Похибки вимірювань і запис результату

Жодне вимірювання не буває ідеально точним. Щоразу, коли ти знімаєш показання з лінійки, динамометра чи вольтметра, ти отримуєш наближене значення. Різниця між цим наближеним значенням і справжнім (істинним) значенням величини називається похибкою вимірювання. У фізиці результат завжди записують разом з оцінкою цієї похибки.

Звідки беруться похибки

Похибка вимірювання має кілька складових:

• похибка приладу — обмежена точність самого вимірювального пристрою (наприклад, лінійка з поділками через 1 мм не може виміряти частки міліметра)

• похибка відліку — неточність, яку вносить людина, коли оцінює положення стрілки чи риски між поділками

• похибка методу — систематичне відхилення, спричинене самою процедурою вимірювання (наприклад, тертя в динамометрі)

Запис x ± Δx задає інтервал, у якому, за прийнятою оцінкою, лежить істинне значення величини. Однак це не безумовна гарантія: неврахована систематична похибка може змістити результат за межі цього інтервалу. Наприклад, якщо лінійка має заводський дефект і її нульова позначка зміщена на 0,3 мм, то всі вимірювання будуть систематично зсунуті, навіть якщо Δl = 0,5 мм.

Абсолютна похибка

Абсолютна похибка Δx — це модуль різниці між виміряним і істинним значенням. Вона виражається в тих самих одиницях, що й сама величина: довжину вимірюють у міліметрах — похибка в міліметрах, силу в ньютонах — похибка в ньютонах.

У навчальній моделі, яку використовують у задачах цього юніта, абсолютну похибку за умовою оцінюють як половину ціни поділки шкали приладу. Наприклад:

• ціна поділки лінійки 1 мм → Δl = 0,5 мм

• ціна поділки динамометра 0,1 Н → ΔF = 0,05 Н

• ціна поділки мензурки 2 мл → ΔV = 1 мл

Половина ціни поділки — це спрощення, прийняте в навчальних задачах. У реальних вимірюваннях повна похибка приладу залежить також від його класу точності, методу вимірювання й зовнішніх умов. Завжди перевіряй, яку саме оцінку похибки задано в умові задачі.

Як правильно записати результат

Результат вимірювання записують у формі:

x = (x_вим ± Δx) одиниця

Найважливіше правило: останній знак виміряного значення має стояти в тому самому розряді, що й похибка. Похибку округлюють до однієї значущої цифри, а значення — до того самого розряду.

Розберімо приклад. Динамометр має ціну поділки 0,1 Н, його стрілка показує 2,0 Н. За умовою приймаємо похибку половиною ціни поділки: ΔF = 0,05 Н. Тоді правильний запис: F = (2,00 ± 0,05) Н. Зверни увагу: значення записано як 2,00, а не 2,0 — тому що похибка 0,05 має дві цифри після коми, отже й значення має мати дві цифри після коми.

Запис 2,0473 Н для цього самого динамометра — груба помилка. Додаткові знаки не додають точності, а лише створюють хибне враження, ніби вимірювання виконане з набагато меншою похибкою, ніж насправді.

Абсолютна похибка Δx сама по собі не дає повної картини точності вимірювання. Похибка 0,5 мм для довжини кімнати 5 м — це дрібниця, а для товщини книжки 20 мм — уже суттєва неточність. Щоб оцінити, наскільки великою є похибка відносно самого вимірюваного значення, використовують відносну похибку.

Формула відносної похибки

Відносна похибка ε (епсилон) — це відношення абсолютної похибки до модуля виміряного значення, виражене у відсотках:

$$\epsilon =\frac{\Delta x}{|x|}\cdot 100\%(x\ne 0)$$

Якщо x = 0, відносну похибку за цією формулою не обчислюють — ділення на нуль неможливе. У таких випадках говорять лише про абсолютну похибку.

Повернімося до динамометра з попереднього розділу: ΔF = 0,05 Н, показання 2,0 Н.

$$\epsilon =\frac{0,05\text{Н}}{2,0\text{Н}}\cdot 100\%=0,025\cdot 100\%=2,5\%$$

Це означає, що похибка становить 2,5 % від виміряного значення сили.

Порівняння точності за відносною похибкою

Саме відносна похибка дає змогу порівнювати точність вимірювань різних фізичних величин. Поглянь на два приклади:

Хоча абсолютна похибка вимірювання книжки (0,5 мм) менша за абсолютну похибку вимірювання кімнати (0,01 м = 10 мм), відносна похибка книжки (2,5 %) більша за відносну похибку кімнати (0,2 %). Отже, вимірювання довжини кімнати виконане точніше. Запам'ятай: менша абсолютна похибка ще не означає точнішого вимірювання.

Один прилад — різна відносна похибка

Той самий прилад дає меншу відносну похибку для більших показань. Розглянь динамометр з ΔF = 0,05 Н:

• при показанні 1,0 Н: ε = 0,05 / 1,0 · 100 % = 5 %

• при показанні 2,0 Н: ε = 0,05 / 2,0 · 100 % = 2,5 %

• при показанні 5,0 Н: ε = 0,05 / 5,0 · 100 % = 1 %

Тому на практиці намагаються вибирати прилад так, щоб вимірюване значення було якомога ближчим до кінця шкали — це зменшує відносну похибку.

Зворотний перехід: від відносної до абсолютної похибки

Якщо відома відносна похибка ε (у відсотках) і виміряне значення x, абсолютну похибку знаходять за формулою:

$$\Delta x=\frac{\epsilon \cdot |x|}{100\%}$$

Наприклад, якщо ε = 1,5 %, а x = 200 г, то Δx = 1,5 % · 200 г / 100 % = 3 г.

У фізиці вимірювання поділяють на прямі та непрямі. Розуміння цієї різниці важливе для того, щоб правильно оцінювати похибку кінцевого результату.

Прямі вимірювання

Пряме вимірювання — це вимірювання, за якого значення величини знімають безпосередньо зі шкали приладу. Ти вже знаєш такі приклади:

• довжина — вимірюють лінійкою або рулеткою

• маса — вимірюють терезами

• сила — вимірюють динамометром

• напруга — вимірюють вольтметром

• сила струму — вимірюють амперметром

• температура — вимірюють термометром

Похибка прямого вимірювання визначається ціною поділки приладу та умовою задачі.

Непрямі вимірювання

Непряме вимірювання — це вимірювання, за якого шукану величину обчислюють за формулою, що пов'язує її з величинами, отриманими прямими вимірюваннями. Наприклад:

• густина ρ = m / V (маса і об'єм — прямі вимірювання)

• швидкість v = s / t (шлях і час — прямі вимірювання)

• опір R = U / I (напруга і сила струму — прямі вимірювання)

• площа S = a · b (довжина і ширина — прямі вимірювання)

Похибка непрямого вимірювання залежить від похибок усіх прямих вимірювань, які входять у формулу.

Як оцінити похибку непрямого вимірювання

У шкільній фізиці для оцінки граничної похибки непрямого вимірювання за малих відносних похибок використовують наближені правила:

Це наближена оцінка граничної похибки, а не правило статистичного складання незалежних випадкових похибок. У реальному експерименті похибки можуть частково компенсувати одна одну, але в шкільних навчальних задачах зазвичай використовують саме цю модель — додавання меж.

Розгорнутий приклад: густина тіла

Нехай масу тіла виміряли на терезах: m = (50,0 ± 0,5) г. Об'єм виміряли мензуркою: V = (20 ± 1) см³. Потрібно знайти густину ρ та її похибку.

Крок 1. Обчислимо відносні похибки прямих вимірювань:

$${\epsilon }_m=\frac{0,5\text{г}}{50,0\text{г}}\cdot 100\%=1\%$$

$${\epsilon }_V=\frac{1{\text{см}}^3}{20{\text{см}}^3}\cdot 100\%=5\%$$

Крок 2. Густина — це частка маси на об'єм: ρ = m / V. Отже, відносна похибка густини наближено дорівнює сумі відносних похибок:

$${\epsilon }_{\rho }\approx {\epsilon }_m+{\epsilon }_V=1\%+5\%=6\%$$

Крок 3. Обчислимо саму густину: ρ = 50,0 г / 20 см³ = 2,5 г/см³.

Крок 4. Знайдемо абсолютну похибку густини:

$$\Delta \rho =\frac{{\epsilon }_{\rho }\cdot \rho }{100\%}=\frac{6\%\cdot 2,5{\text{г/см}}^3}{100\%}=0,15{\text{г/см}}^3\approx 0,2{\text{г/см}}^3$$

Крок 5. Записуємо результат: ρ = (2,5 ± 0,2) г/см³.

Зверни увагу: найбільший внесок у похибку густини дає відносна похибка об'єму (5 %), а не маси (1 %). Якби ми хотіли підвищити точність вимірювання густини, насамперед треба уточнити вимірювання об'єму — наприклад, взяти мензурку з меншою ціною поділки.

Розгляньмо чотири типові задачі на похибки вимірювань у форматі НМТ. Кожна має чотири варіанти відповіді (А–Г), з яких правильний лише один.

Приклад 1. Динамометр і запис результату

Динамометр має ціну поділки 0,1 Н. Його стрілка показує 2,0 Н. Похибку вимірювання прийміть рівною половині ціни поділки, похибку округліть до однієї значущої цифри. Який запис результату та відносна похибка є правильними?

• А) (2,0 ± 0,1) Н, 5 %

• Б) (2,000 ± 0,05) Н, 2,5 %

• В) (2,00 ± 0,05) Н, 0,025 %

• Г) (2,00 ± 0,05) Н, 2,5 %

Розв'язання. Ціна поділки 0,1 Н, половина — 0,05 Н. Похибку округлюємо до однієї значущої цифри: 0,05 Н (одна значуща цифра — 5). Значення 2,0 Н треба записати до того самого розряду, що й похибка: похибка має дві цифри після коми (0,05), отже значення теж має мати дві цифри після коми — 2,00. Правильний запис: (2,00 ± 0,05) Н. Відносна похибка: ε = 0,05 / 2,0 · 100 % = 2,5 %.

Відповідь: Г) (2,00 ± 0,05) Н, 2,5 %.

Чому інші варіанти неправильні:

• А — похибка взята як ціна поділки (0,1 Н), а не її половина; відносна похибка 5 % відповідає ΔF = 0,1 Н

• Б — зайва цифра в значенні: 2,000 має три знаки після коми, хоча похибка дозволяє лише два

• В — відносна похибка 0,025 % означає, що не помножили на 100 % (0,05 / 2,0 = 0,025, а не 0,025 %)

Приклад 2. Лінійка і довжина бруска

Лінійкою з ціною поділки 1 мм виміряли довжину бруска — 46 мм. Похибку прийміть половиною ціни поділки й округліть до однієї значущої цифри. Який запис результату правильний?

• А) (46 ± 1) мм

• Б) (46,0 ± 0,5) мм

• В) (46,00 ± 0,5) мм

• Г) (46,0 ± 0,05) мм

Розв'язання. Ціна поділки 1 мм, половина — 0,5 мм. Похибка 0,5 мм має одну значущу цифру (5). Значення 46 мм треба записати до того самого розряду, що й похибка: похибка має один знак після коми (0,5), отже значення теж має мати один знак після коми — 46,0. Правильний запис: (46,0 ± 0,5) мм.

Відповідь: Б) (46,0 ± 0,5) мм.

Чому інші варіанти неправильні:

• А — похибка дорівнює ціні поділки (1 мм), а не її половині; крім того, значення 46 не має десятих, а похибка 1 — ціле число, але за умовою похибка має бути 0,5 мм

• В — зайві нулі: 46,00 має два знаки після коми, хоча похибка 0,5 дозволяє лише один

• Г — похибка 0,05 мм не відповідає половині ціни поділки 1 мм (має бути 0,5 мм)

Приклад 3. Яке вимірювання найточніше?

Яке з наведених вимірювань виконане з найбільшою точністю?

• А) (5,00 ± 0,01) м

• Б) (20,0 ± 0,5) мм

• В) (2,0 ± 0,1) Н

• Г) (50 ± 2) г

Розв'язання. Точність порівнюють за відносною похибкою, а не за абсолютною. Обчислимо ε для кожного варіанта:

• А: ε = 0,01 / 5,00 · 100 % = 0,2 %

• Б: ε = 0,5 / 20,0 · 100 % = 2,5 %

• В: ε = 0,1 / 2,0 · 100 % = 5 %

• Г: ε = 2 / 50 · 100 % = 4 %

Найменша відносна похибка — 0,2 % — у варіанта А.

Відповідь: А) (5,00 ± 0,01) м.

Чому інші варіанти неправильні: учень, який порівнює за абсолютною похибкою, міг би обрати Б (найменша абсолютна похибка 0,5 мм), але це хибний підхід. Варіанти В і Г мають більшу відносну похибку (5 % і 4 %), ніж А.

Приклад 4. Похибка непрямого вимірювання густини

Масу тіла виміряли з граничною відносною похибкою 1 %, а об'єм — з похибкою 5 %. Оцініть наближено граничну відносну похибку густини, обчисленої за формулою ρ = m / V.

• А) 4 %

• Б) 5 %

• В) 6 %

• Г) 3 %

Розв'язання. Густина — це частка маси на об'єм. Для частки (як і для добутку) граничну відносну похибку наближено оцінюють сумою відносних похибок окремих величин: ε_ρ ≈ ε_m + ε_V = 1 % + 5 % = 6 %.

Відповідь: В) 6 %.

Чому інші варіанти неправильні:

• А — 4 % виходить, якщо відняти похибки (5 % − 1 %), але для частки похибки додають, а не віднімають

• Б — 5 % — це лише найбільша з похибок (об'єму), але треба враховувати обидві

• Г — 3 % — середнє арифметичне похибок, що не має фізичного сенсу

Розберімо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час роботи з похибками вимірювань. Уникай їх — і твої відповіді будуть точнішими.

• Зайві знаки в результаті. Записувати результат з більшою кількістю знаків, ніж дозволяє прилад, — груба помилка. Наприклад, для динамометра з ціною поділки 0,1 Н запис 2,0473 Н хибний: прилад не дає такої точності. Правильно: (2,00 ± 0,05) Н.

• Автоматичне застосування половини ціни поділки. Не можна щоразу автоматично брати половину або цілу ціну поділки, не перевіривши умову задачі й характеристики приладу. У прикладах цього юніта половину ціни поділки задано явно, але в реальному завданні НМТ оцінка похибки може бути іншою.

• Неправильне обчислення відносної похибки. Дві типові помилки: забути помножити на 100 % (тоді замість 2,5 % отримуєш 0,025) або ділити похибку на ціну поділки замість виміряного значення. Пам'ятай: ε = Δx / |x| · 100 %, де x — виміряне значення, а не ціна поділки.

• Порівняння точності за абсолютною похибкою. Коли порівнюють точність вимірювань різних величин (наприклад, довжини й маси), не можна орієнтуватися на абсолютну похибку. Вимірювання з меншою абсолютною похибкою може мати більшу відносну похибку і бути менш точним. Завжди обчислюй ε.

• Віднімання похибок для частки. Для частки (наприклад, ρ = m / V) деякі учні намагаються віднімати межі відносних похибок: ε_ρ = ε_V − ε_m. Це неправильно. За малих похибок граничну відносну похибку частки наближено оцінюють додаванням: ε_ρ ≈ ε_m + ε_V.

• Різні розряди в значенні й похибці. Запис (23 ± 0,5) мм — помилка: значення 23 не має десятих, а похибка 0,5 має. Правильно: (23,0 ± 0,5) мм. Останній знак значення й останній знак похибки мають стояти в одному розряді.

За пояснювальною запискою програми ЗНО з фізики, одна з цілей навчання — уміти складати план експерименту, користуватися вимірювальними приладами, обробляти результати з урахуванням похибок і робити висновки. Саме тому теми ціна поділки та похибки вимірювань входять до програми.

Серед типів задач, які називає програма, є експериментальні: обробка й аналіз результатів досліду за фото чи схематичним рисунком. Наприклад, тобі можуть показати фотографію лінійки з бруском або динамометра з тягарцем і попросити визначити показання, ціну поділки, а потім — похибку й записати результат.

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року окремого завдання, присвяченого похибкам, немає. Проте дані там подано рисунком або таблицею, і їх треба правильно зчитати. Наприклад:

• завдання № 6 — дані подано психрометричною таблицею (показання вологого термометра дано числом)

• завдання № 17 — положення тягарців і опор треба зчитати зі шкали лінійки на рисунку, а потім застосувати умову рівноваги (правило моментів)

Стратегія виконання

Коли зустрінеш завдання з рисунком вимірювального приладу:

1. Визнач ціну поділки шкали за двома сусідніми оцифрованими позначками й кількістю проміжків між ними.

2. Зніми показання приладу з урахуванням положення стрілки або рівня рідини.

3. Застосуй задану в умові оцінку похибки (у навчальних задачах це часто половина ціни поділки), але завжди перевіряй умову.

4. Запиши результат у формі (x ± Δx) з одиницею, узгодивши розряди.

5. Якщо треба порівняти два результати, врахуй похибки обох. Наприклад, перевір, чи перекриваються інтервали [x₁ − Δx₁; x₁ + Δx₁] та [x₂ − Δx₂; x₂ + Δx₂]. Якщо інтервали перекриваються, результати не суперечать один одному в межах похибки.

• Результат вимірювання завжди записують з оцінкою похибки: x = (x_вим ± Δx) одиниця.

• Половина ціни поділки — задана навчальна модель; повну похибку визначають за умовою, характеристиками приладу й методом.

• Відносна похибка: ε = Δx / |x| · 100 % для x ≠ 0. Точність різних вимірювань порівнюють саме за відносною похибкою.

• Для непрямого вимірювання: малі граничні відносні похибки добутку й частки наближено додають; для суми й різниці додають межі абсолютних похибок.

• Значення округлюють до того самого розряду, що й похибка. Зайві знаки — помилка, вони не додають точності.

• Менша абсолютна похибка не означає точнішого вимірювання — завжди обчислюй відносну похибку.