Медіана, бісектриса й висота трикутника

У будь-якому трикутнику є три особливі відрізки, які відіграють ключову роль у геометричних задачах: медіана, бісектриса та висота. Вони виходять із кожної вершини трикутника, але сполучають її з різними точками на протилежній стороні (або її продовженні).

Медіана трикутника

Медіаною трикутника називають відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони. У трикутнику є три медіани — по одній із кожної вершини. Позначимо вершини трикутника як A, B, C, а середини протилежних сторін — як MBC, MAC, MAB. Тоді медіани — це відрізки AMBC, BMAC, CMAB. Усі три медіани завжди лежать усередині трикутника.

Бісектриса трикутника

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає вершину з точкою на протилежній стороні. Бісектриса ділить кут при вершині на дві рівні частини. У трикутнику також три бісектриси — по одній із кожної вершини. Вони, як і медіани, завжди містяться всередині трикутника. Важливо: бісектриса ділить кут навпіл, але в загальному випадку вона не ділить сторону навпіл.

Висота трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, яка містить протилежну сторону. Зверни увагу: не «на сторону», а «на пряму, що містить сторону». Це важливо для тупокутних трикутників. У трикутнику три висоти. На відміну від медіан і бісектрис, висоти не завжди лежать усередині трикутника: у прямокутному трикутнику дві висоти збігаються з катетами, а в тупокутному дві висоти падають на продовження сторін і лежать поза трикутником.

Де вони збігаються?

У довільному трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, — це різні відрізки. Вони збігаються лише в одному випадку: у рівнобедреному трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені до основи, збігаються. У рівносторонньому трикутнику всі три відрізки з будь-якої вершини збігаються, але це окремий випадок рівнобедреного.

Візуальне порівняння

Одна з найважливіших властивостей медіан — вони перетинаються в одній точці. Цю точку називають центроїдом (або центром мас) трикутника й позначають здебільшого літерою G. Точка перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Це означає, що від вершини до точки G удвічі більша відстань, ніж від точки G до середини сторони.

Як це працює: числовий приклад

Нехай у трикутнику ABC медіана AM дорівнює 12. Позначимо G — точку перетину медіан. Тоді:

• AG (від вершини A до точки G) = 2/3 · 12 = 8

• GM (від точки G до середини сторони) = 1/3 · 12 = 4

• Перевірка: AG + GM = 8 + 4 = 12, і AG : GM = 8 : 4 = 2 : 1

Важливо запам'ятати: більша частина медіани — від вершини до точки перетину, менша — від точки перетину до середини сторони. Відношення 2 : 1 читається як «дві частини до однієї частини», рахуючи від вершини.

Обернені задачі

Властивість працює й у зворотному напрямку. Якщо відомий один відрізок, можна знайти всю медіану:

• GM = 3 → медіана AM = 3 · 3 = 9 (бо GM становить 1/3 медіани)

• AG = 10 → медіана AM = 10 · 3/2 = 15 (бо AG становить 2/3 медіани)

• GM = 5 → AG = 10, медіана = 15

Рівновеликість трикутників, утворених медіаною

Медіана має ще одну важливу властивість: вона ділить трикутник на два трикутники однакової площі (рівновеликі). Чому це так? Медіана сполучає вершину з серединою сторони, тому основи двох утворених трикутників рівні, а висота, опущена з цієї вершини до тієї самої прямої, для обох трикутників спільна. Отже, площі рівні.

Більше того, три медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників. Кожен із цих шести трикутників має однакову площу, що дорівнює 1/6 площі всього трикутника. Це випливає з властивості поділу 2 : 1 та рівності площ, на які медіана ділить трикутник.

Бісектриса трикутника — це не просто лінія, яка ділить кут навпіл. Вона має фундаментальну метричну властивість: бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.

Формулювання властивості

Нехай у трикутнику ABC проведено бісектрису BL, де L — точка на стороні AC (див. рисунок). Тоді справджується пропорція:

AL : LC = AB : BC

Іншими словами, відношення відрізків, на які бісектриса ділить сторону, дорівнює відношенню двох інших сторін трикутника. Зверни увагу: до відрізка AL прилягає сторона AB, а до відрізка LC — сторона BC. Саме тому в пропорції вони стоять парами (AL з AB, LC з BC).

Пряма задача: знайти відрізки

У трикутнику ABC відомо: AB = 6, BC = 9, AC = 10. BL — бісектриса. Знайдіть AL і LC.

За властивістю бісектриси: AL : LC = AB : BC = 6 : 9 = 2 : 3. Нехай AL = 2x, LC = 3x. Тоді AC = AL + LC = 2x + 3x = 5x = 10, звідси x = 2.

• AL = 2 · 2 = 4

• LC = 3 · 2 = 6

Відповідь: AL = 4, LC = 6. Зверни увагу: бісектриса не ділить сторону навпіл (4 ≠ 6), бо AB ≠ BC.

Обернена задача: знайти сторони

У трикутнику ABC бісектриса BL ділить сторону AC на відрізки AL = 3, LC = 5. Сума сторін AB + BC = 24. Знайдіть AB і BC.

За властивістю бісектриси: AB : BC = AL : LC = 3 : 5. Нехай AB = 3k, BC = 5k. Тоді 3k + 5k = 8k = 24, отже k = 3.

• AB = 3 · 3 = 9

• BC = 5 · 3 = 15

Точка перетину бісектрис

Як і медіани, три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яку позначають здебільшого літерою I. Ця точка є центром вписаного кола трикутника. Крім того, існує корисна формула для кута між двома бісектрисами:

∠AIB = 90° + ∠C / 2

де AI та BI — бісектриси кутів A і B відповідно, а ∠C — кут при вершині C. Наприклад, якщо ∠C = 70°, то ∠AIB = 90° + 35° = 125°. Ця формула допомагає в задачах, де дано кут між бісектрисами.

Висоти трикутника мають власну цікаву властивість: усі три висоти (або їхні продовження) перетинаються в одній точці, яку називають ортоцентром. Розташування ортоцентра залежить від виду трикутника.

Ортоцентр у різних трикутниках

• У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника.

• У прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута, бо два катети вже є висотами, опущеними з катетних вершин до прямих, що містять інші катети.

• У тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза трикутником, оскільки дві висоти падають на продовження сторін.

Медіана, проведена до гіпотенузи

Це одна з найкорисніших властивостей прямокутного трикутника: медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. Якщо в прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) провести медіану CM до гіпотенузи AB, то точка M — середина гіпотенузи, і виконується рівність:

CM = AM = BM = AB / 2

Іншими словами, центр описаного кола навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи, а медіана до гіпотенузи — це радіус цього кола.

Числові приклади

Якщо гіпотенуза AB = 26, то медіана CM = 26 / 2 = 13.

Обернене твердження також правильне: якщо в трикутнику медіана, проведена до якоїсь сторони, дорівнює половині цієї сторони, то кут, протилежний цій стороні, — прямий. Це використовують для доведення прямокутності трикутника.

Наслідок: два рівнобедрені трикутники

Оскільки CM = AM = BM, медіана ділить гіпотенузу на два рівні відрізки, і трикутники ACM та BCM є рівнобедреними. Тому кути при основах цих трикутників можна знаходити, не використовуючи тригонометрію.

Наприклад, у трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = 35°. Оскільки CM = AM, трикутник ACM рівнобедрений, отже ∠ACM = ∠A = 35°. Тоді ∠MCB = ∠C − ∠ACM = 90° − 35° = 55°. Це простий спосіб знайти кут між медіаною та катетом.

У цьому розділі ми детально розв'яжемо типові задачі НМТ на медіану, бісектрису й висоту трикутника. Кожна задача має покрокове розв'язання та пояснення помилок.

Приклад 1. Твердження про медіану

Завдання. Які з тверджень правильні для довільного трикутника?

• I) Медіана ділить трикутник на два трикутники однакової площі.

• II) Бісектриса ділить протилежну сторону навпіл.

• III) Точка перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Варіанти відповідей: А лише I; Б лише II; В лише III; Г I і III; Д I, II і III.

Розв'язання. Розглянемо кожне твердження.

• I — ПРАВИЛЬНЕ. Медіана сполучає вершину з серединою протилежної сторони. Два утворені трикутники мають рівні основи й спільну висоту, тому їхні площі рівні.

• II — НЕПРАВИЛЬНЕ. Бісектриса ділить кут навпіл, але в загальному випадку вона не ділить сторону навпіл. Виняток — рівнобедрений трикутник, але в умові сказано «довільний трикутник».

• III — ПРАВИЛЬНЕ. Три медіани перетинаються в точці G, яка ділить кожну у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Відповідь: Г (I і III).

Чому варіант Д (усі три) неправильний? Бо твердження II помилкове для довільного трикутника. Бісектриса ділить сторону навпіл лише в окремому випадку — коли трикутник рівнобедрений або коли всі сторони рівні.

Приклад 2. Довжина відрізка за бісектрисою

Завдання. У трикутнику ABC AB = 8, BC = 12, AC = 15. BL — бісектриса. Знайдіть LC.

Варіанти відповідей: А 6; Б 7,5; В 9; Г 10; Д 12.

Розв'язання. За властивістю бісектриси: AL : LC = AB : BC = 8 : 12 = 2 : 3.

Нехай AL = 2x, LC = 3x. Тоді AC = 2x + 3x = 5x = 15, звідси x = 3.

Отже, LC = 3 · 3 = 9.

Відповідь: В (9).

Розбір дистракторів: А 6 — це AL, а не LC (плутанина з тим, який відрізок знайти). Б 7,5 — поділили AC навпіл (помилково вважають, що бісектриса ділить сторону навпіл). Г 10 — помилка в пропорції. Д 12 — просто взяли BC.

Приклад 3. Медіана та точка перетину медіан

Завдання. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) AB = 24. CM — медіана, G — точка перетину медіан. Установіть відповідність між відрізком (1 — CM, 2 — CG, 3 — GM) і його довжиною (А 4, Б 6, В 8, Г 12, Д 24).

Розв'язання. Оскільки трикутник прямокутний, медіана до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи: CM = AB / 2 = 24 / 2 = 12. Отже, 1 — Г (12).

Точка перетину медіан G ділить медіану CM у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини C. Тому CG = (2/3) · CM = (2/3) · 12 = 8. Отже, 2 — В (8).

GM = (1/3) · CM = (1/3) · 12 = 4. Отже, 3 — А (4).

Відповідь: 1–Г, 2–В, 3–А.

Зверни увагу: помилка в першому кроці (наприклад, обрали Д 24 як довжину медіани) призведе до помилкових відповідей для CG і GM. Саме тому в завданнях «логічні пари» на НМТ перший крок особливо важливий.

Приклад 4. Кут між медіаною та катетом

Завдання. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = 28°. CM — медіана до гіпотенузи. Знайдіть ∠BMC.

Варіанти відповідей: А 28°; Б 56°; В 62°; Г 90°; Д 124°.

Розв'язання. У прямокутному трикутнику медіана до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи, тому CM = AM = BM. Трикутник AMC — рівнобедрений (CM = AM), отже ∠ACM = ∠A = 28°.

Кут ∠BMC є зовнішнім кутом трикутника AMC при вершині M. Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним: ∠BMC = ∠A + ∠ACM = 28° + 28° = 56°.

Відповідь: Б (56°).

Розбір дистракторів: А 28° — узяли ∠A замість шуканого кута. В 62° — 90° − 28° = 62° (помилково використали катет як гіпотенузу). Г 90° — вважали, що BMC — прямий кут. Д 124° — 180° − 56° = 124° (знайшли суміжний кут до зовнішнього, а не сам зовнішній).

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні в задачах на медіану, бісектрису й висоту трикутника. Уникай їх — і твій результат на НМТ буде вищим.

• Помилка: вважають, що медіана ділить кут навпіл, а бісектриса — сторону навпіл. Насправді медіана йде до середини сторони, бісектриса ділить кут навпіл. У загальному випадку ці відрізки не збігаються. Запам'ятай: медіана — до середини, бісектриса — бісектриса кута.

• Помилка: відраховують відношення 2 : 1 від сторони, а не від вершини. Наприклад, якщо медіана дорівнює 12, то AG = 4, GM = 8 — це неправильно. Правильно: від вершини більша частина: AG = 8, GM = 4. Відношення 2 : 1 рахується від вершини.

• Помилка: у властивості бісектриси плутають сторони в пропорції. Пишуть AL : LC = BC : AB, а треба AL : LC = AB : BC. До відрізка AL прилягає сторона AB, до LC — сторона BC. Складай пропорцію за сусідством.

• Помилка: проводять висоту тупокутного трикутника всередині трикутника. У тупокутному трикутнику висоти з вершин гострих кутів падають на продовження протилежних сторін, тобто лежать поза трикутником. Малюй продовження сторони та перпендикуляр до нього.

• Помилка: застосовують властивість «медіана дорівнює половині сторони» до медіани, проведеної до катета. Ця властивість працює лише для медіани, проведеної до гіпотенузи прямокутного трикутника. Для медіани до катета вона не виконується.

• Помилка: вважають, що в будь-якому трикутнику точки перетину медіан, бісектрис і висот збігаються. Це правда лише для рівностороннього трикутника. У довільному трикутнику ці три точки різні. Вони збігаються тільки для основи рівнобедреного трикутника (медіана = бісектриса = висота).

Медіана, бісектриса й висота трикутника та їхні властивості — це зміст теми 5.3 програми рівня стандарту з математики для НМТ. Ця тема регулярно з'являється в завданнях, і важливо знати, у якому форматі її перевіряють.

Формат завдань

• Завдання 10 — вибір однієї відповіді з п'яти (0 або 1 бал). У демоваріанті НМТ-2026 це завдання перевіряло властивості медіани трикутника у формі тверджень І–ІІІ: потрібно визначити, які з трьох тверджень правильні, й обрати комбінацію (лише I, лише II, лише III, I і II, I і III тощо).

• Завдання 16–18 — логічні пари (відповідність). У демоваріанті НМТ-2026 завдання 18 з геометрії — це три пов'язані обчислення (1–3 → А–Д). Помилка в першому кроці тягне за собою й інші, тому дій дуже уважно.

Що треба знати напам'ять

Важливо: властивостей медіан і бісектриси в довідкових матеріалах НМТ немає. Відношення 2 : 1 (точка перетину медіан) і пропорцію бісектриси доведеться пам'ятати. Також у довідці є тільки базові формули площ, тому властивість медіани ділити трикутник на дві рівновеликі частини — це знання, а не довідка.

Стратегія розв'язування

• Для завдань з твердженнями: перевіряй кожне твердження окремо. Шукай контрприклад для хибних тверджень.

• Для логічних пар: обчислюй перший елемент найретельніше — від нього залежить все інше.

• Для обчислень: коли бачиш медіану в прямокутному трикутнику, одразу згадуй: медіана = половина гіпотенузи.

• Час: на всю частину з математики орієнтовно відведено 60 хвилин на 22 завдання — у середньому менш ніж 3 хвилини на завдання. Якщо задача не піддається, залиш її й повернися пізніше.

Тут зібрані відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення медіани, бісектриси й висоти трикутника.

• Медіана йде до середини сторони, бісектриса ділить кут навпіл, висота перпендикулярна до прямої, що містить сторону.

• Медіани трикутника перетинаються в одній точці G, яка ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини (більша частина — біля вершини).

• Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники (однакової площі). Три медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників.

• Бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: AL : LC = AB : BC.

• Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи: CM = AB / 2.

• У тупокутному трикутнику дві висоти (з вершин гострих кутів) лежать поза трикутником.

• У довільному трикутнику медіана, бісектриса й висота з однієї вершини — різні відрізки. Вони збігаються лише для основи рівнобедреного трикутника.