Степінь з раціональним показником

Степінь з раціональним (дробовим) показником — це узагальнення поняття степеня на випадок, коли показник є дробом. Означення пов'язує степінь і корінь: підносити число до дробового степеня означає добувати корінь і підносити до степеня одночасно.

Формула означення

Для будь-якого додатного числа a, цілого числа m і натурального n (n ≥ 2):

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

Цю формулу ти знайдеш у довідці на НМТ. Вона означає, що знаменник дробового показника стає показником кореня, а чисельник — показником степеня підкореневого виразу.

Окремий випадок: 0^(m/n) = 0, якщо m/n > 0 (тобто степінь додатний).

Чому основа має бути додатною?

За означенням степінь з дробовим показником розглядають лише для додатної основи. Чому? Розгляньмо приклад.

Ти знаєш, що ∛(−8) = −2, бо (−2)³ = −8. Здавалося б, (−8)^(1/3) теж має дорівнювати −2. Однак показник 1/3 можна записати як 2/6, адже 1/3 = 2/6. Тоді:

(−8)^(2/6) = ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2

Отримуємо два різні значення для того самого числа: (−8)^(1/3) дало б −2, а (−8)^(2/6) дає 2. Щоб уникнути такої суперечності, математики домовилися: вираз a^(m/n) визначений лише для a > 0. Тому (−8)^(1/3) на НМТ не розглядають, хоча ∛(−8) = −2 — це різні поняття.

Перехід між записами: корінь ↔ степінь

Уміти переходити від кореня до степеня й навпаки — ключова навичка. Ось основні перетворення:

Десятковий показник — звичайний дріб

Якщо показник записано десятковим дробом, спершу перетвори його на звичайний:

Наприклад, 32^(0,4) = 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4.

Обчислюючи значення степеня з дробовим показником, дотримуйся простого правила: спершу добуваємо корінь, потім підносимо до степеня. Це дає менші числа й зменшує ризик помилки.

Спершу корінь, потім степінь

Розгляньмо кілька прикладів:

• 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Спочатку добули кубічний корінь з 8 (отримали 2), потім піднесли до квадрата.

• 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8. Корінь четвертого степеня з 16 дорівнює 2, далі 2³ = 8.

• 32^(0,4) = 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4. Перевели 0,4 у дріб 2/5, добули корінь п'ятого степеня, піднесли до квадрата.

Від'ємний показник

Від'ємний дробовий показник означає: спершу обчисли додатний степінь, потім візьми обернене число.

• 27^(−1/3) = 1 / (∛27) = 1/3. Кубічний корінь з 27 — це 3, обернене число — 1/3.

• (1/4)^(−1/2) = 1 / (√(1/4)) = 1 / (1/2) = 2. Або простіше: (1/4)^(−1/2) = 4^(1/2) = 2.

• 0,25^(−1,5) = (1/4)^(−3/2) = 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Перевели десятковий дріб у звичайний, скористалися властивістю оберненого числа.

Зведення до однієї основи

Коли у виразі є різні основи, спробуй звести їх до однієї. Наприклад:

• 9^(1,5) · 3⁻² = 9^(3/2) · 3⁻² = (√9)³ · 3⁻² = 3³ · 3⁻² = 3^(3−2) = 3¹ = 3.

• 4^(0,5) + 8^(1/3) = √4 + ∛8 = 2 + 2 = 4.

Відповідь десятковим дробом

На НМТ у завданнях № 19–22 відповідь записують десятковим дробом. Тому, обчисливши вираз, подай результат саме в такому вигляді:

• 100^(−1/2) = 1/√100 = 1/10 = 0,1.

• 16^(−1/4) = 1/⁴√16 = 1/2 = 0,5.

Для степенів з раціональним показником діють ті самі властивості, що й для степенів з цілим показником. Єдина умова: основи додатні (a > 0, b > 0).

Основні властивості

Спрощення виразів: покрокові приклади

Розгляньмо кілька виразів, які потребують застосування властивостей.

Приклад А. (x^(1/2) · x^(1/3))⁶, x > 0.

Спочатку додаємо показники в дужках: x^(1/2 + 1/3) = x^(3/6 + 2/6) = x^(5/6). Потім підносимо до 6-го степеня: (x^(5/6))⁶ = x^(5/6 · 6) = x⁵.

Приклад Б. √x · ∛x, x > 0.

Переходимо до степенів: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3). Додаємо: x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6).

Приклад В. a^(3/4) : a^(1/4), a > 0.

Віднімаємо показники: a^(3/4 − 1/4) = a^(2/4) = a^(1/2) = √a.

Корені різних степенів через степені

Перехід до степенів дає змогу множити й ділити корені різних степенів, не шукаючи спільний показник кореня:

• √2 · ∛2 = 2^(1/2) · 2^(1/3) = 2^(5/6) = ⁶√32.

• ∛(x√x) = (x · x^(1/2))^(1/3) = (x^(3/2))^(1/3) = x^(3/2 · 1/3) = x^(1/2) = √x.

Формули скороченого множення зі степенями

Формули скороченого множення працюють і з дробовими показниками. Наприклад, різниця квадратів:

(a^(1/2) − b^(1/2))(a^(1/2) + b^(1/2)) = (a^(1/2))² − (b^(1/2))² = a − b.

Це дає змогу спрощувати дроби на кшталт:

(x − 1) / (x^(1/2) − 1) = ( (x^(1/2))² − 1² ) / (x^(1/2) − 1) = x^(1/2) + 1, де x > 0, x ≠ 1.

Розгляньмо типові завдання НМТ на цю тему. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Обчислити 8^(2/3) · 27^(−1/3)

Завдання: Обчисли значення виразу 8^(2/3) · 27^(−1/3).

Розв'язання:

1. 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

2. 27^(−1/3) = 1 / ∛27 = 1/3.

3. 4 · 1/3 = 4/3.

Відповідь: 4/3.

Чому інші варіанти неправильні:

• 12 — якщо 27^(−1/3) помилково взяти за 3 (не врахували від'ємний показник).

• 3/4 — переплутано чисельник і знаменник у результаті.

• −12 — від'ємний показник помилково трактовано як від'ємне число.

• 16/9 — правильний результат 4/3 помилково піднесено до квадрата: (4/3)² = 16/9.

Приклад 2. Обчислити 16^(0,75) − 27^(2/3) + 0,25^(−0,5)

Завдання: Обчисли значення виразу 16^(0,75) − 27^(2/3) + 0,25^(−0,5). Відповідь запиши десятковим дробом.

Розв'язання:

1. 16^(0,75) = 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.

2. 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.

3. 0,25^(−0,5) = (1/4)^(−1/2) = 4^(1/2) = √4 = 2.

4. 8 − 9 + 2 = 1.

Відповідь: 1 (або 1,0).

Зверни увагу: десяткові показники 0,75 і 0,5 переведено у звичайні дроби 3/4 і 1/2. Від'ємний показник −0,5 спершу дав додатний степінь, а потім — обернене число.

Приклад 3. Спростити (x^(1/2) · x^(1/3))⁶, x > 0

Завдання: Спрости вираз (x^(1/2) · x^(1/3))⁶, де x > 0.

Розв'язання:

1. У дужках: x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(3/6 + 2/6) = x^(5/6).

2. Підносимо до 6-го степеня: (x^(5/6))⁶ = x^(5/6 · 6) = x⁵.

Відповідь: x⁵.

Чому інші варіанти неправильні:

• x — показники 1/2 і 1/3 перемножено замість додавання (1/2 · 1/3 = 1/6, а потім 1/6 · 6 = 1).

• x^(5/6) — не піднесли до 6-го степеня вираз у дужках.

• x⁶ — показник у дужках помилково взято за 1: (x¹)⁶ = x⁶.

• x^(5/36) — показник 5/6 поділено на 6 замість множення: 5/6 · 1/6 = 5/36.

Приклад 4. Подати ∛(a²) · √a (a > 0) як степінь з основою a

Завдання: Подай вираз ∛(a²) · √a (a > 0) у вигляді степеня з основою a.

Розв'язання:

1. ∛(a²) = a^(2/3).

2. √a = a^(1/2).

3. a^(2/3) · a^(1/2) = a^(2/3 + 1/2) = a^(4/6 + 3/6) = a^(7/6).

Відповідь: a^(7/6).

Чому інші варіанти неправильні:

• a^(1/3) — показники 2/3 і 1/2 перемножено замість додавання.

• a^(3/5) — додано окремо чисельники (2 + 1 = 3) і знаменники (3 + 2 = 5), що неправильно.

• a^(7/12) — показники зведено до спільного знаменника 6, але помилково записано 12.

• a^(4/3) — 2/3 + 1/2 помилково обчислено як 2/3 + 2/3 = 4/3.

На НМТ учні часто припускаються однотипних помилок у завданнях зі степенями. Ось найпоширеніші пастки та способи їх уникнути.

• 16^(3/4) рахують як 16 · 3/4 = 12. Це груба помилка: дробовий показник — не множник, а корінь і степінь. Правильно: (⁴√16)³ = 2³ = 8.

• Плутають чисельник і знаменник показника: 8^(2/3) = √(8³). Насправді знаменник (3) — показник кореня, чисельник (2) — показник степеня. Правильно: 8^(2/3) = (∛8)².

• Від'ємний показник дає від'ємне число: 27^(−1/3) = −3. Від'ємний показник означає обернене число, а не від'ємне значення. Правильно: 27^(−1/3) = 1/∛27 = 1/3.

• Під час множення степенів показники перемножують: x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/6). Показники додають, а не множать. Правильно: x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6).

• Від'ємну основу підставляють у a^(m/n): (−8)^(2/3) обчислюють як звичайний степінь. За означенням степінь з дробовим показником визначений лише для додатної основи. Вираз (−8)^(2/3) на НМТ не розглядають.

• Десятковий показник 0,75 не переводять у 3/4. Без переходу до звичайного дробу обчислити степінь практично неможливо. Завжди перетворюй: 0,75 = 3/4, 0,5 = 1/2, 0,4 = 2/5.

Тема «Степінь з раціональним показником» входить до програми НМТ з математики в двох підтемах:

• Тема 1.1 — означення степеня з раціональним показником і його властивості.

• Тема 1.3 — перетворення степеневих виразів.

Формат завдань

У довідці, яку ти отримаєш на НМТ, є формула a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Решту перетворень виконуй за властивостями степенів, які також можна знайти в довідці.

Стратегія виконання

• Уважно прочитай завдання: чи треба обчислити значення, чи спростити вираз.

• Якщо показник — десятковий дріб, одразу перетвори його на звичайний.

• Для обчислення спершу добувай корінь, потім піднось до степеня.

• У завданнях № 19–22 записуй відповідь десятковим дробом (наприклад, 0,5 замість 1/2).

• Перевіряй, чи основа додатна — вираз із від'ємною основою та дробовим показником не розглядають.

• a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): знаменник показника — показник кореня, чисельник — показник степеня підкореневого виразу.

• Основа степеня з дробовим показником обов'язково додатна (a > 0). Вираз (−8)^(1/3) не розглядають.

• Обчислюючи значення, спершу добувай корінь, потім піднось до степеня.

• Властивості степенів з дробовим показником — ті самі, що й для цілих показників.

• Десятковий показник переводи у звичайний дріб: 0,75 = 3/4; 0,5 = 1/2; 0,4 = 2/5.

• Від'ємний дробовий показник дає обернене число: a^(−m/n) = 1 / a^(m/n).

• Відповідь у завданнях № 19–22 записуй десятковим дробом.