Відбір коренів тригонометричного рівняння на проміжку

Коли ви вже вмієте записувати загальний розв'язок найпростішого тригонометричного рівняння, наступний крок — відібрати з-поміж нескінченної кількості коренів ті, що потрапляють у заданий проміжок. Найпряміший спосіб — підставляти в загальну формулу цілі значення n і дивитися, чи опиняється корінь усередині проміжку.

Загальний розв'язок — основа

Для рівняння sin x = a зручно записувати не одну формулу з (−1)ⁿ, а дві окремі серії:

• x = arcsin a + 2πn, n ∈ ℤ

• x = π − arcsin a + 2πn, n ∈ ℤ

Так ви уникаєте плутанини зі знаком при непарних n. Для cos x = a маємо x = ± arccos a + 2πn, а для tg x = a — x = arctg a + πn.

Як перебирати n

Підставляйте n = 0, 1, 2, … і одночасно n = −1, −2, …, доки отримані корені не вийдуть за межі проміжку. Усі корені й кінці проміжку зручно записувати в однакових частках π — наприклад, у шостих, четвертих або половинках, щоб легко порівнювати.

Приклад: sin 2x = 0 на [0; 2π]

Рівняння sin 2x = 0 має загальний розв'язок 2x = πn, тобто x = πn/2. Проміжок — [0; 2π].

• n = 0 ⇒ x = 0 — належить

• n = 1 ⇒ x = π/2 — належить

• n = 2 ⇒ x = π — належить

• n = 3 ⇒ x = 3π/2 — належить

• n = 4 ⇒ x = 2π — належить (кінець відрізка)

• n = 5 ⇒ x = 5π/2 > 2π — виходить за межі

• n = −1 ⇒ x = −π/2 < 0 — виходить за межі

Отже, маємо 5 коренів: 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Обидва кінці відрізка входять.

Приклад: cos x = 1/2 на [−π; 2π]

Загальний розв'язок: x = ±π/3 + 2πn.

• Серія x = π/3 + 2πn: n = 0 ⇒ π/3; n = 1 ⇒ 7π/3 > 2π; n = −1 ⇒ −5π/3 < −π

• Серія x = −π/3 + 2πn: n = 0 ⇒ −π/3; n = 1 ⇒ 5π/3; n = −1 ⇒ −7π/3 < −π

У проміжок потрапляють −π/3, π/3 і 5π/3 — усього 3 корені.

Порада: завжди перевіряйте n = 0, ±1, ±2, … доки корені не вийдуть за межі. Не обмежуйтесь лише додатними n — від'ємні часто дають корені, які лежать ліворуч від нуля.

Коли проміжок великий або період рівняння малий, перебирати n вручну стає незручно. Набагато ефективніше розв'язати подвійну нерівність щодо n — це дасть вам усі цілі n, які дають корені з потрібного проміжку, за одну дію.

Як це працює

Нехай загальний розв'язок має вигляд x = x₀ + T·n, де T — період (2π для sin і cos, π для tg). Корінь x належить відрізку [a; b] тоді й тільки тоді, коли виконується подвійна нерівність:

a ≤ x₀ + T·n ≤ b

Розв'язуємо її відносно n, а потім беремо лише цілі числа, що задовольняють нерівність.

Приклад: tg x = 1 на [−π; 3π]

Загальний розв'язок: x = π/4 + πn, n ∈ ℤ. Підставляємо в нерівність:

−π ≤ π/4 + πn ≤ 3π

Віднімаємо π/4 від усіх частин: −π − π/4 ≤ πn ≤ 3π − π/4, тобто −5π/4 ≤ πn ≤ 11π/4.

Ділимо на π: −5/4 ≤ n ≤ 11/4.

Цілі n, що задовольняють нерівність: n = −1, 0, 1, 2. Відповідні корені:

• n = −1 ⇒ x = π/4 − π = −3π/4

• n = 0 ⇒ x = π/4

• n = 1 ⇒ x = π/4 + π = 5π/4

• n = 2 ⇒ x = π/4 + 2π = 9π/4

Отже, маємо 4 корені: −3π/4, π/4, 5π/4, 9π/4.

Приклад: cos 2x = 0 на інтервалі (0; π)

Рівняння cos 2x = 0 має розв'язок 2x = π/2 + πn, тобто x = π/4 + πn/2. Проміжок — інтервал (0; π), тому кінці не входять:

0 < π/4 + πn/2 < π

Віднімаємо π/4: −π/4 < πn/2 < 3π/4.

Множимо на 2/π: −1/2 < n < 3/2.

Цілі n: 0 і 1. Корені: x = π/4 і x = π/4 + π/2 = 3π/4. Обидва лежать усередині інтервалу (0; π).

Коли спосіб найзручніший

Подвійна нерівність особливо виграє, коли проміжок довгий або період малий. Наприклад, для sin 5x = 0 на [0; π] маємо x = πn/5. Нерівність 0 ≤ πn/5 ≤ π дає 0 ≤ n ≤ 5 — одразу 6 коренів (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5). Перебирати вручну 6 значень теж неважко, але коли n треба перебрати від −20 до 20, нерівність рятує.

Увага: межі для n можуть бути дробовими. Беріть лише цілі n, що задовольняють нерівність. Не округлюйте — наприклад, з n ≤ 11/4 = 2,75 беріть n = 2, а не n = 3.

Одиничне коло — це наочний інструмент для відбору коренів, коли проміжок не довший за 2π, а рівняння має вигляд sin x = a або cos x = a. Ви позначаєте на колі точки-розв'язки, потім дугу, що відповідає проміжку, і «зчитуєте» корені, які потрапили на цю дугу.

Як працювати з колом

Позначте на одиничному колі всі точки, що є розв'язками рівняння. Потім позначте дугу, яка відповідає проміжку від a до b, рухаючись проти годинникової стрілки. Точки, що лежать на цій дузі (включно з кінцями, якщо проміжок — відрізок), і є шуканими коренями. Кожен повний оберт на 2π повторює ті самі точки, тому для проміжку, не довшого за 2π, достатньо одного кола.

Приклад: sin x = −√2/2 на [0; 2π]

Рівняння sin x = −√2/2 має розв'язки x = 5π/4 + 2πn і x = 7π/4 + 2πn. На проміжку [0; 2π] лежать два корені: 5π/4 (у III чверті) і 7π/4 (у IV чверті). На одиничному колі це дві точки в нижній півплощині, і обидві потрапляють на дугу від 0 до 2π.

Приклад: cos x = 0 на [−π/2; π]

Розв'язкам cos x = 0 на одиничному колі відповідають дві точки: верхня (0; 1) — кут π/2 — і нижня (0; −1) — кут −π/2 (або 3π/2). Проміжок [−π/2; π] має довжину 3π/2 < 2π, тому досить одного кола. Дуга йде проти годинникової стрілки від нижньої точки (−π/2) через 0 і π/2 до лівої точки (π):

• нижня точка — кут −π/2, лівий кінець відрізка — належить

• верхня точка — кут π/2 — лежить на дузі — належить

• кут 3π/2 відповідає тій самій нижній точці, але 3π/2 > π — не належить

Отже, маємо 2 корені: −π/2 і π/2. Зверніть увагу: лівий кінець −π/2 є коренем, бо cos(−π/2) = 0, а правий кінець π не є коренем, оскільки cos π = −1 ≠ 0.

Коли коло найзручніше

Одиничне коло особливо корисне, коли проміжок не перевищує 2π, а рівняння має вигляд sin x = a або cos x = a. Воно дає змогу побачити корені візуально й уникнути помилок з кінцями проміжку. Для рівнянь tg x = a коло теж працює, але там корені розташовані через π, що іноді менш наочно.

Відбір коренів — це не лише знайти, які n дають корені в проміжку. Треба ще правильно врахувати кінці проміжку, а іноді — знайти суму коренів, найменший додатний або найбільший від'ємний корінь, та ще й записати відповідь у градусах, якщо цього вимагає умова.

Відрізок чи інтервал?

Відрізок [a; b] містить свої кінці — числа a і b входять до проміжку. Інтервал (a; b) — ні, його кінці виключені. Корінь, що збігається з кінцем відрізка, зараховується; той самий корінь на кінці інтервалу — ні. Це типове місце втрати бала на НМТ.

Наприклад, для sin 2x = 0 на [0; 2π] корінь x = 2π належить проміжку, бо це відрізок. Якби проміжок був (0; 2π), той самий корінь 2π не зараховувався б.

Сума коренів на проміжку

Іноді в завданні просять знайти суму всіх коренів, що належать проміжку. Для sin 2x = 0 на [0; 2π] ми вже знайшли корені: 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Їхня сума:

0 + π/2 + π + 3π/2 + 2π = (0 + 2π) + (π/2 + 3π/2) + π = 2π + 2π + π = 5π

Відповідь: 5π.

Найменший додатний корінь

Найменший додатний корінь — це найменший корінь рівняння, який більший за нуль. Розгляньмо рівняння 2cos x + 1 = 0:

cos x = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.

Додатні корені: 2π/3 (n = 0), 4π/3 (n = 1, з серії −2π/3 + 2π·1 = 4π/3), 8π/3 (n = 1, з серії 2π/3 + 2π·1 = 8π/3) тощо. Найменший додатний — 2π/3. У градусах: 2π/3 = 120°. Якщо умова просить градуси, у відповідь записують 120.

Найбільший від'ємний корінь

Найбільший від'ємний корінь — це найбільший корінь, який менший за нуль (тобто найближчий до нуля зліва). Розгляньмо sin x = 1/2:

x = π/6 + 2πn або x = 5π/6 + 2πn.

Від'ємні кандидати:

• З серії π/6 + 2πn: n = −1 ⇒ π/6 − 2π = −11π/6

• З серії 5π/6 + 2πn: n = −1 ⇒ 5π/6 − 2π = −7π/6

Порівнюємо: −7π/6 > −11π/6 (бо −7π/6 ≈ −3,67, а −11π/6 ≈ −5,76). Отже, найбільший від'ємний корінь — −7π/6 = −210°.

Переведення радіанів у градуси

Основне співвідношення: π рад = 180°. Звідси:

Щоб перевести будь-який кут з радіанів у градуси, помножте його на 180°/π. Наприклад, 5π/6 = (5π/6)·(180°/π) = 150°. Кожен відібраний корінь варто перевірити підстановкою в початкове рівняння — це вбереже від арифметичних помилок.

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові завдання на відбір коренів — саме такі, які можуть зустрітися на НМТ.

Приклад 1. Скільки коренів має рівняння sin x = √3/2 на відрізку [−2π; 2π]?

Формат: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). Варіанти: 1, 2, 3, 4, 5.

Розв'язання. Записуємо загальний розв'язок двома серіями:

• x = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

• x = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

Перебираємо n для кожної серії на проміжку [−2π; 2π].

• Серія π/3 + 2πn: n = 0 ⇒ π/3; n = 1 ⇒ 7π/3 > 2π; n = −1 ⇒ π/3 − 2π = −5π/3 (належить); n = −2 ⇒ π/3 − 4π = −11π/3 < −2π

• Серія 2π/3 + 2πn: n = 0 ⇒ 2π/3; n = 1 ⇒ 8π/3 > 2π; n = −1 ⇒ 2π/3 − 2π = −4π/3 (належить); n = −2 ⇒ 2π/3 − 4π = −10π/3 < −2π

Маємо 4 корені: −5π/3, −4π/3, π/3, 2π/3.

Відповідь: 4.

Чому інші варіанти неправильні? Варіант 2 (пастка) — узяли лише n = 0 для обох серій і забули про від'ємні n. Варіант 5 — могли додати зайві корені на кінцях, яких тут немає. Варіанти 1 і 3 — неповний перебір.

Приклад 2. Укажіть усі корені рівняння tg x = −√3, що належать інтервалу (−π; π)

Формат: вибір однієї відповіді з п'яти. Варіанти: «−π/3; 2π/3», «−π/3», «−π/3; π/3», «π/3; 2π/3», «−4π/3; −π/3; 2π/3».

Розв'язання. Загальний розв'язок: x = −π/3 + πn, n ∈ ℤ.

Перебираємо n:

• n = 0 ⇒ x = −π/3 — належить інтервалу (−π; π)

• n = 1 ⇒ x = −π/3 + π = 2π/3 — належить (2π/3 < π)

• n = 2 ⇒ x = −π/3 + 2π = 5π/3 > π — не належить

• n = −1 ⇒ x = −π/3 − π = −4π/3 < −π — не належить

Отже, корені: −π/3 і 2π/3.

Відповідь: «−π/3; 2π/3».

Чому інші варіанти неправильні? «−π/3» — не перебрали n = 1. «−π/3; π/3» — π/3 не є коренем (tg π/3 = √3). «π/3; 2π/3» — π/3 не корінь. «−4π/3; −π/3; 2π/3» — −4π/3 не належить інтервалу (−π; π), бо −4π/3 < −π.

Приклад 3. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння cos 2x = −1/2. Відповідь запишіть у градусах

Формат: коротка відповідь (число).

Розв'язання. cos 2x = −1/2 ⇒ 2x = ±120° + 360°·n, n ∈ ℤ.

Ділимо на 2: x = ±60° + 180°·n, n ∈ ℤ.

Додатні корені:

• З серії x = 60° + 180°·n: n = 0 ⇒ 60°; n = 1 ⇒ 240°

• З серії x = −60° + 180°·n: n = 1 ⇒ 120°; n = 2 ⇒ 300°

Найменший додатний корінь — 60°.

Відповідь: 60.

Чому не 120? Пастка: забули поділити на 2. Якщо взяти 2x = 120° і не поділити, отримаєте 120° замість 60°. Також перевірте: cos(2·60°) = cos 120° = −1/2 — правильно.

Приклад 4. Знайдіть кількість коренів рівняння 2sin²x − sin x = 0 на відрізку [0; 2π]

Формат: коротка відповідь (число).

Розв'язання. Розкладаємо на множники: sin x (2 sin x − 1) = 0.

Звідси:

• sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ ℤ. На [0; 2π]: n = 0 ⇒ 0; n = 1 ⇒ π; n = 2 ⇒ 2π. Три корені.

• sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2πn або x = 5π/6 + 2πn. На [0; 2π]: π/6 і 5π/6. Два корені.

Усього: 3 + 2 = 5 коренів.

Відповідь: 5.

Чому не 4? Пастка: пропустили кінець 2π (забули, що це відрізок, і 2π входить). Чому не 2? Пастка: поділили обидві частини на sin x, втративши корені sin x = 0. Ніколи не діліть на sin x або cos x — розкладайте на множники.

Навіть добре підготовлені учні роблять помилки у відборі коренів. Ось найпоширеніші пастки — запам'ятайте їх, щоб не втратити бали на НМТ.

• Пропускають корінь на кінці відрізка. Наприклад, для sin 2x = 0 на [0; 2π] корінь x = 2π часто забувають, хоча він входить у відрізок. Якщо проміжок — інтервал (0; 2π), той самий корінь 2π уже не входить. Завжди перевіряйте, чи збігається корінь з кінцем проміжку, і чи цей кінець належить проміжку.

• Перебирають лише n ≥ 0. Через це гублять корені з від'ємними n, які лежать ліворуч від нуля. Наприклад, для sin x = √3/2 на [−2π; 2π] корені −5π/3 і −4π/3 дають n = −1, і без них відповідь була б неповною.

• Плутають знак у формулі з (−1)ⁿ. Для sin x = a формула x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn при непарних n дає x = −arcsin a + πn, що може заплутати. Надійніше розписати дві серії: x = arcsin a + 2πn і x = π − arcsin a + 2πn.

• Перевіряють належність проміжку для 2x замість x. У рівнянні sin 2x = a спочатку знаходять 2x, потім ділять на 2. Помилка: перевіряють, чи 2x належить проміжку, а не x. Наприклад, для sin 2x = 0 на [0; π] корені 2x = 0, π, 2π, … дають x = 0, π/2, π. Якщо перевіряти 2x, то 2π нібито не входить у [0; π], але x = π — входить.

• Беруть нецілі або неправильно округлені межі для n. Наприклад, з нерівності n ≤ 11/4 = 2,75 дехто робить висновок n = 3, хоча правильна верхня межа — n = 2. Беріть лише цілі n, що задовольняють нерівність, без округлення.

• Рахують двічі корінь, що належить двом серіям одночасно. Наприклад, для sin x = 0 серії x = 0 + 2πn і x = π + 2πn не перетинаються. Але для деяких рівнянь (скажімо, sin x = 1) дві серії можуть дати спільний корінь x = π/2. Такий корінь рахують один раз.

• Записують відповідь у радіанах, коли умова просить градуси, або навпаки. Уважно читайте умову. Якщо написано «у градусах», відповідь — число без позначки °. Якщо написано «у радіанах»: у завданнях з вибором відповіді шукайте варіант із π, а в короткій відповіді символ π ввести не можна — відповідь записують лише десятковим дробом, тому виконайте саме те перетворення, якого вимагає умова.

Завдання на відбір коренів тригонометричного рівняння на проміжку — це частина теми «Тригонометричні рівняння» в програмі НМТ. Ось що варто знати про формат і стратегію.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 11 — корені найпростішого тригонометричного рівняння на проміжку: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал.

У реальних тестах НМТ 2023–2024 (вибірка з 4 тестів) тригонометричне рівняння стояло й на позиції № 15 — тієї самої форми з вибором однієї відповіді.

Якщо таке завдання дають з короткою відповіддю (завдання 19–22, 0 або 2 бали), відповідь — число: кількість коренів або корінь у градусах, записаний десятковим дробом.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ, є таблиця значень sin, cos, tg для 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π. Формул загальних розв'язків тригонометричних рівнянь у довідкових матеріалах немає — їх треба знати напам'ять.

Стратегія виконання

• Для завдань з вибором відповіді (набір коренів у варіантах): перевір кожен корінь підстановкою в рівняння й переконайся, що він належить проміжку. Відкидай варіанти, де хоч один корінь не задовольняє рівняння або виходить за межі проміжку.

• Для завдань на кількість коренів: розв'яжи подвійну нерівність щодо n — це найшвидший спосіб знайти всі цілі n, що дають корені в проміжку.

• Для завдань з короткою відповіддю (найменший додатний корінь, найбільший від'ємний корінь): спершу знайди загальний розв'язок, потім перебери n = 0, ±1, ±2, … доки не знайдеш потрібний корінь. Якщо умова просить градуси — переведи радіани за формулою π рад = 180°.

• Завжди перевіряй, чи вказано проміжок як відрізок [a; b] чи інтервал (a; b) — це впливає на включення кінців.

Тут зібрані відповіді на найпоширеніші запитання про відбір коренів тригонометричних рівнянь на проміжку.

• Спершу запиши загальний розв'язок рівняння. Для sin x = a зручніше дві серії: x = arcsin a + 2πn і x = π − arcsin a + 2πn.

• Перебирай n = 0, ±1, ±2, …, доки корені не вийдуть за межі проміжку. Не обмежуйся лише додатними n.

• Для довгого проміжку розв'яжи подвійну нерівність a ≤ x₀ + T·n ≤ b щодо n і візьми лише цілі n.

• На одиничному колі познач точки розв'язків і дугу проміжку — корені, що лежать на дузі, належать проміжку.

• Кінці відрізка [a; b] входять до проміжку, кінці інтервалу (a; b) — ні. Перевіряй позначення проміжку в умові.

• Спільний корінь двох серій рахуй один раз.

• π рад = 180°. Градуси записуй лише тоді, коли цього вимагає умова, — числом без позначки °.

• Кожен відібраний корінь перевір підстановкою в початкове рівняння.