Тиск рідини на дно і стінки посудини

Уяви, що ти пірнаєш у басейн. Що глибше ти занурюєшся, то сильніше відчуваєш тиск води на барабанні перетинки. Це і є гідростатичний тиск — тиск, який створює нерухома рідина завдяки власній вазі. Його обчислюють за простою, але дуже важливою формулою.

Гідростатичний тиск нерухомої рідини на глибині h визначається як p = ρ·g·h, де:

• ρ (ро) — густина рідини, кг/м³;

• g — прискорення вільного падіння, м/с² (зазвичай 10 м/с² або 9,8 м/с² — значення дає умова задачі);

• h — глибина, відрахована від вільної поверхні рідини, м.

Одиниця гідростатичного тиску — паскаль (Па). На практиці часто вживають кПа (1 кПа = 1000 Па) та МПа (1 МПа = 1 000 000 Па).

Від чого залежить і від чого не залежить гідростатичний тиск

Тиск рідини зростає лінійно з глибиною: що глибше, то більший тиск. На одній і тій самій глибині тиск однаковий в усіх напрямках — і на дно, і на стінки, і вгору. Це прямий наслідок закону Паскаля.

Найдивовижніше: гідростатичний тиск не залежить від форми посудини, площі її дна та загальної маси (кількості) рідини. Це явище називають гідростатичним парадоксом. Якщо взяти бочку й приєднати до неї тонку високу трубку, то тиск на дно бочки визначатиметься лише висотою стовпа рідини в трубці, а не діаметром бочки. Саме так свого часу Паскаль продемонстрував, що наливання води в тонку трубку заввишки кілька метрів може розірвати міцну бочку.

Густини поширених рідин

У задачах НМТ густини рідин зазвичай наводять в умові. Ось типові значення, які варто пам'ятати:

Орієнтовні значення тиску

Якщо взяти g = 10 м/с², то на глибині 10 м у прісній воді гідростатичний тиск становить:

p = 1000 кг/м³ · 10 м/с² · 10 м = 100 000 Па = 100 кПа.

Це приблизно дорівнює нормальному атмосферному тискові. Тож на глибині 10 м повний тиск (з урахуванням атмосфери) сягає близько 200 кПа.

Глибину відраховуємо від вільної поверхні

Найпоширеніша помилка — відраховувати глибину від дна посудини. Запам'ятай: h у формулі p = ρgh — це відстань по вертикалі від вільної поверхні рідини до точки, де визначають тиск. Якщо посудина заповнена не повністю, глибина дорівнює рівневі рідини, а не висоті посудини.

У попередньому розділі ми розглянули гідростатичний тиск, який створює сама рідина. Однак на практиці рідина майже завжди межує з атмосферою, тому на вільну поверхню діє атмосферний тиск. Повний тиск на глибині — це сума атмосферного тиску на поверхні й гідростатичного тиску стовпа рідини.

Повний (абсолютний) тиск

Повний тиск на глибині h обчислюють за формулою:

p = p₀ + ρgh

де p₀ — тиск на вільній поверхні рідини. Якщо поверхня відкрита в атмосферу, то p₀ — атмосферний тиск (близько 100 кПа). Гідростатичний тиск ρgh у цьому контексті називають надлишковим — це тиск, який перевищує атмосферний.

Приклад: водолаз занурився на глибину 30 м у прісній воді. Гідростатичний (надлишковий) тиск: ρgh = 1000 · 10 · 30 = 300 000 Па = 300 кПа. Повний тиск: p = 100 кПа + 300 кПа = 400 кПа. Саме цей тиск відчуває водолаз.

Сила тиску рідини на дно

Сила, з якою рідина тисне на дно посудини, обчислюється як добуток тиску на площу дна:

F = p · S = ρgh · S

Тут важливо розрізняти два поняття:

• тиск на дно — залежить лише від висоти стовпа рідини й не залежить від форми посудини;

• сила тиску на дно — залежить і від тиску, і від площі дна.

Сила тиску на дно дорівнює вазі рідини лише в посудині з прямими вертикальними стінками (циліндричній). У посудинах іншої форми сила на дно відрізняється від ваги рідини:

• у посудині, розширеній догори, сила на дно менша за вагу рідини (частина ваги припадає на похилі стінки);

• у посудині, звуженій догори, сила на дно більша за вагу рідини (стінки передають додаткову силу на дно).

Тиск на стінки посудини

Тиск рідини на вертикальну стінку змінюється з глибиною: біля вільної поверхні він дорівнює нулю, а біля дна досягає максимального значення ρgh. Для прямокутної стінки заввишки h середній тиск дорівнює половині максимального:

p_сер = ρgh / 2

Тому сила тиску на прямокутну стінку:

F = p_сер · S = ρgh · S / 2

Саме через зростання тиску з глибиною греблі роблять товстішими знизу — нижня частина має витримувати значно більший тиск, ніж верхня.

Числові приклади

Розгляньмо бак із водою висотою 2 м. Гідростатичний тиск на дно: p = 1000 · 10 · 2 = 20 000 Па = 20 кПа. Якщо площа дна бака 0,5 м², то сила тиску на дно: F = 20 000 · 0,5 = 10 000 Н = 10 кН.

Для прямокутної стінки бака завширшки 1 м (площа стінки S = 2 м · 1 м = 2 м²) сила тиску на стінку: F = 1000 · 10 · 2 · 2 / 2 = 20 000 Н = 20 кН.

Сполучені посудини — це дві або більше посудини, з'єднані між собою так, що рідина може вільно перетікати з однієї в іншу. Найпростіший приклад — U-подібна трубка. Властивості сполучених посудин широко використовують у техніці й побуті.

Однорідна рідина: однаковий рівень

Якщо в сполучені посудини налито одну й ту саму рідину, то вона встановлюється на однаковому рівні в усіх посудинах — незалежно від їхньої форми, об'єму чи площі поперечного перерізу. Чому так? Бо тиск на одній горизонталі всередині рідини має бути однаковим. Якщо рівні відрізняються, то в нижчому коліні тиск більший, і рідина перетікатиме, доки рівні не зрівняються.

Саме тому в чайнику носик і основний резервуар — це сполучені посудини, і рівень води в носику завжди збігається з рівнем у самому чайнику. Так само працює водомірне скло на паровому котлі: скляна трубка показує справжній рівень води всередині.

Різні рідини: обернена пропорційність густинам

Коли в сполучені посудини наливають дві незмішувані рідини з різними густинами, вони встановлюються на різних рівнях. Умова рівноваги: тиск на одній горизонталі (на рівні межі поділу) має бути однаковим з обох боків. Звідси випливає співвідношення:

ρ₁ · h₁ = ρ₂ · h₂

або h₁ / h₂ = ρ₂ / ρ₁. Тут h₁ і h₂ — висоти стовпів рідин над межею поділу. Густіша рідина (більша ρ) утворює нижчий стовп, а легша — вищий.

Приклад: у U-подібну трубку налили воду, а в праве коліно — гас густиною 800 кг/м³ заввишки 10 см. Якої висоти буде стовп води над межею поділу? За умовою ρ_води · h_води = ρ_гасу · h_гасу, тобто 1000 · h_води = 800 · 10 → h_води = 8 см. Вода стоїть на 8 см над межею поділу.

Застосування сполучених посудин

Властивості сполучених посудин використовують у багатьох пристроях:

• Шлюз на річках — камера з воротами, яка дає змогу суднам долати перепади рівнів води. Коли судно заходить у шлюз, воду напускають або спускають, і рівень у камері зрівнюється з рівнем наступного плеса.

• Водопровід із водонапірною баштою — башту будують високо, щоб створити достатній гідростатичний тиск у трубах. Чим вища башта, тим більший тиск і тим вище може підніматися вода в будинках.

• Рідинний манометр — U-подібна трубка з рідиною, яка вимірює різницю тисків за різницею рівнів: Δp = ρgΔh.

• Артезіанські свердловини — вода під тиском піднімається з глибоких шарів, бо водоносний горизонт і гирло свердловини утворюють сполучені посудини.

Приклад 1. Тиск води на дні басейну

Завдання: Знайди гідростатичний тиск води на дні басейну завглибшки 3 м. Тиск на поверхні не враховуй. Густина води ρ = 1000 кг/м³, g = 10 м/с². Відповідь подай у кПа.

Розв'язання:

Глибина h = 3 м. Гідростатичний тиск: p = ρgh = 1000 · 10 · 3 = 30 000 Па.

Переводимо в кПа: 30 000 Па = 30 кПа.

Відповідь: 30 кПа.

Чому не 3? Бо 1000 · 10 · 3 = 30 000, а не 3000. Чому не 300? Бо 30 000 Па = 30 кПа, а не 300 кПа. Типова помилка — забути, що 1 кПа = 1000 Па.

Приклад 2. Три посудини різної форми

Завдання: Три посудини різної форми (циліндрична, розширена догори, звужена догори) мають однакову висоту стовпа води. Площа дна в усіх посудин також однакова. Яке твердження правильне?

• А) Тиск на дно й сила тиску на дно однакові в усіх посудинах.

• Б) Тиск на дно однаковий, а сила тиску на дно найбільша в циліндричній посудині.

• В) Тиск на дно однаковий, а сила тиску на дно залежить від форми посудини.

• Г) І тиск, і сила тиску на дно різні в усіх посудинах.

Розв'язання: Тиск на дно залежить лише від висоти стовпа рідини p = ρgh. Оскільки висота однакова, тиск однаковий. Сила тиску F = pS залежить від площі дна. Площа дна однакова, тому сила тиску також однакова. Правильна відповідь — А.

Чому не В? Бо сила тиску на дно залежить від площі дна, а не від форми. Форма впливає на те, чи дорівнює сила вазі рідини, але сама сила на дно визначається лише тиском і площею дна.

Приклад 3. Сполучені посудини з водою й гасом

Завдання: У сполучені посудини налито воду й гас. Висота стовпа гасу над межею поділу становить 25 см. Густина гасу ρ = 800 кг/м³, густина води 1000 кг/м³. Знайди висоту стовпа води над межею поділу в сантиметрах.

Розв'язання: За умовою рівноваги ρ_води · h_води = ρ_гасу · h_гасу.

1000 · h_води = 800 · 25

h_води = (800 · 25) / 1000 = 20 000 / 1000 = 20 см.

Відповідь: 20 см.

Чому не 31,25? Бо 800 · 25 / 1000 = 20, а не 31,25. 31,25 вийшло б, якби помилково взяти h_води = (1000 · 25) / 800 = 31,25 — це обернена пропорція (плутанина з тим, що густіша рідина дає нижчий стовп).

Приклад 4. Сила тиску на дно бака

Завдання: Площа дна бака 0,4 м², рівень води в баку 1,5 м. Густина води 1000 кг/м³, g = 10 м/с². Знайди силу гідростатичного тиску води на дно в кН.

Розв'язання: Гідростатичний тиск на дно: p = ρgh = 1000 · 10 · 1,5 = 15 000 Па.

Сила тиску: F = p · S = 15 000 · 0,4 = 6000 Н = 6 кН.

Відповідь: 6 кН.

Чому не 60? Бо 15 000 · 0,4 = 6000 Н = 6 кН, а не 60 кН. Помилка виникає, коли забувають перевести паскалі в кПа або ньютони в кН.

• Відраховувати глибину від дна, а не від вільної поверхні. У формулі p = ρgh глибина h — це відстань по вертикалі від вільної поверхні рідини до точки, де визначають тиск. Якщо посудина заповнена не до краю, глибина менша за висоту посудини. Завжди питай себе: «Звідки відраховую?»

• Вважати, що тиск залежить від форми посудини чи маси рідини. Гідростатичний тиск визначається лише густиною рідини, прискоренням g і глибиною. Форма, об'єм, маса рідини не впливають. Це гідростатичний парадокс.

• Плутати тиск і силу тиску на дно. Тиск p = ρgh однаковий для всіх посудин з однаковою висотою стовпа. Сила F = pS залежить від площі дна. У посудинах різної форми з однаковою площею дна сила однакова, але вона може відрізнятися від ваги рідини.

• У сполучених посудинах з різними рідинами порівнювати висоти пропорційно, а не обернено пропорційно густинам. Правильне співвідношення: ρ₁h₁ = ρ₂h₂, тобто h₁/h₂ = ρ₂/ρ₁. Густіша рідина дає нижчий стовп. Легша рідина — вищий стовп.

• Не додавати атмосферний тиск, коли питають повний тиск. Якщо в задачі запитують повний тиск на глибині, а рідина відкрита в атмосферу, обов'язково додавай p₀ = 100 кПа. Гідростатичний тиск ρgh — це лише надлишковий тиск.

Формула гідростатичного тиску p = ρgh входить до довідкових матеріалів НМТ (розділ «Елементи механіки рідин та газів»). Густини рідин і значення прискорення вільного падіння g завжди наводять в умові задачі — запам'ятовувати їх не потрібно, але корисно орієнтуватися в типових значеннях.

Програма НМТ з фізики (тема 1.4 «Елементи механіки рідин та газів») вимагає:

• обчислювати тиск нерухомої рідини на дно й стінки посудини;

• пояснювати дію сполучених посудин, водопроводу, шлюзу.

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року завдання з теми 1.4 не було представлено, але це не означає, що тема не з'явиться в наступних варіантах. Готуватися треба до всіх тем програми.

Типові формати завдань:

• Завдання з вибором однієї правильної відповіді (№ 1–14, 0 або 1 бал) — перевіряють розуміння залежності тиску від глибини, гідростатичного парадоксу, сполучених посудин.

• Завдання на встановлення відповідності (№ 15–16, 0–3 бали) — наприклад, поєднати прилад або пристрій із фізичним явищем, на якому ґрунтується його дія.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22, 0 або 2 бали) — числова відповідь в указаній одиниці. Перевіряють уміння обчислювати p = ρgh, силу F = pS, висоту стовпа в сполучених посудинах.

У завданнях з короткою відповіддю звертай увагу на префікси: кПа (10³ Па), МПа (10⁶ Па), см (10⁻² м). Відповідь має бути саме в тій одиниці, яку вимагає умова. Наприклад, якщо питають у кПа, а ти вирахував 30 000 Па, запиши 30.

• Гідростатичний тиск: p = ρgh. Глибину h завжди відраховують від вільної поверхні рідини. Форма посудини, площа дна й маса рідини не впливають на тиск.

• Повний тиск на глибині: p = p₀ + ρgh, де p₀ — тиск на вільній поверхні (зазвичай атмосферний). Сила тиску на дно: F = pS = ρgh·S.

• Тиск на вертикальну стінку зростає лінійно з глибиною. Середній тиск на прямокутну стінку ρgh/2, тому сила тиску F = ρgh·S/2.

• Однорідна рідина в сполучених посудинах встановлюється на одному рівні незалежно від форми посудин.

• Різні незмішувані рідини в сполучених посудинах: ρ₁h₁ = ρ₂h₂. Густіша рідина утворює нижчий стовп.

• Сполучені посудини пояснюють роботу шлюзу, водонапірної башти, рідинного манометра, водомірного скла, чайника.