Рівняння прямої й кола

Уяви, що на координатній площині фігура — це не просто малюнок, а множина точок, об'єднаних спільною властивістю. Рівняння фігури — це рівняння з двома змінними x і y, яке задовольняють координати всіх точок цієї фігури й лише вони. Іншими словами, коли ти підставляєш координати будь-якої точки фігури, рівняння перетворюється на правильну числову рівність, а для точки, що не належить фігурі, — на неправильну.

Рівняння кола випливає з його означення. Коло з центром C(a; b) і радіусом R — це всі точки M(x; y), для яких відстань CM = R. Ти вже знаєш формулу відстані між двома точками:

$$CM=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=R$$

Підносимо обидві частини до квадрата й отримуємо канонічне рівняння кола:

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$$

Якщо центр кола міститься в початку координат O(0; 0), то a = 0 і b = 0, тому рівняння спрощується до:

$$x^2+y^2=R^2$$

Як «читати» рівняння кола

Щоб знайти центр і радіус за готовим рівнянням, дотримуйся простого правила: координати центра — це числа, які віднімаються від x і y у дужках (з протилежним знаком, якщо здається, що стоїть «+»), а радіус — квадратний корінь з правої частини.

Розгляньмо кілька прикладів.

Як скласти рівняння кола

За центром і радіусом

Просто підстав числа у формулу. Центр (1; −4), радіус R = 3:

$$(x-1{)}^2+(y-(-4){)}^2=3^2\Rightarrow (x-1{)}^2+(y+4{)}^2=9$$

За центром і точкою кола

Якщо відомі центр C(2; −1) і точка кола A(5; 3), спочатку знайди квадрат радіуса як квадрат відстані між ними:

$$R^2=(5-2{)}^2+(3-(-1){)}^2=3^2+4^2=9+16=25$$

Тоді рівняння:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$$

За кінцями діаметра

Нехай кінці діаметра — точки A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂). Центр кола — середина діаметра (ти вже знаєш, як її знаходити), а радіус — половина довжини діаметра.

Наприклад, A(1; 2), B(7; 6). Центр: C((1+7)/2; (2+6)/2) = C(4; 4). Довжина AB: √((7−1)² + (6−2)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13, тому R = √13, R² = 13. Рівняння: (x − 4)² + (y − 4)² = 13.

Рівняння кола з розкритими дужками

На НМТ тобі можуть дати рівняння, в якому дужки вже розкрито, наприклад:

$$x^2+y^2-6x+4y-12=0$$

Треба звести його до канонічного вигляду методом виділення повних квадратів. Згрупуй доданки з x і з y:

$$(x^2-6x)+(y^2+4y)=12$$

Для x² − 6x додай і відніми (6/2)² = 9; для y² + 4y — (4/2)² = 4:

$$(x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4=12$$

$$(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=12+9+4=25$$

Отже, центр C(3; −2), радіус R = 5.

Важливо: якщо після виділення повних квадратів права частина виявиться від'ємною або дорівнюватиме нулю, то таке рівняння не задає кола (від'ємне число — жодної точки, нуль — вироджене коло — одна точка).

Як перевірити, чи належить точка колу

Точка M(x₀; y₀) лежить на колі, якщо її координати задовольняють рівняння кола. Якщо ліва частина рівняння менша за R², точка лежить усередині круга (обмеженої колом області). Якщо більша — точка розташована поза колом.

Розгляньмо коло x² + y² = 25 (центр O(0; 0), R = 5).

Перетин кола з осями координат

Щоб знайти точки перетину кола з віссю Ox, підстав у рівняння y = 0 і розв'яжи відносно x.

Наприклад, для кола (x − 1)² + (y − 3)² = 25:

$$(x-1{)}^2+(0-3{)}^2=25\Rightarrow (x-1{)}^2+9=25\Rightarrow (x-1{)}^2=16$$

$$x-1=4\text{або}x-1=-4\Rightarrow x=5\text{або}x=-3$$

Отже, коло перетинає вісь Ox у точках (5; 0) і (−3; 0).

Щоб знайти перетин з віссю Oy, підстав x = 0:

$$(0-1{)}^2+(y-3{)}^2=25\Rightarrow 1+(y-3{)}^2=25\Rightarrow (y-3{)}^2=24$$

$$y-3=\pm \sqrt{24}=\pm 2\sqrt{6}\Rightarrow y=3\pm 2\sqrt{6}$$

Дотик кола до осей координат

Коло з центром C(a; b) дотикається до осі Ox, якщо його радіус дорівнює відстані від центра до цієї осі, тобто R = |b|. До осі Oy — якщо R = |a|.

Наприклад, коло з центром C(−3; 2), що дотикається до осі Oy, має радіус R = |−3| = 3. Його рівняння:

$$(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=9$$

Якщо ж коло дотикається до обох осей одночасно (крім центра в початку координат), то R = |a| = |b| і центр лежить на бісектрисі кута між осями.

Взаємне розташування прямої та кола

Пряма може перетинати коло у двох точках, дотикатися до нього (одна спільна точка) або не мати з ним спільних точок. Щоб визначити це, знаходять відстань від центра кола до прямої й порівнюють її з радіусом.

Наприклад, пряма y = 3 і коло x² + y² = 9. Центр кола — O(0; 0). Відстань від центра до прямої y = 3 дорівнює 3, і радіус R = 3. Отже, пряма дотикається до кола в точці (0; 3).

Підставимо y = 3 у рівняння кола: x² + 9 = 9 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0. Справді, лише одна спільна точка.

Пряма на координатній площині — це найпростіша фігура, і її можна описати кількома способами.

Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої має вигляд:

$$Ax+By+C=0$$

де A* і *B не дорівнюють нулю одночасно (тобто хоча б одне з них відмінне від нуля). Якщо B ≠ 0, це рівняння можна перетворити на зручніший вигляд, виразивши y (тоді k = −A/B, b = −C/B):

$$y=kx+b$$

Тут k — кутовий коефіцієнт (він показує, на скільки одиниць змінюється y при зміні x на 1), а b — вільний член (ордината точки перетину прямої з віссю Oy). Докладно властивості лінійної функції розглядаються в окремому юніті.

Наприклад, 2x − y + 3 = 0 можна записати як y = 2x + 3. Тут A = 2, B = −1, C = 3, тому k = −A/B = 2, b = −C/B = 3.

Як перевірити, чи належить точка прямій

Точка належить прямій тоді й лише тоді, коли її координати задовольняють рівняння цієї прямої. Підстав x₀ і y₀ у рівняння — якщо отримаєш правильну рівність, точка лежить на прямій.

Приклад: чи лежить точка A(−1; 1) на прямій 3x + 2y + 1 = 0?

Підставляємо: 3 · (−1) + 2 · 1 + 1 = −3 + 2 + 1 = 0. Рівність правильна, отже, A(−1; 1) належить прямій.

Прямі, паралельні осям координат

Окремий випадок — прямі, паралельні осям:

Пряму x = 4 не можна записати у вигляді y = kx + b — кутовий коефіцієнт для вертикальної прямої не визначений (він «нескінченний»).

Пряма через дві точки

Якщо відомі координати двох точок A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂), через які проходить пряма, і вона не вертикальна (x₁ ≠ x₂), то рівняння шукають у вигляді y = kx + b, підставляючи координати обох точок і розв'язуючи систему рівнянь.

Наприклад, пряма через точки A(1; 3) і B(3; 7):

Підставляємо A: k · 1 + b = 3 ⇒ k + b = 3

Підставляємо B: k · 3 + b = 7 ⇒ 3k + b = 7

Віднімаємо перше рівняння від другого: 2k = 4 ⇒ k = 2. Тоді b = 3 − k = 3 − 2 = 1.

Рівняння: y = 2x + 1.

Перевірка другою точкою: 2 · 3 + 1 = 7 — усе правильно.

Якщо точки мають однакову абсцису (x₁ = x₂), то пряма вертикальна, і її рівняння x = x₁.

У цьому розділі розглянемо типові завдання НМТ на тему «Рівняння прямої й кола». Для кожного завдання подано покроковий розв'язок, правильну відповідь і пояснення, чому інші варіанти неправильні.

Приклад 1. Знаходження центра й радіуса кола

Завдання: визнач центр і радіус кола, заданого рівнянням (x − 4)² + (y + 1)² = 9. Варіанти відповідей:

• центр (4; −1), R = 3

• центр (−4; 1), R = 3

• центр (4; −1), R = 9

• центр (4; 1), R = 3

• центр (−4; −1), R = 81

Розв'язання:

Порівнюємо з канонічним виглядом (x − a)² + (y − b)² = R². Маємо (x − 4)², тому a = 4. (y + 1)² = (y − (−1))², тому b = −1. Права частина 9 = 3², отже R = 3. Відповідь: центр (4; −1), R = 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• центр (−4; 1), R = 3 — поширена помилка: знаки координат узяті навпаки (з (x − 4)² беруть a = −4, а з (y + 1)² беруть b = 1)

• центр (4; −1), R = 9 — радіус не добуто з квадрата: R² = 9, тому R = 3, а не 9

• центр (4; 1), R = 3 — у (y + 1)² помилково взяли b = 1, хоча треба b = −1

• центр (−4; −1), R = 81 — подвійна помилка: знаки навпаки й радіус піднесено до квадрата замість добування кореня

Приклад 2. Встановлення відповідності (логічні пари)

Завдання: установи відповідність між рівняннями кіл (1–3) та їхніми властивостями (А–Д).

Розв'язання:

Для кола 1) x² + (y − 3)² = 4 центр C(0; 3) — лежить на осі Oy (абсциса 0). Отже, 1 → В.

Для кола 2) (x + 3)² + y² = 9 центр C(−3; 0), радіус R = 3. Перевіримо, чи проходить через початок координат: (0 + 3)² + 0² = 9 = R², отже, проходить. 2 → А. Варіант Д (центр (3; 0)) не підходить — знак навпаки.

Для кола 3) (x − 2)² + (y + 2)² = 4 центр C(2; −2), радіус R = 2. Відстань до осі Ox: |b| = |−2| = 2 = R, до осі Oy: |a| = 2 = R. Отже, коло дотикається до обох осей. 3 → Б.

Відповідь: 1–В, 2–А, 3–Б.

Приклад 3. Перевірка належності точки прямій

Завдання: яка з точок лежить на прямій 2x − 3y = 12?

• (3; −2)

• (0; 4)

• (−3; 2)

• (2; 3)

• (6; 1)

Розв'язання: підставляємо координати кожної точки в рівняння та перевіряємо рівність.

Точка (3; −2): 2·3 − 3·(−2) = 6 + 6 = 12. Рівність виконується. Це правильна відповідь.

Перевірка інших:

• (0; 4): 2·0 − 3·4 = −12 ≠ 12

• (−3; 2): 2·(−3) − 3·2 = −6 − 6 = −12 ≠ 12

• (2; 3): 2·2 − 3·3 = 4 − 9 = −5 ≠ 12

• (6; 1): 2·6 − 3·1 = 12 − 3 = 9 ≠ 12

Відповідь: (3; −2).

Приклад 4. Складання рівняння кола за центром і точкою

Завдання: складіть рівняння кола з центром у точці (−2; 3), яке проходить через точку (1; 7).

• (x + 2)² + (y − 3)² = 25

• (x − 2)² + (y + 3)² = 25

• (x + 2)² + (y − 3)² = 5

• (x − 1)² + (y − 7)² = 25

• (x + 2)² + (y − 3)² = 49

Розв'язання:

Крок 1. Центр C(−2; 3). У канонічному рівнянні (x − (−2))² + (y − 3)² = R², тобто (x + 2)² + (y − 3)² = R².

Крок 2. Радіус — відстань від центра до точки (1; 7):

$$R^2=(1-(-2){)}^2+(7-3{)}^2=3^2+4^2=9+16=25$$

Крок 3. Рівняння: (x + 2)² + (y − 3)² = 25.

Чому інші варіанти неправильні:

• (x − 2)² + (y + 3)² = 25 — знаки координат центра навпаки

• (x + 2)² + (y − 3)² = 5 — праворуч записано R = 5 замість R² = 25

• (x − 1)² + (y − 7)² = 25 — за центр помилково взято точку (1; 7), а не (−2; 3)

• (x + 2)² + (y − 3)² = 49 — квадрат радіуса обчислено як 7² = 49 (додали 3 + 4 замість 3² + 4²)

Приклад 5. Складання рівняння прямої через дві точки

Завдання: складіть рівняння прямої, що проходить через точки A(−1; 5) і B(2; −1).

• y = −2x + 3

• y = 2x + 7

• y = −0,5x + 4,5

• y = −2x − 3

• y = −3x + 2

Розв'язання:

Крок 1. Складаємо систему для y = kx + b. Для точки A(−1; 5): −k + b = 5. Для точки B(2; −1): 2k + b = −1.

Крок 2. Віднімаємо перше рівняння від другого: (2k + b) − (−k + b) = −1 − 5 ⇒ 3k = −6 ⇒ k = −2.

Крок 3. Підставляємо k = −2 у перше рівняння: −(−2) + b = 5 ⇒ 2 + b = 5 ⇒ b = 3.

Крок 4. Рівняння: y = −2x + 3.

Перевірка точкою B: −2·2 + 3 = −4 + 3 = −1 — правильно.

Чому інші варіанти неправильні:

• y = 2x + 7 — знак k навпаки (додатний замість від'ємного)

• y = −0,5x + 4,5 — переплутали Δx і Δy: k = Δx/Δy замість Δy/Δx

• y = −2x − 3 — правильний k, але знак b навпаки: з −k + b = 5 маємо b = 5 + k = 5 − 2 = 3, а не −3

• y = −3x + 2 — обидва коефіцієнти неправильні

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на рівняння прямої й кола. Уважно вивчи їх, щоб не втратити бали на НМТ.

• Плутають знак координат центра кола. Наприклад, у рівнянні (x + 2)² + (y − 5)² = 16 абсцису центра вважають рівною 2, а не −2. Запам'ятай: у формулі стоїть (x − a)², тому (x + 2)² = (x − (−2))², отже a = −2.

• За радіус беруть число з правої частини рівняння, не добуваючи квадратний корінь. У рівнянні (x − 4)² + (y + 1)² = 16 пишуть R = 16, хоча R = 4.

• У рівнянні кола, складеному за центром і точкою, записують праворуч R замість R². Наприклад, для R = 5 пишуть (x + 2)² + (y − 3)² = 5, а має бути = 25.

• Переставляють координати точки під час підстановки в рівняння: замість x підставляють ординату, а замість y — абсцису. Завжди перевіряй: перше число в дужках — це x, друге — y.

• Вважають, що будь-яке рівняння вигляду x² + y² + … = 0 задає коло. Насправді після виділення повних квадратів права частина може виявитися від'ємною (тоді кола немає) або нулем (тоді маємо лише одну точку).

• Плутають рівняння вертикальної та горизонтальної прямої. Пряма x = 4 — це вертикальна лінія, паралельна осі Oy, а не горизонтальна. Пряма y = 4 — горизонтальна.

• Знаходять лише кутовий коефіцієнт k і забувають обчислити b або не перевіряють другу точку. Завжди перевіряй, чи задовольняє рівняння друга задана точка.

Тема «Рівняння прямої та кола» належить до теми «Координати та вектори на площині» (розділ «Планіметрія») програми НМТ з математики. Вона перевіряє вміння «складати рівняння прямої та рівняння кола».

Рівняння кола й рівняння прямої варто знати напам'ять: так ти не витрачатимеш час на пошук формул у довідкових матеріалах.

Формати завдань

Стратегія розв'язування

У завданнях на перевірку належності точки прямій або колу найшвидший спосіб — підставити координати запропонованих точок у рівняння. Це дає змогу уникнути помилок, пов'язаних із запам'ятовуванням формул.

У завданнях на логічні пари спочатку визнач центр і радіус кожного кола, а тоді зіставляй із властивостями. Пам'ятай, що дві властивості зайві: у правому стовпчику п'ять варіантів на три рівняння.

• (x − a)² + (y − b)² = R²: центр (a; b) зі знаками, протилежними до знаків у дужках; R — корінь з правої частини

• Точка лежить на лінії ⇔ її координати задовольняють рівняння

• Пряма: Ax + By + C = 0 або y = kx + b; x = a — вертикальна, y = b — горизонтальна

• Пряма через дві точки — система для k і b

• Рівняння з розкритими дужками — виділи повні квадрати