Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних

Розгляньмо рівняння, які містять лише одну тригонометричну функцію в другому степені та в першому, — наприклад $a{\sin }^{2}x+b\sin x+c=0$ або $a{\cos }^{2}x+b\cos x+c=0$. Таке рівняння нагадує звичайне квадратне $a{t}^2+bt+c=0$, тільки замість $t$ стоїть $\sin x$ або $\cos x$.

Тому природно ввести заміну: $t=\sin x$ (або $t=\cos x$). Після цього отримуємо квадратне рівняння відносно $t$. Але треба пам'ятати: синус і косинус набувають значень лише від $-1$ до $1$ включно. Отже, корені квадратного рівняння, які за модулем перевищують $1$, не дадуть жодного розв'язку вихідного рівняння — їх треба відкинути.

Приклад 1: рівняння з синусом

Розв'яжімо $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$.

Заміна $t=\sin x$, $-1\le t\le 1$. Дістаємо $2t^2-t-1=0$. Дискримінант $D=1+8=9$, $t_1=\frac{1+3}{4}=1$, $t_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$. Обидва значення лежать у межах $[-1;1]$, тому повертаємося до $x$:

$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

$\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Відповідь — об'єднання двох серій: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k$, $n,k\in \mathbb{Z}$.

Приклад 2: рівняння з косинусом

Розв'яжімо $2{\cos }^{2}x+3\cos x-2=0$.

Заміна $t=\cos x$, $-1\le t\le 1$. $2t^2+3t-2=0$, дискримінант $D=9+16=25$, $t_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$, $t_2=\frac{-3-5}{4}=-2$.

Значення $t_2=-2$ за модулем більше за $1$ — відкидаємо. Залишається $\cos x=\frac{1}{2}$, звідки $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Особливість для тангенса

Коли заміну роблять для $t=\mathrm{tg}x$, обмеження $|t|\le 1$ не діє — тангенс набуває будь-яких дійсних значень. Наприклад, ${\mathrm{tg}}^{2}x-3=0$: $\mathrm{tg}x=\pm \sqrt{3}$, обидва значення допустимі, $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Порада: для різних серій розв'язків зручно брати різні літери цілих чисел ($n$, $k$, $m$ тощо), щоб підкреслити, що цілі числа в кожній серії змінюються незалежно.

Часто в рівнянні одночасно присутні ${\sin }^{2}x$ і $\cos x$ (або ${\cos }^{2}x$ і $\sin x$). Тоді не можна відразу робити заміну — спершу треба звести все до однієї функції. Для цього використовують основну тригонометричну тотожність ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Якщо в рівнянні є ${\sin }^{2}x$ і $\cos x$ — замінюємо ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Якщо є ${\cos }^{2}x$ і $\sin x$ — замінюємо ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Після цього рівняння стає квадратним відносно відповідної функції.

Приклад 1: ${\sin }^{2}x$ і $\cos x$

Розв'яжімо $2{\sin }^{2}x+3\cos x-3=0$.

Замінюємо ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$2(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x-3=0\Rightarrow 2-2{\cos }^{2}x+3\cos x-3=0\Rightarrow 2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$.

Заміна $t=\cos x$, $-1\le t\le 1$: $2t^2-3t+1=0$, дискримінант $D=9-8=1$, $t_1=\frac{3+1}{4}=1$, $t_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$.

$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Формула косинуса подвійного кута

У довідкових матеріалах НМТ подано формулу $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$. З неї за допомогою основної тотожності можна отримати ще дві форми:

• $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ — коли в рівнянні переважають синуси;

• $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ — коли в рівнянні переважають косинуси;

• $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ — базовий запис, який рідше застосовують для зведення до однієї функції.

Вибирай ту форму, після якої в рівнянні лишається лише одна тригонометрична функція.

Приклад 2: $\cos 2x$ зводимо до $\sin x$

Розв'яжімо $\cos 2x+3\sin x-2=0$.

Тут є $\sin x$, тому використаємо формулу $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$:

$1-2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$.

Заміна $t=\sin x$: $2t^2-3t+1=0$, звідки $t=1$ або $t=\frac{1}{2}$.

$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$.

$\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$.

Приклад 3: $\cos 2x=\cos x$

Розв'яжімо $\cos 2x=\cos x$.

Тут ліворуч $\cos 2x$, праворуч $\cos x$ — використовуємо формулу $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:

$2{\cos }^{2}x-1=\cos x\Rightarrow 2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$.

Заміна $t=\cos x$, $2t^2-t-1=0$, $t_1=1$, $t_2=-\frac{1}{2}$.

$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$.

$\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$.

Окремий клас — однорідні тригонометричні рівняння, у яких кожен доданок має однаковий степінь. Розгляньмо спочатку однорідне рівняння першого степеня $a\sin x+b\cos x=0$ ($a\ne 0$).

Чи може $x$ бути таким, що $\cos x=0$? Якби $\cos x=0$, то з рівняння випливало б $a\sin x=0$, тобто $\sin x=0$. Але одночасно $\sin x=0$ і $\cos x=0$ неможливо, бо тоді порушувалася б основна тотожність ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Отже, жоден розв'язок не має $\cos x=0$, тому обидві частини можна безпечно поділити на $\cos x$.

Після ділення отримуємо $\frac{a\sin x}{\cos x}+b=0$, тобто $a\mathrm{tg}x+b=0$ — найпростіше рівняння відносно $\mathrm{tg}x$. Наприклад, $\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$. Ділимо на $\cos x$: $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$, звідки $x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Однорідне рівняння другого степеня

Рівняння вигляду $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$ є однорідним другого степеня. Якщо $a\ne 0$, то так само $\cos x\ne 0$ для жодного розв'язку (інакше знову $\sin x=0$). Тому ділимо обидві частини на ${\cos }^{2}x$ і заміною $t=\mathrm{tg}x$ зводимо рівняння до квадратного:

${\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=0|:{\cos }^{2}x$

${\mathrm{tg}}^{2}x-4\mathrm{tg}x+3=0\Rightarrow t^2-4t+3=0$.

Корені $t_1=1$, $t_2=3$. Повертаємося до $x$: $\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n$; $\mathrm{tg}x=3\Rightarrow x=\mathrm{arctg}3+\pi k$. Відповідь — об'єднання двох серій.

Коли ділити на cos²x не можна

Якщо доданка з ${\sin }^{2}x$ у рівнянні немає (a = 0), рівняння все одно однорідне другого степеня, але ділити його на ${\cos }^{2}x$ не можна: значення з cos x = 0 є розв'язками, і ділення призвело б до їх втрати. Приклад: $\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0$. Тут обидві частини ділити на ${\cos }^{2}x$ не можна — краще винести спільний множник $\cos x$:

$\cos x(\sin x-\cos x)=0$.

Перший множник: $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$. Другий множник: $\sin x=\cos x\Rightarrow \mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi k$. Зауваж: поділивши на ${\cos }^{2}x$, ми втратили б серію $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Розкладання на множники замість ділення

Спільний множник виносять за дужки, а не скорочують, — тоді жодна серія не зникає. Розгляньмо $\sin 2x=\cos x$. Замінюємо $\sin 2x=2\sin x\cos x$ і переносимо все в один бік:

$2\sin x\cos x-\cos x=0\Rightarrow \cos x(2\sin x-1)=0$.

Звідси $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ або $2\sin x-1=0\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$.

Якби ми поділили $\sin 2x=\cos x$ на $\cos x$, отримали б лише $2\sin x=1$ і втратили б серію $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ — а саме вона й відповідає випадку $\cos x=0$.

Загальне правило: множник, що містить $\cos x$ чи $\sin x$, виносимо за дужки. Ділити на такий множник можна лише тоді, коли доведено, що він не перетворюється на нуль для жодного розв'язку рівняння.

У цьому розділі розв'яжемо п'ять типових завдань, які можуть трапитися на НМТ. Кожне розібрано покроково.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$

Завдання: виберіть правильну відповідь з-поміж п'яти наборів серій розв'язків.

Розв'язання. Заміна $t=\sin x$, $-1\le t\le 1$. Тоді $2t^2+t-1=0$. Дискримінант $D=1+8=9$, корені $t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}$, $t_2=\frac{-1-3}{4}=-1$. Обидва значення в межах $[-1;1]$.

$\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n$.

$\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$.

Відповідь: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $n,k\in \mathbb{Z}$.

Пояснення дистракторів: варіант із $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ (замість $-\frac{\pi }{2}$) — помилка в знаку; варіант лише з однією серією — втрата кореня; варіант $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$ — плутанина синуса з косинусом.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння $2{\sin }^{2}x+3\cos x=0$

Завдання: виберіть правильну відповідь з-поміж п'яти.

Розв'язання. Замінюємо ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $2(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x=0\Rightarrow 2-2{\cos }^{2}x+3\cos x=0\Rightarrow 2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$.

Заміна $t=\cos x$: $2t^2-3t-2=0$, $D=9+16=25$, $t_1=\frac{3+5}{4}=2$, $t_2=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$.

$t_1=2$ за модулем більше за $1$ — відкидаємо. $\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$.

Відповідь: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пояснення дистракторів: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$ — помилка: $\arccos (-1/2)=2\pi /3$, а не $\pi /3$; $x=\pm \frac{2\pi }{3}+\pi n$ — неправильний період; варіант із «$\cos x=2$» — не відкинули стороннє значення; $x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n$ — плутанина з синусом.

Приклад 3. Знайдіть значення $\sin x$, за якого виконується рівність $\cos 2x-5\sin x-3=0$

Завдання: коротка відповідь — число.

Розв'язання. Використовуємо формулу $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$:

$1-2{\sin }^{2}x-5\sin x-3=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x-5\sin x-2=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+5\sin x+2=0$.

Заміна $t=\sin x$: $2t^2+5t+2=0$, $D=25-16=9$, $t_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}$, $t_2=\frac{-5-3}{4}=-2$.

$t_2=-2$ за модулем більше за $1$ — відкидаємо. Отже, $\sin x=-\frac{1}{2}$.

Відповідь: $-0,5$.

Пастки: $-2$ — не відкинули стороннє значення; $-2,5$ — сума обох коренів квадратного рівняння.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння $3{\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=0$

Завдання: виберіть правильну відповідь з-поміж п'яти.

Розв'язання. Це однорідне рівняння другого степеня ($a=3\ne 0$). Ділимо обидві частини на ${\cos }^{2}x$:

$3{\mathrm{tg}}^{2}x-4\mathrm{tg}x+1=0$.

Заміна $t=\mathrm{tg}x$: $3t^2-4t+1=0$, $D=16-12=4$, $t_1=\frac{4+2}{6}=1$, $t_2=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$.

$\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n$.

$\mathrm{tg}x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi k$.

Відповідь: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$, $x=\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi k$, $n,k\in \mathbb{Z}$.

Пояснення дистракторів: період $2\pi n$ замість $\pi n$ — помилка в періоді тангенса; $\mathrm{tg}x=3$ — переплутали корені; лише одна серія — втратили другий корінь.

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння $\sin 2x=\sqrt{3}\cos x$

Завдання: виберіть правильну відповідь з-поміж п'яти.

Розв'язання. Замінюємо $\sin 2x=2\sin x\cos x$ і переносимо все в один бік:

$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0\Rightarrow \cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0$.

Перший множник: $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Другий множник: $2\sin x-\sqrt{3}=0\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k$.

Відповідь: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k$, $n,k\in \mathbb{Z}$.

Пастка: варіант лише з $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k$ — це результат ділення на $\cos x$, яке загубило серію $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

• Не відкидають t = 2 чи t = −2 для sin x і cos x, хоча |t| ≤ 1. Завжди перевіряй, чи потрапляє корінь квадратного рівняння у відрізок [−1; 1].

• Обмежують |t| ≤ 1 для tg x, хоча тангенс набуває будь-яких дійсних значень. Для t = tg x жодного обмеження немає.

• Замінюють sin²x на 1 − cos x (без квадрата) або cos 2x — на 2cos x − 1. Пам'ятай: sin²x = 1 − cos²x, cos 2x = 2cos²x − 1, а не 2cos x − 1.

• Ділять рівняння sin 2x = √3 cos x на cos x і гублять серію cos x = 0. Завжди винось спільний множник за дужки, а не скорочуй.

• Ділять на cos²x рівняння без доданка з sin²x (наприклад sin x cos x − cos²x = 0) і гублять серію π/2 + πn. Ділити однорідне рівняння другого степеня на cos²x можна лише тоді, коли в ньому є доданок a sin²x (a ≠ 0).

• Гублять одну із серій. Однакова літера для двох серій не є помилкою, але різні літери (n, k, m ∈ ℤ) зручніші під час відбору коренів.

• Записують arccos(−1/2) як −π/3 замість 2π/3. arccos(−1/2) = 2π/3, а не −π/3.

За програмою НМТ з математики (тема 2.1) нескладні тригонометричні рівняння, які зводяться до найпростіших, і загальні методи — заміна змінної та розкладання на множники — належать до рівня стандарту. Тригонометричні рівняння складнішого вигляду — до профільного рівня (П).

У довідкових матеріалах, які додають до тесту, є такі формули:

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

• $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

• $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

• $\sin 2\alpha$ і $\cos 2\alpha$

Загальних формул розв'язків тригонометричних рівнянь у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

Форми завдань на НМТ:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал) — у таких завданнях подають набори серій розв'язків, і треба вибрати правильний.

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали) — число, наприклад значення sin x, записане десятковим дробом −0,5.

У демоваріанті НМТ-2026 тригонометричне рівняння є в завданні 11, але це найпростіше рівняння з відбором коренів на проміжку; рівнянь, що зводяться до квадратних, у демоваріанті немає. У вибірці тестів 2023–2024 серед рівнянь з параметром у завданні 22 трапляються тригонометричні (профільний рівень).

Стратегія: підстановка n = 0 і n = 1 у початкове рівняння допомагає відсіяти серії із зайвими значеннями (неправильний період чи знак). Але вона не доводить, що варіант повний, тому звір кількість серій і період із власним розв'язанням.

• Заміна t = sin x чи t = cos x: |t| ≤ 1; t = tg x — без обмежень.

• sin²x = 1 − cos²x, cos²x = 1 − sin²x — щоб лишилася одна функція.

• cos 2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1 — форму вибираємо за рештою рівняння.

• Однорідне рівняння з ненульовим коефіцієнтом при sin x (sin²x) ділимо на cos x (cos²x) і отримуємо рівняння відносно tg x; якщо цей коефіцієнт нульовий — виносимо cos x за дужки.

• Спільний множник виносимо, а не скорочуємо, — інакше губимо серію.

• Відповідь — об'єднання серій; різні літери n, k ∈ Z зручні, але не обов'язкові.