁BA прямокутний і A₁A = AB = a, маємо ∠A₁BA = 45°.

Кут між діагоналлю куба та площиною основи

Діагональ куба B₁D утворює з площиною основи кут φ. Проєкцією B₁D на основу є діагональ основи BD = a√2. Висота (перпендикуляр) — це ребро BB₁ = a. Отже, у прямокутному трикутнику B₁BD катети дорівнюють a і a√2, а гіпотенуза — діагональ куба a√3.

Цікаво, що діагональ куба утворює той самий кут з кожною гранню. Наприклад, для грані AA₁D₁ перпендикуляром буде ребро B₁A₁, а проєкцією — діагональ грані A₁D. Співвідношення сторін те саме, тому кут той самий.

Кут у прямокутному паралелепіпеді 3 × 4 × 12

Нехай у прямокутному паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 3 і 4, а бічне ребро — 12. Діагональ основи дорівнює √(3² + 4²) = 5. Діагональ самого паралелепіпеда дорівнює √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Кут φ між діагоналлю паралелепіпеда та площиною основи: sin φ = 12/13; cos φ = 5/13; tg φ = 12/5 = 2,4.

Пастка: який кут не є кутом із площиною?

У кубі кут між B₁D і площиною основи — це ∠B₁DB, а не ∠B₁DA і не ∠B₁DC. Чому? Тому що DA й DC — прямі площини основи, але не є проєкцією діагоналі B₁D. Проєкція — це BD (діагональ основи). Трикутник B₁AD прямокутний з прямим кутом A, тому tg ∠B₁DA = B₁A / AD = a√2 / a = √2. Це більше за шуканий tg φ = √2/2, тому помилковий вибір такого кута призводить до неправильної відповіді.

У стереометрії часто доводиться визначати кут між двома площинами. Для цього використовують поняття двогранного кута та його лінійного кута.

Що таке двогранний кут?

Двогранний кут — це фігура, утворена двома півплощинами, що мають спільну межу. Цю спільну межу називають ребром двогранного кута, а півплощини — його гранями. Уявіть розгорнуту книжку: корінець — це ребро, а сторінки — грані.

Лінійний кут двогранного кута

Лінійний кут — це кут між двома променями, проведеними в гранях з однієї точки ребра перпендикулярно до нього. Важливо: обидва промені мають бути перпендикулярними до ребра! Усі лінійні кути одного двогранного кута рівні між собою.

Кутом між двома площинами, що перетинаються, називають менший із утворених двогранних кутів. Його величина лежить від 0° до 90°. Якщо кут між площинами дорівнює 90°, площини називають перпендикулярними.

Приклади в кубі

У кубі двогранний кут при ребрі AB між гранями (ABC) і (ABB₁) дорівнює 90°, бо грані куба перпендикулярні.

Кут між площиною (ABC₁) і площиною основи (ABC) дорівнює ∠C₁BC = 45°. Чому? У площині основи BC ⟂ AB (ребро куба). У площині (ABC₁) BC₁ ⟂ AB (за теоремою про три перпендикуляри: BC — проєкція BC₁ на основу, і вона перпендикулярна до AB). Отже, BC і BC₁ — два перпендикуляри до ребра AB, проведені з точки B, тому ∠C₁BC — лінійний кут.

Побудова через теорему про три перпендикуляри

Загальний спосіб побудувати лінійний кут двогранного кута:

1. Візьми точку S на одній із граней.

2. Опусти з неї перпендикуляр SO на другу грань.

3. З основи перпендикуляра O проведи OK ⟂ ребру.

4. Сполучи S і K — за теоремою про три перпендикуляри SK теж ⟂ ребру.

5. Кут ∠SKO — шуканий лінійний кут.

Кути в правильній піраміді

У правильній піраміді вершина S проєктується в центр основи O. Розгляньмо два важливих кути.

Кут між бічною гранню й основою

Візьмемо бічну грань SAB. Нехай K — середина AB (точка дотику вписаного кола основи). Тоді SK — апофема l, OK = r — радіус вписаного в основу кола, SO = h — висота піраміди. Кут φ між гранню й основою — це ∠SKO. Співвідношення: tg φ = h / r, cos φ = r / l.

Кут між бічним ребром й основою

Для бічного ребра SA його проєкцією на основу є відрізок OA = R — радіус описаного навколо основи кола. Кут ψ між ребром SA й основою — це ∠SAO. Співвідношення: tg ψ = h / R.

Значення для правильних многокутників

Приклад: правильна чотирикутна піраміда зі стороною основи a = 6 і висотою h = 3. Радіус вписаного кола r = a/2 = 3. Тоді tg φ = h / r = 1, отже, кут між бічною гранню й основою дорівнює 45°.

Важливе спостереження: якщо всі бічні грані піраміди нахилені до основи під рівними кутами, то основа висоти — центр вписаного в основу кола. Якщо всі бічні ребра нахилені під рівними кутами (або рівні між собою), то основа висоти — центр описаного навколо основи кола.

Розв'яжемо кілька типових задач на кути в просторі, подібних до тих, що трапляються на НМТ. Кожен приклад містить повне пояснення.

Приклад 1. Кут між прямою та площиною в кубі

Умова. У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ вкажіть кут між прямою A₁C і площиною основи ABCD.

Розв'язання. Пряма A₁C перетинає площину основи в точці C. З точки A₁ опускаємо перпендикуляр на основу — це ребро A₁A. Основа перпендикуляра — точка A. Сполучаємо A з C — це проєкція A₁C на основу, тобто AC. Отже, шуканий кут — ∠A₁CA.

Чому не ∠A₁CB чи ∠A₁CD? Тому що CB і CD — прямі площини основи, але не є проєкцією A₁C. Проєкція — це AC (діагональ основи). Кут ∠CA₁A — це кут між A₁C і перпендикуляром AA₁. ∠A₁AC — прямий кут (AA₁ ⟂ основи).

Відповідь: ∠A₁CA.

Приклад 2. Відстань за кутом нахилу

Умова. Похила завдовжки 14 утворює з площиною кут 30°. Знайдіть відстань від кінця похилої до площини.

Розв'язання. Відстань від точки до площини — перпендикуляр h. Похила l = 14 — гіпотенуза. Кут між похилою та площиною — це кут між похилою та її проєкцією. Протилежний куту катет — перпендикуляр. h = l · sin 30° = 14 · 0,5 = 7.

Типові помилки: 7√3 ≈ 12,12 — це довжина проєкції (взяли косинус замість синуса). 14 — сама похила, а не відстань.

Відповідь: 7.

Приклад 3. Кут між гранню й основою піраміди

Умова. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи 8, висота 4√3. Знайдіть кут між бічною гранню й площиною основи.

Розв'язання. Для правильної чотирикутної піраміди r = a/2 = 8/2 = 4. Кут між гранню й основою: tg φ = h / r = (4√3) / 4 = √3. Отже, φ = 60°.

Чому не 30°? 30° дало б відношення r / h, а не h / r. arctg(√6/2) — це кут нахилу бічного ребра: R = a√2/2 = 4√2, tg ψ = h / R = √6/2. arctg(√3/2) — взяли сторону основи замість r.

Відповідь: 60°.

Приклад 4. Апофема за кутом нахилу

Умова. У правильній трикутній піраміді сторона основи 6√3, бічні грані нахилені до основи під кутом 60°. Знайдіть апофему.

Розв'язання. Для правильного трикутника зі стороною a = 6√3 радіус вписаного кола r = a√3/6 = (6√3)·√3 / 6 = 18/6 = 3. Кут нахилу грані φ = 60°. У трикутнику з висотою SO, OK = r, SK = l (апофема): cos φ = r / l, тому l = r / cos 60° = 3 / 0,5 = 6.

Поширені помилки: 3√3 ≈ 5,2 — це висота піраміди (h = r·tg60° = 3√3), а не апофема. 12 — взяли R = a√3/3 = 6 замість r.

Відповідь: 6.

Приклад 5. Кут між мимобіжними прямими в кубі

Умова. Знайдіть кут між мимобіжними прямими A₁B і B₁C куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

Розв'язання. Зауважимо, що B₁C ∥ A₁D (обидві — діагоналі бічних граней). Отже, шуканий кут — це кут між A₁B і A₁D, тобто ∠DA₁B у трикутнику A₁BD. Усі сторони цього трикутника — діагоналі граней куба, тому вони рівні. Трикутник A₁BD рівносторонній, отже кожен його кут = 60°.

Чому не 90°? Дехто помилково вважає мимобіжні діагоналі перпендикулярними. Чому не 120°? Бо кут між прямими — менший із двох, тобто 60°.

Відповідь: 60°.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення кутів у просторі. Знаючи їх, ти зможеш уникнути цих пасток на НМТ.

• Беруть кут між похилою й довільною прямою площини замість кута з проєкцією. Наприклад, у кубі кут між B₁D і площиною основи — це ∠B₁DB, а не ∠B₁DA. Пам'ятай: проєкція — це сполучення основи перпендикуляра з точкою перетину прямої та площини.

• За лінійний кут двогранного кута беруть кут між прямими, які не перпендикулярні до ребра. Обидва промені мають бути перпендикулярними до ребра — це обов'язкова умова.

• У піраміді плутають кут нахилу бічної грані (трикутник з апофемою l і r) з кутом нахилу бічного ребра (трикутник з ребром і R). Для грані tg φ = h / r, для ребра tg ψ = h / R.

• Плутають синус і косинус. Відстань до площини (перпендикуляр) — це протилежний куту катет, тому h = l·sin φ. Проєкція — прилеглий катет, p = l·cos φ.

• Вважають, що кута між мимобіжними прямими не існує або що він завжди прямий. Насправді кут існує й визначається через паралельне перенесення однієї з прямих.

• Записують кут між площинами чи між прямими тупим (>90°), хоча за означенням він не перевищує 90°. Якщо отримав тупий кут, візьми суміжний до нього гострий.

Тема кутів між прямими, прямою та площиною, а також двогранних кутів входить до теми «Прямі та площини у просторі» розділу «Стереометрія» програми НМТ з математики. На рівні стандарту програма вимагає «знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі».

У демоваріанті 2026 року окремого завдання, присвяченого виключно куту в просторі, немає. У вибірці тестів 2023–2024 років цій темі окремих завдань не відводили — ці вміння перевіряються у складі задач на многогранники й тіла обертання.

Позиція № 21 — це коротка відповідь зі стереометрії, яка оцінюється в 0 або 2 бали без часткових балів. Саме в цьому завданні можуть знадобитися знання про кути.

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ, є співвідношення для sin, cos, tg прямокутного трикутника й таблиця значень тригонометричних функцій для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Цього достатньо, щоб перейти від кута нахилу до довжин відрізків.

Стратегія: спершу знайди основу перпендикуляра й назви кут трьома буквами на рисунку, лише потім вибирай тригонометричне відношення. Чітке позначення кута допомагає не помилитися з вибором синуса чи косинуса.

Тут зібрано відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення кутів у просторі.

• Кут між прямою й площиною — це кут між прямою та її проєкцією, який лежить у межах від 0° до 90°.

• Відстань від точки до площини: h = l · sin φ; довжина проєкції: p = l · cos φ.

• Лінійний кут двогранного кута утворюють два перпендикуляри до ребра, проведені з однієї точки на ребрі.

• У правильній піраміді: для бічної грані tg φ = h / r, для бічного ребра tg ψ = h / R.

• Діагональ куба утворює з площиною грані кут, для якого tg φ = √2/2, sin φ = √3/3, cos φ = √6/3.

• Кут між мимобіжними прямими знаходимо, замінивши одну з них паралельною прямою.

• Будь-який кут у просторі між прямими, прямою та площиною або площинами не перевищує 90°.