Прості механізми і коефіцієнт корисної дії

Прості механізми — це пристрої, які дають змогу змінити значення або напрям прикладеної сили. До них належать: важіль, блок, ворот, похила площина, клин і гвинт. Людина використовує ці механізми тисячі років — від важелів у єгипетських пірамідах до сучасних домкратів і лебідок. Спільна риса всіх простих механізмів: вони не створюють енергію, а лише перерозподіляють її.

Золоте правило механіки

Золоте правило механіки стверджує: у скільки разів виграємо в силі, у стільки разів програємо у відстані. Математично це виражають рівністю робіт: за відсутності тертя робота прикладеної сили дорівнює корисній роботі:

$$F_1\cdot s_1=F_2\cdot s_2$$

Тут F₁ — сила, яку прикладаємо, s₁ — шлях, який проходить точка прикладання цієї сили; F₂ — сила, яку долаємо (зазвичай вага вантажу), s₂ — шлях, на який переміщується вантаж. Якщо F₁ менша за F₂, то s₁ більший за s₂ — і навпаки.

Чому виграшу в роботі не буває

Найважливіший висновок із золотого правила: жоден простий механізм не дає виграшу в роботі. Він лише дозволяє виконати ту саму роботу меншою силою, але за більшого переміщення. Наприклад, щоб підняти важкий камінь на 0,5 м, можна прикласти до довгого плеча важеля силу в 5 разів меншу, ніж вага каменю, — але рука опуститься на 2,5 м. Добуток сили на шлях залишиться тим самим.

У реальних механізмах завжди є тертя в осях, ковзання мотузки, вага рухомих частин. Тому прикладена сила виявляється більшою, ніж передбачає золоте правило, а коефіцієнт корисної дії (ККД) стає меншим за 100 %. Саме цю різницю між ідеальною та реальною роботою ми й навчимося обчислювати.

У наступних розділах розглянемо конкретні механізми: блоки, похилу площину та важіль — і навчимося застосовувати до них золоте правило та формулу ККД.

Блок — це колесо з жолобом, через яке перекинуто мотузку. Залежно від того, чи закріплена вісь блока, розрізняють нерухомий і рухомий блоки. Обидва — прості механізми, які полегшують піднімання вантажів.

Нерухомий блок

Вісь нерухомого блока закріплена нерухомо. Такий блок лише змінює напрям прикладеної сили. Якщо нехтувати тертям і вагою самого блока, то сила, яку треба прикласти до мотузки, дорівнює вазі вантажу:

$$F=P$$

Переміщення кінця мотузки й вантажу однакові: s = h. Отже, нерухомий блок не дає виграшу в силі, але дозволяє тягнути мотузку вниз, а не вгору, що часто зручніше.

Рухомий блок

Вісь рухомого блока не закріплена — вона рухається разом із вантажем. Такий блок дає виграш у силі вдвічі. Без урахування тертя й ваги блока:

$$F=\frac{P}{2}$$

Однак кінець мотузки проходить удвічі більший шлях, ніж піднімається вантаж: s = 2h. Це і є золоте правило в дії: виграш у силі вдвічі супроводжується програшем у відстані вдвічі.

Врахування ваги блока

Якщо в умові задачі дано масу рухомого блока, її треба враховувати. Тоді сила, яку треба прикласти:

$$F=\frac{P+P_{\text{бл}}}{2}$$

де P_бл — вага рухомого блока. Тертя в осі ще більше збільшує необхідну силу.

Поліспаст

Поліспаст — це система з кількох рухомих і нерухомих блоків. Якщо вантаж тримають n мотузок, що йдуть від рухомих блоків, виграш у силі дорівнює n. Наприклад, система з двох рухомих блоків дає виграш у 4 рази.

Приклад розрахунку

Вантаж масою 80 кг піднімають рухомим блоком масою 4 кг. g = 10 м/с². Вага вантажу P = mg = 800 Н, вага блока P_бл = 40 Н. Сила:

$$F=\frac{800+40}{2}=420\text{Н}$$

Корисна робота: A_кор = P·h = 800·h. Повна робота: A_повн = F·s = 420·2h = 840·h. ККД:

$$\eta =\frac{800h}{840h}\cdot 100\%\approx 95\%$$

Похила площина — це простий механізм, який дозволяє піднімати вантаж на висоту, прикладаючи силу вздовж похилої поверхні, меншу за вагу вантажу. Чим довша площина відносно її висоти, тим більший виграш у силі.

Похила площина без тертя

Якщо тертя немає, для рівномірного втягування вантажу масою m по похилій площині завдовжки l і заввишки h потрібна сила:

$$F=mg\cdot \sin \alpha =mg\cdot \frac{h}{l}$$

Виграш у силі становить l/h разів, і рівно в стільки ж разів шлях уздовж площини більший за висоту підйому. Це пряме застосування золотого правила механіки: F·l = mg·h.

Похила площина з тертям

У реальних умовах є тертя між вантажем і площиною. Сила тертя ковзання дорівнює F_тер = μ·mg·cosα, де μ — коефіцієнт тертя. Тоді сила, яку треба прикласти для рівномірного руху:

$$F=mg\sin \alpha +\mu mg\cos \alpha$$

Корисна робота — це робота з підняття вантажу на висоту h:

$$A_{\text{кор}}=mgh$$

Повна (затрачена) робота — це робота прикладеної сили на всьому шляху l:

$$A_{\text{повн}}=F\cdot l$$

Приклад

Вантаж масою 50 кг втягують по похилій площині завдовжки 5 м на висоту 2 м, прикладаючи силу 250 Н. g = 10 м/с².

Корисна робота: A_кор = 50·10·2 = 1000 Дж.

Повна робота: A_повн = 250·5 = 1250 Дж.

ККД: η = 1000 / 1250 · 100 % = 80 %.

Сила тертя за рівномірного руху: F_тер = F − mg·h/l = 250 − 50·10·2/5 = 250 − 200 = 50 Н.

Зверни увагу: mg·h/l = 200 Н — це складова сили, яка потрібна для піднімання (проекція сили тяжіння на напрям площини). Решта 50 Н іде на подолання тертя.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) — це фізична величина, яка показує, яка частина затраченої (повної) роботи перетворюється на корисну роботу. Його позначають грецькою літерою η (ета).

Формула ККД

ККД визначають як відношення корисної роботи до повної (затраченої) роботи, виражене у відсотках:

$$\eta =\frac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{повн}}}\cdot 100\%$$

ККД — безрозмірна величина. Він завжди менший за 100 %, тому що частина затраченої роботи неминуче йде на подолання тертя, нагрівання деталей, підйом рухомих частин механізму тощо.

Корисна й повна робота

Корисна робота — це та робота, заради якої використовують механізм. Наприклад, якщо механізм піднімає вантаж, то корисна робота — це робота з підняття вантажу на задану висоту:

$$A_{\text{кор}}=mgh$$

Повна (затрачена) робота — це робота, яку виконує людина або двигун, прикладаючи силу F на певному шляху s:

$$A_{\text{повн}}=F\cdot s$$

ККД різних механізмів

Для важеля ККД обчислюють за формулою:

$$\eta =\frac{m\cdot g\cdot h_1}{F\cdot h_2}$$

де h₁ — висота підйому вантажу, h₂ — шлях, на якому прикладено силу F.

Для рухомого блока ККД можна записати як:

$$\eta =\frac{P}{2F}$$

де P — вага вантажу, F — прикладена сила.

Для похилої площини окремої формули ККД у довідкових матеріалах НМТ немає — її виводять із загальної формули η = A_кор / A_повн, де A_кор = mgh, а A_повн = F·l.

Як знайти повну роботу, якщо відомий ККД

Якщо в задачі дано ККД механізму, а треба знайти прикладену силу, зручно спочатку визначити повну роботу:

$$A_{\text{повн}}=\frac{A_{\text{кор}}}{\eta }$$

де η підставляють у частках одиниці (наприклад, 75 % = 0,75). Потім із A_повн = F·s знаходять силу F.

Приклад 1. ККД рухомого блока

Умова: до рухомого блока, що піднімає вантаж вагою 400 Н, прикладено силу 220 Н. Знайди ККД у відсотках, округливши до цілих.

Розв'язання. Рухомий блок дає виграш у силі вдвічі, тому за відсутності втрат сила мала б дорівнювати P/2 = 200 Н. Реальна сила більша через тертя й вагу блока. Корисна робота: A_кор = P·h = 400·h. Повна робота: A_повн = F·s = 220·2h = 440·h. ККД:

$$\eta =\frac{400h}{440h}\cdot 100\%=\frac{400}{440}\cdot 100\%\approx 90,91\%$$

Округлюємо до цілих: η = 91 %.

Відповідь: 91.

Зверни увагу: для рухомого блока η = P/(2F) = 400/(2·220) ≈ 91 % — це та сама формула, бо s = 2h. Поширена помилка — узяти s = h: тоді вийде 400/220 ≈ 182 %, що неможливо. Для інших механізмів ККД обчислюй через відношення робіт.

Приклад 2. ККД важеля

Умова: важіль підіймає вантаж масою 60 кг на 5 см, коли до довгого плеча прикладено силу 200 Н, що проходить 20 см. g = 10 м/с². Знайди ККД у відсотках.

Розв'язання. Корисна робота — підняття вантажу: A_кор = m·g·h₁ = 60·10·0,05 = 30 Дж. Повна робота — робота прикладеної сили: A_повн = F·h₂ = 200·0,20 = 40 Дж. ККД:

$$\eta =\frac{30}{40}\cdot 100\%=75\%$$

Відповідь: 75.

Поширена помилка: не перевести сантиметри в метри. Якщо підставити 5 і 20 замість 0,05 і 0,20, то A_кор = 3000 Дж, A_повн = 4000 Дж — числове відношення теж 0,75, але одиниці не відповідають СІ. На НМТ відповідь записують в одиниці, указаній в умові; для обчислень зручно спочатку перевести всі величини в СІ (см → м).

Приклад 3. Нерухомий блок

Умова: нерухомий блок використовують для піднімання вантажу. Що саме змінює цей простий механізм?

• значення сили

• напрям сили

• шлях, який проходить вантаж

• роботу

Розв'язання. Нерухомий блок має закріплену вісь. Він не дає виграшу в силі (F = P), не змінює шлях вантажу (s = h) і не змінює роботу. Єдине, що він робить, — змінює напрям прикладеної сили: замість тягнути мотузку вгору, можна тягнути вниз, що зручніше.

Відповідь: напрям сили.

Чому інші варіанти неправильні: значення сили не змінюється (F = P); шлях вантажу залежить тільки від висоти підйому; робота не змінюється, бо немає виграшу в роботі.

Приклад 4. Сила на похилій площині через ККД

Умова: вантаж масою 100 кг втягують по похилій площині заввишки 1,8 м і завдовжки 6 м. ККД механізму становить 75 %. g = 10 м/с². Знайди прикладену силу в Н.

Розв'язання. Корисна робота: A_кор = mgh = 100·10·1,8 = 1800 Дж. ККД η = 75 % = 0,75. Повна робота:

$$A_{\text{повн}}=\frac{A_{\text{кор}}}{\eta }=\frac{1800}{0,75}=2400\text{Дж}$$

Повна робота також дорівнює F·l, звідки:

$$F=\frac{A_{\text{повн}}}{l}=\frac{2400}{6}=400\text{Н}$$

Відповідь: 400.

Поширена помилка: обчислити силу без урахування ККД, тобто F = mgh/l = 1800/6 = 300 Н. Це сила для ідеальної похилої площини без тертя. Реальна сила більша, бо частина роботи витрачається на тертя.

• Поміняти місцями корисну й повну роботу й отримати ККД понад 100 %. Запам'ятай: корисна робота завжди менша за повну, тому ККД завжди менший за 100 %. Якщо твій ККД вийшов більшим за 100 %, ти, найімовірніше, переплутав чисельник і знаменник.

• Вважати, що рухомий блок дає виграш у роботі, а не лише в силі. Золоте правило механіки категоричне: виграшу в роботі не дає жоден простий механізм. Рухомий блок зменшує силу вдвічі, але подвоює шлях — добуток сили на шлях залишається незмінним.

• Забути, що кінець мотузки в рухомому блоці проходить удвічі більший шлях, ніж вантаж. Це критично для обчислення повної роботи: A_повн = F·s, де s = 2h. Якщо взяти s = h, повна робота буде занижена вдвічі, а ККД — завищений.

• Брати довжину похилої площини замість висоти в корисній роботі mgh. Корисна робота — це підняття вантажу на висоту h, а не переміщення вздовж площини l. Формула A_кор = mgh, а A_повн = F·l.

• Не враховувати вагу рухомого блока, хоча вона дана в умові. Якщо в задачі сказано «блок масою ...», цю масу треба додати до маси вантажу при обчисленні сили: F = (P_вантажу + P_блока) / 2.

Загальна формула ККД (η = A_кор / A_повн · 100 %) і формули роботи (A = F·s, A = mgh) є в довідкових матеріалах НМТ. Однак ККД похилої площини як окремий випадок у довідці відсутній — його треба виводити із загальної формули. Також без довідки треба знати золоте правило механіки: «виграш у силі — програш у відстані».

Програма НМТ (тема 1.3) вимагає вміти обчислювати роботу, потужність і ККД простих механізмів. У демонстраційному варіанті 2026 року тема 1.3 представлена завданням № 3.

У формі з короткою відповіддю (завдання № 17–22, 0 або 2 бали) ККД може бути одним із кроків розв'язання або кінцевою відповіддю. Відповідь — число в одиницях, зазначених в умові (зазвичай Н, Дж або %).

Стратегія: спочатку визнач, яка робота в задачі є корисною (те, заради чого використовують механізм), а яка — повною (робота прикладеної сили). Потім застосуй формулу ККД. Якщо ККД дано, а треба знайти силу — спочатку обчисли повну роботу діленням, а потім силу.

• Золоте правило механіки: виграш у силі супроводжується програшем у відстані, виграшу в роботі немає.

• Нерухомий блок змінює напрям сили, рухомий блок дає виграш у силі вдвічі, але кінець мотузки проходить удвічі більший шлях.

• ККД: η = A_кор / A_повн · 100 %, завжди менший за 100 %.

• Похила площина: корисна робота A_кор = mgh, повна робота A_повн = F·l.

• Якщо дано ККД, повну роботу знаходять діленням: A_повн = A_кор / η.