Вектори в просторі: дії, скалярний добуток і кут

~15 хв · 8 розділів · 10 тестових запитань

Стереометрія

Математика НМТ

вектор у просторі: Напрямлений відрізок у тривимірному просторі, що має початок, кінець, довжину (модуль) і напрям. У системі координат Oxyz задається трьома координатами (x; y; z).
координати вектора в просторі: Три числа (x; y; z), які визначають вектор у системі координат Oxyz. Для вектора AB, де A(x1; y1; z1) і B(x2; y2; z2), координати дорівнюють (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1).
модуль вектора в просторі: Довжина (абсолютна величина) вектора. Обчислюється за формулою |a| = √(x² + y² + z²). Для вектора AB модуль дорівнює відстані між точками A і B.
скалярний добуток векторів у просторі: Число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат: a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2. Також дорівнює |a| · |b| · cos φ, де φ — кут між векторами. Результат — скаляр (число), а не вектор.
умова колінеарності векторів: Два ненульові вектори колінеарні, якщо існує число k, таке що b = k · a. У координатах це означає пропорційність усіх трьох координат: x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 = k. Якщо k > 0, вектори однаково напрямлені; якщо k < 0 — протилежно.
умова перпендикулярності векторів: Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю: a · b = 0. Це випливає з формули a · b = |a|·|b|·cos φ, оскільки cos 90° = 0.