Графіки у фізиці: нахил і площа під графіком

Будь-який фізичний графік — це залежність однієї величини від іншої. Щоб правильно з нього щось визначити, спершу треба зрозуміти, що позначено на осях, у яких одиницях і з яким масштабом.

Осі: величина, одиниця, множник

На горизонтальній осі (вісь x, абсциса) зазвичай відкладають незалежну величину — час t, координату x, об'єм V тощо. На вертикальній осі (вісь y, ордината) — залежну величину: швидкість vₓ, силу F, заряд q, тиск p. Поряд із позначенням осі обов'язково вказана одиниця: с (секунди), м/с (метри за секунду), мКл (мілікулони), кПа (кілопаскалі).

Іноді біля осі стоїть множник — «·10³» або «·10⁵ Па». Це означає, що числа на осі треба помножити на цей множник, щоб отримати справжнє значення. Наприклад, якщо на осі написано «p, ·10⁵ Па» і поділка показує число 2, то реальний тиск дорівнює 2 · 10⁵ Па = 200 кПа. Префікс біля одиниці (мКл, кПа) працює так само: мКл означає 10⁻³ Кл, тому число 6 на осі «q, мКл» відповідає 6 · 10⁻³ Кл.

Ціна поділки сітки

Ціна поділки осі — це значення, яке відповідає одній найменшій клітинці на цій осі. Її обчислюють так: береш два сусідні підписані числа на осі, знаходиш різницю між ними й ділиш на кількість клітинок між цими числами. Наприклад, на осі t підписано 0 і 2 с, а між ними 10 клітинок — ціна поділки дорівнює (2 − 0) : 10 = 0,2 с. Точки для розрахунків завжди бери у вузлах сітки — там, де перетинаються лінії, бо тільки для них значення можна точно визначити.

Значення в точці та зміна за проміжок

Не плутай дві різні речі: значення величини в конкретний момент (наприклад, vₓ(4 с) = 10 м/с) і зміну величини за проміжок часу (Δvₓ = vₓ₂ − vₓ₁ за інтервал від 2 до 6 с). Зміна може бути додатною, від'ємною або нульовою. Якщо швидкість зменшилася з 10 до 4 м/с, то Δvₓ = 4 − 10 = −6 м/с.

Форма графіка: що вона означає

Форма лінії на графіку підказує, як змінюється величина:

• горизонтальна пряма — величина не змінюється (стала);

• похила пряма — величина змінюється рівномірно (лінійно);

• крива лінія — величина змінюється нерівномірно.

Лінійна залежність має вигляд y = kx + b. Тут b — початкове значення (перетин графіка з віссю y при x = 0), а k — нахил, про який детально йтиметься далі.

Нахил графіка показує, як швидко змінюється величина на осі y відносно величини на осі x. Це одна з найважливіших ідей у фізиці: за нахилом графіка однієї залежності можна визначити зовсім іншу фізичну величину.

Як обчислити нахил

Нахил прямолінійної ділянки графіка обчислюють за формулою:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Дві точки (x₁, y₁) і (x₂, y₂) бери якомога далі одну від одної, але обов'язково у вузлах сітки — це зменшує похибку зчитування. Одиниця нахилу — це одиниця величини y, поділена на одиницю величини x.

Фізичний зміст нахилу: три ключові пари

Запам'ятай цю трійку: x(t) → vₓ, vₓ(t) → aₓ, q(t) → I.

Знак нахилу і крутість

Якщо графік зростає (йде вгору), нахил додатний — величина збільшується. Якщо спадає (йде вниз), нахил від'ємний — величина зменшується. Горизонтальна ділянка має нульовий нахил — величина стала. Чим крутіший графік, тим більший модуль похідної величини: наприклад, крутіший графік x(t) означає більшу швидкість.

Миттєве значення для кривої

Якщо графік не пряма, а крива, то нахил у кожній точці різний. Щоб знайти миттєве значення швидкості зміни величини в певний момент, проводять дотичну до графіка в цій точці й обчислюють нахил цієї дотичної. Наприклад, нахил дотичної до графіка x(t) у момент t дає миттєву швидкість у цей момент.

Приклад: заряд і сила струму

Нехай заряд q рівномірно зростає від 0 до 6 мКл за 3 с. Графік q(t) — пряма лінія. Сила струму I — це нахил цього графіка:

$$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{6\cdot 10^{-3}\text{Кл}-0}{3\text{с}}=2\cdot 10^{-3}\text{А}=2\text{мА}$$

Зверни увагу: ми перевели мілікулони в кулони (помножили на 10⁻³), а потім отримали ампери. Якби забули про префікс «м», то отримали б 2 А — помилка в 1000 разів.

Якщо нахил графіка дає швидкість зміни величини, то площа під графіком дає накопичену величину — те, що «набралося» за певний проміжок. Це друга фундаментальна ідея читання графіків у фізиці.

Як рахувати площу зі знаком

Площа між графіком y(x), віссю x і двома межами x₁ та x₂ задає накопичену величину. Якщо x зростає, то ділянки графіка над віссю x дають додатний внесок, а ділянки під віссю x — від'ємний. Одиниця площі — це добуток одиниць осей: те, що на осі y, помножене на те, що на осі x.

Чотири основні застосування

Запам'ятай: vₓ(t) → переміщення, Fₓ(x) → робота сили, p(V) → робота газу (додатна за розширення, від'ємна за стискання), I(t) → заряд.

Формули для простих фігур

На НМТ графіки часто складаються з прямолінійних ділянок, тому площу під ними можна обчислити як суму площ простих геометричних фігур:

• прямокутник: S = y · Δx (графік — горизонтальна пряма);

• трикутник: S = ½ · y · Δx (графік — похила пряма, що починається з нуля);

• трапеція: S = (y₁ + y₂)/2 · Δx (графік — похила пряма, що не починається з нуля).

Складну фігуру ділять на прості частини й додають їхні площі.

Підрахунок клітинками

Іноді зручно рахувати площу клітинками. Спочатку визначають «вартість» однієї клітинки — це добуток ціни поділки осі x на ціну поділки осі y (з урахуванням множників 10ⁿ). Потім множать кількість клітинок під графіком на цю вартість.

Від'ємна площа: графік під віссю

Якщо частина графіка vₓ(t) лежить під віссю часу (vₓ < 0), то площа цієї частини дає від'ємну проєкцію переміщення — тіло рухається в протилежному напрямі. Шлях (пройдена відстань) — це сума модулів площ, а переміщення — це площа зі знаком. Докладно різницю між шляхом і переміщенням за графіком розглянуто в курсі «Механіка: кінематика і динаміка».

Програма НМТ вимагає будувати графік однієї величини за графіком іншої; наприклад, за графіком проєкції швидкості vₓ(t) визначити, як виглядає графік проєкції прискорення aₓ(t). Це завдання перевіряє, чи розумієш ти, що прискорення — це нахил графіка швидкості.

Правило переходу: нахил → горизонтальний відрізок

Кожна прямолінійна ділянка графіка vₓ(t) перетворюється на горизонтальний відрізок графіка aₓ(t) на рівні нахилу цієї ділянки:

• якщо vₓ(t) зростає (нахил додатний) → aₓ > 0;

• якщо vₓ(t) спадає (нахил від'ємний) → aₓ < 0;

• якщо vₓ(t) горизонтальна (нахил нуль) → aₓ = 0.

Межі ділянок переносять без змін: злам графіка vₓ(t) у момент t відповідає стрибку графіка aₓ(t) у той самий момент. Графік aₓ(t) завжди складається з горизонтальних відрізків, якщо vₓ(t) — кусково-лінійна ламана.

Зворотний зв'язок: перевірка через площу

Площа під графіком aₓ(t) за певний проміжок часу дорівнює зміні проєкції швидкості Δvₓ за той самий проміжок. Це чудовий спосіб перевірити, чи правильно ти побудував графік aₓ(t): обчисли площу під ним і порівняй з Δvₓ за графіком vₓ(t). Якщо числа збігаються — усе правильно.

Покроковий приклад

Розглянемо графік vₓ(t), на якому проєкція швидкості рівномірно зростає від 2 до 10 м/с за проміжок 0–4 с, а потім залишається сталою 10 м/с до 6 с.

Крок 1. Визначаємо нахил на ділянці 0–4 с:

$$a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{10\text{м/с}-2\text{м/с}}{4\text{с}-0\text{с}}=\frac{8\text{м/с}}{4\text{с}}=2{\text{м/с}}^2$$

Крок 2. На ділянці 4–6 с швидкість стала, тому aₓ = 0.

Крок 3. Будуємо графік aₓ(t): від 0 до 4 с — горизонтальний відрізок на рівні 2 м/с², від 4 до 6 с — на рівні 0. У момент t = 4 с — стрибок.

Крок 4. Перевіряємо через площу: площа під aₓ(t) за 0–4 с = 2 · 4 = 8 (м/с), що дорівнює Δvₓ = 10 − 2 = 8 м/с. Усе збігається.

Додатково: переміщення за весь час 0–6 с можна знайти як площу під графіком vₓ(t):

$$s_x=\frac{2+10}{2}\cdot 4+10\cdot 2=24+20=44\text{м}$$

Перший доданок — площа трапеції на ділянці 0–4 с, другий — площа прямокутника на ділянці 4–6 с.

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі НМТ, які перевіряють уміння визначати фізичні величини за нахилом і площею під графіком.

Приклад 1. Переміщення за графіком vₓ(t)

Умова: На графіку показано залежність проєкції швидкості vₓ від часу t. Швидкість рівномірно зростає від 2 м/с до 10 м/с за перші 4 с руху. Визнач проєкцію переміщення тіла за ці 4 с. Відповідь запиши в метрах.

Розв'язання: Проєкція переміщення за графіком vₓ(t) — це площа під графіком. На ділянці 0–4 с графік — похила пряма, що не починається з нуля (початкова швидкість 2 м/с). Отже, фігура під графіком — трапеція. Її площа:

$$s_x=\frac{v_{x1}+v_{x2}}{2}\cdot \Delta t=\frac{2+10}{2}\cdot 4=6\cdot 4=24\text{м}$$

Відповідь: 24.

Чому не трикутник? Бо графік починається не з нуля, а з 2 м/с. Якби взяли площу трикутника ½ · 10 · 4 = 20, то отримали б неправильний результат — загубили б початкову швидкість.

Приклад 2. Графік aₓ(t) за графіком vₓ(t)

Умова: Той самий графік vₓ(t) доповнено: від 0 до 4 с швидкість зростає від 2 до 10 м/с, а від 4 до 6 с залишається сталою 10 м/с. Який графік проєкції прискорення aₓ(t) відповідає цьому рухові?

Розв'язання: Прискорення — це нахил графіка швидкості. На ділянці 0–4 с нахил дорівнює (10 − 2) : 4 = 2 м/с², тому aₓ = 2 м/с² (горизонтальний відрізок). На ділянці 4–6 с швидкість стала, нахил нульовий, тому aₓ = 0. Правильний графік: від 0 до 4 с — пряма на рівні 2 м/с², від 4 до 6 с — на рівні 0, зі стрибком у момент t = 4 с.

Чому інші варіанти неправильні:

• 10 м/с² на 0–4 с — узяли значення швидкості (10 м/с) замість нахилу;

• похила пряма — перенесли форму графіка vₓ(t) на aₓ(t), але прискорення має бути сталим на кожній ділянці;

• 2,5 м/с² (10 : 4) — поділили кінцеву швидкість на час, не врахувавши початкову швидкість 2 м/с.

Приклад 3. Сила струму за графіком q(t)

Умова: На графіку показано залежність заряду q від часу t. Біля осі q написано «q, мКл». Заряд рівномірно зростає від 0 до 6 мКл за 3 с. Визнач силу струму в колі.

Розв'язання: Сила струму I — це нахил графіка q(t): I = Δq/Δt. Переводимо мілікулони в кулони: 6 мКл = 6 · 10⁻³ Кл. Тоді:

$$I=\frac{6\cdot 10^{-3}\text{Кл}}{3\text{с}}=2\cdot 10^{-3}\text{А}=2\text{мА}$$

Відповідь: 2 мА.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2 А — забули про префікс «м» (мілі), не перевели 6 мКл у 6 · 10⁻³ Кл;

• 18 мА — помножили 6 на 3 замість поділити (Δq · Δt замість Δq/Δt);

• 0,5 мА — перевернули дріб: узяли Δt/Δq = 3/6 = 0,5 замість Δq/Δt.

Приклад 4. Робота сили за графіком Fₓ(x)

Умова: Тіло рухається вздовж додатного напряму осі Ox. На графіку показано залежність проєкції сили Fₓ від координати x. Сила рівномірно зростає від 10 Н до 30 Н на ділянці від 0 до 0,5 м. Визнач роботу сили на цій ділянці. Відповідь запиши в джоулях.

Розв'язання: Робота сили — це площа під графіком Fₓ(x). Графік — похила пряма, що не починається з нуля (початкове значення 10 Н). Фігура під графіком — трапеція:

$$A=\frac{F_{x1}+F_{x2}}{2}\cdot \Delta x=\frac{10+30}{2}\cdot 0,5=20\cdot 0,5=10\text{Дж}$$

Відповідь: 10.

Зверни увагу: Δx = 0,5 м, а не 0,5 см. Одиниці на осях — Н і м, тому робота виходить у джоулях. Якби на осі x були сантиметри, довелося б переводити в метри.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час роботи з графіками на НМТ. Кожну з них варто запам'ятати, щоб не втратити бали.

• Плутати значення величини в точці з її зміною за проміжок. Наприклад, за графіком vₓ(t) vₓ(4 с) = 10 м/с, а Δvₓ за 0–4 с = 10 − 2 = 8 м/с. Це різні числа, і вони відповідають на різні запитання.

• Брати значення y замість нахилу. Прискорення за графіком vₓ(t) — це не сама швидкість vₓ, а Δvₓ/Δt. Якщо на графіку vₓ = 10 м/с, це не означає, що aₓ = 10 м/с².

• Ігнорувати множник 10ⁿ чи префікс біля осі. Якщо на осі написано «q, мКл», то число 6 означає 6 · 10⁻³ Кл, а не 6 Кл. Помилка в 1000 разів коштує бала.

• Рахувати нахил за клітинками, а не за значеннями на осях. Коли ціни поділки осей різні, одна клітинка по вертикалі й одна по горизонталі можуть відповідати різним фізичним значенням. Завжди перераховуй у реальні одиниці.

• Брати площу трикутника замість трапеції. Коли графік vₓ(t) починається не з нуля (наприклад, vₓ(0) = 2 м/с), фігура під ним — трапеція, а не трикутник. Формула площі трикутника ½ · y · Δx дасть занижений результат.

• Будувати aₓ(t) тієї самої форми, що й vₓ(t). Якщо vₓ(t) — похила пряма, це не означає, що aₓ(t) теж похила. Прискорення — це нахил, а нахил прямої — стала величина, тому aₓ(t) — горизонтальний відрізок.

Програма НМТ з фізики вимагає вміння аналізувати графіки залежностей між фізичними величинами, визначати за ними параметри руху й будувати графік однієї величини за графіком іншої. Це наскрізне вміння, яке перевіряють у завданнях різних розділів.

Де графіки з'являються в демо 2026 року

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 графік є основою для кількох завдань:

• завдання № 5 — графік нагрівання з фазовими переходами (температура від часу);

• завдання № 10 — графік x(t) гармонічних коливань;

• завдання № 15 — процеси на графіку p(V), завдання на відповідність (логічні пари, 3 бали).

Формат і оцінювання

Графічне завдання з вибором однієї відповіді з чотирьох оцінюється в 1 бал. У задачі з короткою відповіддю (число) величина, отримана з графіка — нахил або площа, — є проміжним або кінцевим кроком до числа; таке завдання дає 0 або 2 бали залежно від правильності.

Стратегія виконання

Щоб не помилитися, дій за таким алгоритмом:

1. Спершу підпиши для себе осі: яка величина на кожній осі, її одиниця, чи є множник 10ⁿ або префікс.

2. Визнач ціну поділки обох осей.

3. Прочитай умову й виріши, що саме шукати: значення величини в точці, нахил графіка чи площу під графіком.

4. Виконай обчислення, перевір одиниці й запиши відповідь.

• Спершу осі: визнач величини, одиниці, множник 10ⁿ і ціну поділки обох осей.

• Нахил Δy/Δx: x(t) → vₓ, vₓ(t) → aₓ, q(t) → I.

• Площа під графіком: vₓ(t) → переміщення, Fₓ(x) і p(V) → робота, I(t) → заряд.

• Одиниця нахилу — частка одиниць осей; одиниця площі — добуток одиниць осей.

• Значення величини в точці не дорівнює її зміні за проміжок.

• Ділянка vₓ(t) з нахилом k дає горизонтальний відрізок aₓ = k на графіку прискорення.