Куля й сфера: переріз, площа поверхні й об’єм

Почнімо з головного розмежування, яке часто плутають на НМТ.

Сфера — це поверхня, яка складається з усіх точок простору, що містяться на однаковій відстані R від центра O. У сфери немає внутрішнього об'єму — вона лише «шкаралупа». Куля — це тіло, обмежене сферою: усі точки простору, відстань яких від центра O не більша за R. Кулю можна уявити як об'єкт, який утворюється обертанням півкруга навколо його діаметра.

Коли кулю перетинають площиною, у перерізі завжди утворюється круг. Чому? Бо будь-яка площина, що перетинає кулю, вирізає в ній круг: усі точки межі перерізу рівновіддалені від основи перпендикуляра, опущеного з центра кулі на площину (це центр перерізу). Розгляньмо прямокутний трикутник, у якого:

• один катет — відстань від центра кулі O до площини перерізу (позначають d)

• другий катет — радіус перерізу r

• гіпотенуза — радіус кулі R

За теоремою Піфагора отримуємо формулу:

$$r^2=R^2-d^2$$

Це ключова рівність для всіх задач на переріз кулі. Запам'ятай: з трьох величин (радіус кулі, радіус перерізу, відстань до площини) дві завжди можна знайти третю.

Окремі випадки

• d = 0 — площина проходить через центр кулі. Переріз називають великим кругом, його радіус дорівнює R. Саме цей круг дає найбільшу можливу площу перерізу.

• d = R — площина дотикається до сфери рівно в одній точці. Таку площину називають дотичною площиною. Радіус перерізу дорівнює нулю.

• d > R — площина не має спільних точок із кулею; перерізу не існує.

Приклад

Переріз кулі площиною, що міститься на відстані 3 від центра, має радіус 4. Знайди радіус кулі та площу сфери.

Розв'язання. За формулою R² = r² + d² маємо R² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, тобто R = 5. Площа сфери S = 4π·5² = 4π·25 = 100π.

Дві найважливіші формули, які є в довідкових матеріалах НМТ:

$$S=4\pi R^2\text{— площа сфери}$$

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3\text{— об’єм кулі}$$

Площа сфери — це площа чотирьох великих кругів: справді, площа великого круга дорівнює πR², а S = 4·πR². Об'єм кулі містить куб радіуса, тому він змінюється набагато швидше за площу.

Прямі обчислення

Якщо R = 5, то S = 4π·25 = 100π, V = 4π·125/3 = 500π/3.

Цікавий збіг: при R = 3 маємо S = 4π·9 = 36π і V = 4π·27/3 = 36π — числа збігаються. Але це єдиний такий випадок, тож не будуй на цьому жодних правил.

Обернені задачі

Коли дано площу сфери або об'єм кулі, радіус знаходять оберненою підстановкою.

• За площею: S = 64π ⇒ 4πR² = 64π ⇒ R² = 16 ⇒ R = 4.

• За об'ємом: V = 288π ⇒ 4πR³/3 = 288π ⇒ R³ = 216 ⇒ R = 6.

• За діаметром: якщо дано діаметр D, спершу поділи його навпіл: R = D/2, і лише потім підставляй у формули. Найпоширеніша помилка — підставити D замість R.

Півкуля

Півкуля — це половина кулі. Її об'єм:

$$V_{\text{півкулі}}=\frac{2}{3}\pi R^3$$

Поверхня півкулі складається з двох частин: вигнутої півсфери площею 2πR² та плоскої основи — круга площею πR². Разом повна поверхня півкулі становить:

$$S_{\text{півкулі}}=2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2$$

Це важливо пам'ятати в практичних задачах: коли фарбують купол (півсферу), беруть лише 2πR², а коли накривають посудину кришкою — додають і основу.

Оскільки площа сфери містить квадрат радіуса, а об'єм кулі — куб, зміна радіуса впливає на ці величини нелінійно.

Якщо радіус збільшити в k разів (R₂ = k·R₁), то:

• площа сфери зросте в k² разів: S₂ = 4π(kR₁)² = k² · 4πR₁² = k² · S₁

• об'єм кулі зросте в k³ разів: V₂ = 4π(kR₁)³/3 = k³ · 4πR₁³/3 = k³ · V₁

Обернена логіка працює так само: якщо об'єм кулі збільшився у 8 разів, то радіус збільшився у 2 рази (∛8 = 2), а площа сфери — у 4 рази (2² = 4).

Переплавлення куль

Коли кілька куль переплавляють в одну, матеріал не зникає — зберігається сумарний об'єм. Це означає, що об'єм нової кулі дорівнює сумі об'ємів вихідних куль.

Приклад. Вісім однакових кульок радіуса 1 переплавили в одну велику кулю. Який її радіус?

Об'єм однієї кульки: V₁ = 4π·1³/3 = 4π/3. Сумарний об'єм: 8 · 4π/3 = 32π/3. Об'єм великої кулі: 4πR³/3. Прирівнюємо: 4πR³/3 = 32π/3 ⇒ R³ = 8 ⇒ R = 2.

Зверни увагу: сумарна площа поверхні восьми маленьких кульок (8 · 4π·1² = 32π) більша за площу великої кулі (4π·2² = 16π). Це пояснює, чому дрібні краплі швидше випаровуються — у них більша поверхня при тому самому об'ємі.

Практичні сюжети

• Фарба на купол. Купол має форму півсфери радіуса R. Площа його поверхні (без основи) — 2πR². Саме стільки фарби знадобиться для покриття.

• М'яч. Футбольний м'яч має діаметр 24 см. Знайдемо об'єм повітря всередині. R = 12 см. V = 4π·12³/3 = 4π·1728/3 = 2304π см³. Це приблизно 7,2 літра.

Приклад 1. Площа перерізу кулі (вибір однієї відповіді)

Кулю радіуса 13 перетнули площиною, яка міститься на відстані 5 від центра кулі. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Розв'язання. За формулою r² = R² − d² маємо r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, отже, r = 12. Площа круга перерізу S_пер = πr² = π·144 = 144π.

Відповідь: 144π.

Чому інші варіанти неправильні:

• 24π — це довжина кола перерізу (2πr), а не площа.

• 64π — хтось узяв r = 13 − 5 = 8, віднявши відрізки, а не квадрати.

• 194π — додали квадрати замість віднімання: 169 + 25 = 194.

• 12π — хтось помилково вважав, що площа перерізу дорівнює πr.

Приклад 2. Від перерізу до площі сфери (коротка відповідь)

Переріз кулі площиною, яка міститься на відстані 6 від центра, має площу 64π. Знайдіть площу сфери, поділену на π.

Розв'язання. Площа перерізу S_пер = πr² = 64π, тому r² = 64, r = 8. За формулою r² = R² − d²: 64 = R² − 36 ⇒ R² = 100, R = 10. Площа сфери S = 4πR² = 4π·100 = 400π. Поділена на π: 400π / π = 400.

Відповідь: 400.

Чому відповідь не 100 і не 256:

• 100 — це πR² (площа великого круга), а не 4πR².

• 256 — хтось узяв 4r² = 4·64 = 256, сплутавши радіус перерізу з радіусом кулі.

Приклад 3. Зміна об'єму при зміні радіуса (вибір однієї відповіді)

Радіус кулі збільшили втричі. У скільки разів збільшився її об'єм?

Розв'язання. V = 4πR³/3. Якщо R₂ = 3R₁, то V₂ = 4π(3R₁)³/3 = 27 · (4πR₁³/3) = 27V₁. Об'єм збільшився у 27 разів.

Відповідь: 27.

Чому інші відповіді неправильні:

• 3 — плутають лінійну зміну радіуса з кубічною зміною об'єму.

• 9 — це k², тобто як змінилася б площа сфери, а не об'єм.

• 6 — механічне множення 3 на 2.

• 81 — це 3⁴, зайвий множник.

Приклад 4. Переплавлення куль (коротка відповідь)

З 27 однакових свинцевих кульок радіуса 2 см відлили одну велику кулю. Знайдіть її радіус у сантиметрах.

Розв'язання. Об'єм однієї кульки: V₁ = 4π·2³/3 = 4π·8/3 = 32π/3. Сумарний об'єм 27 кульок: 27 · 32π/3 = 288π. Об'єм великої кулі: 4πR³/3. Прирівнюємо: 4πR³/3 = 288π ⇒ R³ = 216 ⇒ R = 6 см.

Відповідь: 6.

Поширені пастки:

• 54 — хтось склав радіуси (27 · 2) замість об'ємів.

• ≈ 10,39 — прирівняли сумарну площу поверхні до площі нової кулі, а це неправильно, бо матеріал зберігає об'єм, а не поверхню.

• Плутають формули. 4πR² — це площа сфери, а 4πR³/3 — об'єм кулі. Їх легко переплутати, бо обидві починаються з 4πR. Запам'ятай: площа містить квадрат (R²), об'єм — куб (R³), і в об'єму є ділення на 3.

• У формулі перерізу віднімають довжини, а не їхні квадрати: r = R − d. Це найчастіша помилка в задачах на переріз. Правильно: r² = R² − d², тобто спочатку підносимо до квадрата, потім віднімаємо, потім добуваємо корінь.

• Підставляють діаметр замість радіуса. У формулах фігурує R, а не D. Якщо в умові дано діаметр, обов'язково поділи його навпіл.

• Вважають, що при збільшенні радіуса вдвічі об'єм зростає вдвічі або вчетверо. Насправді об'єм зростає у 2³ = 8 разів. Не плутай: площа сфери — у k² разів, об'єм — у k³ разів.

• Площу перерізу кулі рахують як 4πr² замість πr². Переріз — це просто круг, його площа πr². Формула 4πR² — це площа всієї сфери, а не перерізу.

• У задачах на переплавлення прирівнюють радіуси чи площі поверхонь замість об'ємів. Пам'ятай: матеріал зберігає об'єм, а не площу поверхні. Складаємо об'єми, а потім знаходимо новий радіус.

Тема «Куля й сфера, переріз кулі площиною, формули об'єму кулі та площі сфери» входить до теми 6.2 програми НМТ і належить до рівня стандарту. Це означає, що таке завдання може отримати кожен учасник тестування.

Рівняння сфери (тема 6.3) у програмі позначено як елемент профільного рівня (П). НМТ укладають за повною програмою, тож таке завдання не виключене.

Що є в довідкових матеріалах: формули V = 4πR³/3 та S = 4πR². Формули r² = R² − d² у довідці немає, але в ній є теорема Піфагора для прямокутного трикутника — саме вона дає цю рівність.

Формати завдань

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15). Оцінюється в 0 або 1 бал. Тут відповідь може містити π.

• Коротка відповідь (завдання 19–22). Оцінюється в 0 або 2 бали без часткових балів. Відповідь — лише десятковий дріб (або ціле число). Число з π записати не можна! Уважно прочитай, яку саме величину просять: часто йдеться про «площу сфери, поділену на π» або «об'єм кулі, поділений на π».

Стратегія виконання

• Перевір розмірність: площа вимірюється в квадратних одиницях, об'єм — у кубічних. Якщо в завданні згадують квадратні сантиметри — шукаєш площу; якщо кубічні — об'єм.

• Якщо в завданні на коротку відповідь фігурує π, запитай себе: «Чи просять поділити на π?» Відповідь без π — це звичайне число.

• Для задач на переріз намалюй прямокутний трикутник (центр кулі, центр перерізу, точка на колі). Візуалізація майже завжди рятує від помилки r = R − d.

• Площа сфери: S = 4πR²; об'єм кулі: V = 4πR³/3.

• Радіус перерізу кулі: r² = R² − d², де d — відстань від центра до площини.

• Якщо d = 0, переріз — великий круг (r = R). Якщо d = R, площина дотична.

• Радіус у k разів більший ⇒ площа сфери в k² разів, об'єм кулі в k³ разів більший.

• Під час переплавлення куль зберігається сумарний об'єм.

• Якщо в умові дано діаметр, обов'язково поділи його навпіл перед підстановкою у формули.

• Об'єм півкулі: V = 2πR³/3; її повна поверхня: S = 3πR².