Глосарій

Промінь, що виходить з вершини кута й ділить його на два рівні кути. Кожна половина дорівнює половині градусної міри кута.

Відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає вершину з точкою на протилежній стороні. Бісектриса ділить кут навпіл, а протилежну сторону — на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам (AL : LC = AB : BC).

Кожна з двох рівних сторін рівнобедреного трикутника. Бічні сторони мають спільний кінець — вершину трикутника.

Кути, у яких сторони одного є доповняльними променями сторін другого. Утворюються при перетині двох прямих. Вертикальні кути рівні.

Перпендикуляр, опущений із вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону. У трикутнику три висоти. У тупокутному трикутнику дві висоти лежать поза ним, у прямокутному дві висоти збігаються з катетами.

Частка від ділення довжини одного відрізка на довжину іншого, записана як a : b (або a/b). У контексті теореми Фалеса показує, у скільки разів один відрізок більший або менший за інший на тій самій стороні кута.

Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: S₁ / S₂ = k².

Пари кутів, однаково розташованих відносно своєї прямої й січної. Наприклад, обидва лежать зверху від своєї прямої й ліворуч від січної. При паралельних прямих відповідні кути рівні.

Довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму. Відстань завжди вимірюють по перпендикуляру, тому що він найкоротший серед усіх відрізків, що сполучають точку з прямою.

Довжина спільного перпендикуляра до двох паралельних прямих. Усі точки однієї з паралельних прямих рівновіддалені від другої, тому відстань між прямими скрізь однакова. У паралелограмі й трапеції ця відстань збігається з висотою.

Пари кутів, що лежать між двома прямими (внутрішня область) і по один бік від січної. При паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Пари кутів, що лежать між двома прямими (внутрішня область) і по різні боки від січної. При паралельних прямих внутрішні різносторонні кути рівні.

Коло, яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника. У будь-який трикутник можна вписати рівно одне коло.

Найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута.

Трикутник, у якого всі три кути гострі (менші за 90°).

Якщо сторона одного трикутника дорівнює стороні іншого трикутника, а кути, прилеглі до цієї сторони, відповідно рівні, то такі трикутники рівні (КСК).

Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5 — найвідоміша піфагорова трійка. Назва пов'язана з переказом, що давні єгиптяни будували за ним прямі кути на місцевості.

Кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника, утворений продовженням однієї зі сторін. Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Сторона прямокутного трикутника, що утворює прямий кут. У прямокутному трикутнику два катети; вони менші за гіпотенузу.

Число k, яке дорівнює відношенню довжин відповідних сторін подібних трикутників. Якщо k = 1, трикутники рівні.

Для гострого кута α прямокутного трикутника косинус — це відношення прилеглого катета до гіпотенузи: cos α = b / c, де b — прилеглий катет, c — гіпотенуза. Значення залежить лише від кута і для гострого кута завжди менше за 1.

Косинус кута, більшого за 90° і меншого за 180°, завжди від'ємний. Знаходиться за формулою зведення cos(180° − α) = −cos α: cos 120° = −1/2, cos 135° = −√2/2, cos 150° = −√3/2.

Геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами), що виходять з однієї точки (вершини). Позначають ∠AOB або ∠O.

Кут, утворений двома сторонами трикутника, які виходять з однієї вершини. У теоремі косинусів кут C має лежати саме між сторонами a і b, щоб формула c² = a² + b² − 2ab · cos C була правильною.

Відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. У трикутнику три медіани, які перетинаються в одній точці G (центроїд), що ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Властивість: кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін. Для перевірки достатньо порівняти найбільшу сторону з сумою двох менших.

Твердження: якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то трикутник прямокутний, і прямий кут лежить проти найбільшої сторони.

Твердження, обернене до властивості: дві прямі паралельні, якщо при січній відповідні кути рівні, або внутрішні різносторонні кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Три теореми, які дозволяють встановити подібність трикутників: за двома кутами; за двома пропорційними сторонами й кутом між ними; за трьома пропорційними сторонами.

Прямокутні трикутники рівні за двома катетами; за катетом і прилеглим гострим кутом; за катетом і протилежним гострим кутом; за гіпотенузою й гострим кутом; за гіпотенузою й катетом.

Коло, яке проходить через усі три вершини трикутника. Навколо будь-якого трикутника можна описати рівно одне коло.

Третя сторона рівнобедреного трикутника (не бічна); лежить навпроти вершини. Кути при основі рівні між собою.

Дві прямі на площині, які не перетинаються, називають паралельними. Позначення: a ∥ b.

Сума довжин усіх трьох сторін трикутника. Позначають латинською літерою P, вимірюють в одиницях довжини (см, м, мм тощо).

Відрізок з точки до прямої, перпендикулярний до неї. З точки поза прямою можна провести лише один перпендикуляр до цієї прямої. Довжина перпендикуляра — це відстань від точки до прямої.

Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом (90°). Позначають a ⊥ b.

Якщо дві сторони одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники рівні (СУС).

Половина периметра трикутника: p = (a + b + c) / 2. Використовується у формулі Герона для обчислення площі за трьома сторонами.

Три натуральні числа a, b, c, що задовольняють рівність a² + b² = c² (наприклад, 3, 4, 5 або 5, 12, 13). Такі трійки відповідають сторонам прямокутного трикутника.

Числова характеристика трикутника, що показує, скільки місця він займає на площині. Обчислюється за однією з формул залежно від відомих елементів: S = a · h / 2, S = ab sin C / 2, формула Герона, а для прямокутного — половина добутку катетів.

Два трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Записують як △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Розбиття відрізка на дві частини, довжини яких співвідносяться як m : n. Перша частина дорівнює m/(m + n) цілого, друга — n/(m + n) цілого.

Відрізок від точки до прямої, який не є перпендикуляром до неї. Похила завжди довша за перпендикуляр, проведений з тієї самої точки, і є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного з перпендикуляром і проєкцією.

У прямокутному трикутнику для даного гострого кута прилеглим називають катет, що виходить з вершини цього кута (одна зі сторін кута, крім гіпотенузи). Він використовується в чисельнику косинуса й у знаменнику тангенса.

Відрізок гіпотенузи, що прилягає до даного катета прямокутного трикутника, утворений проведенням висоти з вершини прямого кута. Позначають a_c і b_c.

Відрізок на прямій між основою перпендикуляра й основою похилої. Проєкція завжди лежить на прямій і є катетом прямокутного трикутника, де похила — гіпотенуза, а перпендикуляр — другий катет.

Відрізки, довжини яких утворюють пропорцію: a : b = c : d, де a, b — відрізки однієї сторони кута, а c, d — відповідні відрізки другої сторони, відтяті паралельними прямими.

У прямокутному трикутнику для даного гострого кута протилежним називають катет, що лежить навпроти цього кута (не дотикається до вершини цього кута). Саме він використовується в чисельнику синуса й тангенса.

Трикутник, у якого один кут прямий (90°). Сторони, що утворюють прямий кут, називають катетами, а сторону, протилежну прямому куту, — гіпотенузою.

Відстань від центра вписаного кола (точки перетину бісектрис) до кожної сторони трикутника. Обчислюється за формулою r = S / p, де S — площа трикутника, p — півпериметр.

Радіус кола, яке проходить через усі три вершини трикутника. Позначається R. Через теорему синусів: R = a / (2 sin A), де a — сторона, A — протилежний їй кут.

Трикутники, які можна сумістити накладанням; у них відповідні сторони й відповідні кути попарно рівні.

Трикутник, у якого дві сторони рівні. Рівні сторони називають бічними, а третю — основою. Вершина — спільний кінець бічних сторін.

Трикутники, які мають однакову площу. Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники, а три медіани — на шість рівновеликих трикутників.

Трикутник, у якого всі три сторони рівні. Окремий випадок рівнобедреного трикутника. Усі кути дорівнюють 60°, кожна медіана є бісектрисою й висотою.

Трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину. Жодні дві сторони не рівні між собою.

Знаходження невідомих сторін, кутів, радіусів описаного й вписаного кіл трикутника за відомими елементами за допомогою теорем синусів і косинусів.

Кут, сторони якого є доповняльними променями (лежать на одній прямій і направлені в протилежні боки). Його градусна міра дорівнює 180°.

Точка на відрізку, яка ділить його на дві рівні частини. Якщо M — середина AB, то AM = MB = AB / 2.

Пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього. Кожна точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка, і навпаки — будь-яка точка, рівновіддалена від кінців, лежить на серединному перпендикулярі.

Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника. Вона паралельна третій стороні й дорівнює її половині. У трикутника три середні лінії.

Для гострого кута α прямокутного трикутника синус — це відношення протилежного катета до гіпотенузи: sin α = a / c, де a — протилежний катет, c — гіпотенуза. Значення залежить лише від кута, а не від розмірів трикутника, і для гострого кута завжди менше за 1.

Синус кута, більшого за 90° і меншого за 180°, обчислюють за формулою зведення sin(180° − α) = sin α, де α — доповнення до 180°. Для кутів трикутника синус завжди додатний.

Пряма, яка перетинає дві інші прямі (кожну в одній точці); при цьому утворюється вісім кутів. Січна кола — пряма, яка перетинає коло у двох точках; відстань від центра кола до неї менша за радіус (d < R).

Два кути, в яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями (разом утворюють пряму). Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Для гострого кута α прямокутного трикутника тангенс — це відношення протилежного катета до прилеглого: tg α = a / b. Тангенс також дорівнює sin α / cos α. На відміну від синуса й косинуса, тангенс гострого кута може бути будь-яким додатним числом.

Формула, що пов'язує сторони й кути довільного трикутника: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними (c² = a² + b² − 2ab · cos C). Узагальнює теорему Піфагора на будь-які трикутники.

Основна теорема геометрії: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (c² = a² + b²).

Для будь-якого трикутника зі сторонами a, b, c і протилежними кутами A, B, C виконується: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, де R — радіус описаного кола.

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій стороні.

Точка G, у якій перетинаються всі три медіани трикутника. Її називають також центроїдом або центром мас трикутника. Вона ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (ССС).

Трикутник, у якого один кут тупий (більший за 90°). Два інші кути обов'язково гострі.

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторонах пропорційні відрізки: відношення двох відрізків однієї сторони дорівнює відношенню відповідних відрізків другої сторони.

Формула для обчислення площі трикутника за трьома сторонами a, b, c: S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), де p — півпериметр.

Точка перетину бісектрис трикутника; рівновіддалена від усіх сторін (відстань дорівнює радіусу вписаного кола r). Завжди лежить усередині трикутника.

Точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника; рівновіддалена від усіх вершин (OA = OB = OC = R). Залежно від виду трикутника може лежати всередині, на гіпотенузі або поза трикутником.