Закон збереження механічної енергії

Повна механічна енергія тіла або системи тіл — це сума кінетичної та потенціальної енергії: E = Eк + Eп. У замкненій системі, де діють лише сили тяжіння й пружності, повна механічна енергія зберігається. Це означає, що в будь-якій точці траєкторії сума Eк та Eп однакова: Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂. Жодна сила всередині системи не «забирає» механічну енергію — вона лише переходить з одного виду в інший.

Розгляньмо вільне падіння тіла з висоти h без початкової швидкості. На початку (точка 1) тіло має лише потенціальну енергію: Eп₁ = mgh, Eк₁ = 0. Біля землі (точка 2) уся потенціальна енергія перейшла в кінетичну: Eк₂ = mv²/2, Eп₂ = 0. За законом збереження: mgh = mv²/2, звідки v = √(2gh). Зверни увагу: швидкість біля землі не залежить від маси тіла — це наслідок того, що маса скорочується в обох частинах рівняння.

Тепер розгляньмо тіло, кинуте вертикально вгору зі швидкістю v₀. На початку (біля землі) Eк₁ = mv₀²/2, Eп₁ = 0. У найвищій точці швидкість дорівнює нулю, тому Eк₂ = 0, а Eп₂ = mgh_max. Звідси mv₀²/2 = mgh_max, отже h_max = v₀²/(2g). На цій висоті вся кінетична енергія перетворилася на потенціальну.

Для гірки, гойдалки чи маятника без тертя діє те саме правило: швидкість у нижній точці залежить лише від різниці висот, а не від форми траєкторії. Сила натягу нитки (у маятнику) або нормальна реакція опори (на гірці) напрямлена перпендикулярно до переміщення, тому ці сили роботи не виконують. У кожній проміжній точці Eк й Eп змінюються, але їхня сума лишається сталою. Графічно це виглядає як «переливання» одного виду енергії в інший: коли тіло спускається, потенціальна енергія зменшується, а кінетична зростає, і навпаки.

Коли в системі є пружина, повна механічна енергія складається з трьох доданків: кінетичної енергії тіла, потенціальної енергії пружно деформованої пружини та потенціальної енергії тіла в полі тяжіння. Для замкненої системи без тертя виконується:

mv²/2 + kx²/2 + mgh = const

де m — маса тіла, v — його швидкість, k — жорсткість пружини, x — деформація (розтяг або стиск), h — висота над нульовим рівнем.

Розгляньмо горизонтальний пружинний маятник. У положенні рівноваги пружина не деформована (x = 0), тому вся енергія зосереджена в кінетичній: mv²/2. У крайньому положенні швидкість дорівнює нулю, а вся енергія переходить у потенціальну енергію пружини: kx_max²/2. У проміжних точках енергія «переливається» між кінетичною та потенціальною.

Приклад. Кулька масою 20 г (0,020 кг) вилітає горизонтально з пружинної гармати. Пружина жорсткістю 100 Н/м стиснута на 4 см (0,04 м). Якою буде швидкість кульки?

Розв'язання. Уся потенціальна енергія стиснутої пружини переходить у кінетичну енергію кульки: kx²/2 = mv²/2. Звідси v = x · √(k/m) = 0,04 · √(100 / 0,020) = 0,04 · √5000 ≈ 0,04 · 70,7 ≈ 2,8 м/с.

Для тіла на вертикальній пружині повна енергія містить усі три доданки: mgh (висота над нульовим рівнем), kx²/2 (деформація пружини) і mv²/2. У найнижчій точці, де стиснення максимальне, швидкість дорівнює нулю — уся енергія зберігається в пружині та гравітаційному полі.

Важливо розрізняти типи зіткнень. Під час пружного удару (наприклад, зіткнення двох сталевих куль) механічна енергія системи зберігається, бо деформація тіл пружна: після удару вони відновлюють форму. Під час абсолютно непружного удару (наприклад, куля застрягає в бруску) механічна енергія не зберігається — частина її переходить у внутрішню енергію (нагрівання, залишкова деформація).

У реальному світі майже завжди діють сили тертя. Коли в системі є тертя, вона перестає бути замкненою в механічному сенсі: частина механічної енергії переходить у внутрішню енергію тіл (нагрівання). Повна механічна енергія при цьому зменшується.

Зміна повної механічної енергії системи дорівнює роботі зовнішніх непотенціальних сил, зокрема сил тертя:

E₂ − E₁ = A_тертя < 0

Різниця E₁ − E₂ переходить у внутрішню енергію тіл, тобто в тепло: Q = |A_тертя|. Це не означає, що енергія «зникла» — просто вона перестала бути механічною. Повна енергія (механічна + внутрішня) зберігається завжди — це загальний закон збереження енергії.

Загальне співвідношення: зміна механічної енергії дорівнює роботі всіх зовнішніх непотенціальних сил, у тому числі тертя й сили тяги. Якщо сила тяги виконує додатну роботу, механічна енергія зростає; якщо тертя виконує від'ємну роботу — зменшується.

Приклад: санки з гірки

Санки з'їжджають з гірки висотою 5 м. Біля підніжжя їхня швидкість становить 8 м/с (g = 10 м/с²). Порівняймо енергії на одиницю маси:

Отже, 18 Дж/кг механічної енергії перейшло у внутрішню (нагрівання санок і снігу). Якби тертя не було, швидкість біля підніжжя становила б √(2·10·5) = 10 м/с, а не 8 м/с.

Ще один приклад: тіло, що рухається по горизонтальній поверхні з початковою швидкістю v, зупиняється під дією сили тертя. Робота сили тертя дорівнює зміні кінетичної енергії: −μmgs = 0 − mv²/2, звідки гальмівний шлях s = v²/(2μg). Це збігається з висновком теореми про кінетичну енергію.

Під час абсолютно непружного удару тіла після зіткнення рухаються разом як одне ціле. У такому процесі виконується закон збереження імпульсу, але механічна енергія не зберігається — частина її переходить у внутрішню енергію (нагрівання, залишкова деформація).

Для двох тіл масами m і M, що рухаються зі швидкостями v₁ і v₂ до удару, після непружного удару вони мають спільну швидкість u. Імпульс зберігається: mv₁ + Mv₂ = (m + M)u. Механічна енергія зменшується на величину:

Q = (mv₁²/2 + Mv₂²/2) − (m + M)u²/2

Ця Q — кількість механічної енергії, що перейшла у внутрішню.

Балістичний маятник

Балістичний маятник — класичний приклад комбінованої задачі. Куля масою m, що летить горизонтально зі швидкістю v, застрягає в підвішеному бруску масою M. Після удару брусок із кулею відхиляються, піднімаючись на висоту h.

Розв'язання складається з двох етапів:

1. Етап 1 — удар. Застосовуємо закон збереження імпульсу: m·v = (m + M)·u, де u — спільна швидкість одразу після удару.

2. Етап 2 — рух після удару. Система (брусок + куля) рухається в полі тяжіння без тертя, тому застосовуємо закон збереження механічної енергії: (m + M)u²/2 = (m + M)gh.

З другого рівняння знаходимо u = √(2gh). Підставляємо в перше: v = (m + M)·√(2gh) / m.

Зверни увагу: не можна застосовувати закон збереження механічної енергії до всього процесу «від пострілу до підняття», тому що на етапі непружного удару частина механічної енергії втрачається (переходить у внутрішню). Саме тому задачу розбивають на етапи: на кожному етапі діє свій закон збереження.

Приклад 1. Камінь кидають вгору

Камінь кидають вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. На якій висоті його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній? g = 10 м/с².

Розв'язання. Позначимо шукану висоту h. У цій точці Eк = Eп, тобто mv²/2 = mgh. Повна механічна енергія зберігається, тому початкова кінетична енергія дорівнює сумі кінетичної та потенціальної на висоті h:

mv₀²/2 = mv²/2 + mgh = mgh + mgh = 2mgh

Скорочуємо m: v₀²/2 = 2gh → h = v₀²/(4g) = 20²/(4·10) = 400/40 = 10 м.

Відповідь: 10 м.

Типова помилка: учні іноді прирівнюють mv₀²/2 = mgh і отримують h = v₀²/(2g) = 20 м, забуваючи, що на шуканій висоті тіло ще має кінетичну енергію.

Приклад 2. Брусок зісковзує з гірки з тертям

Брусок масою 2 кг зісковзує з гірки висотою 4 м. Біля підніжжя його швидкість становить 6 м/с. g = 10 м/с². Знайди модуль роботи сили тертя в джоулях.

Розв'язання. Початкова потенціальна енергія: Eп₁ = mgh = 2·10·4 = 80 Дж. Початкова кінетична енергія: Eк₁ = 0. Кінетична енергія біля підніжжя: Eк₂ = mv²/2 = 2·6²/2 = 36 Дж. Потенціальна енергія біля підніжжя: Eп₂ = 0.

Зміна механічної енергії: ΔE = E₂ − E₁ = (36 + 0) − (80 + 0) = −44 Дж. Ця зміна дорівнює роботі сили тертя: A_тертя = −44 Дж. Модуль роботи: |A_тертя| = 44 Дж.

Відповідь: 44 Дж.

Типова помилка: не врахувати тертя й обчислити швидкість за законом збереження енергії: v = √(2·10·4) ≈ 8,9 м/с, що не збігається з умовою.

Приклад 3. Куля застрягає в бруску

Куля масою m, що летить горизонтально, застрягає в нерухомому бруску масою M, підвішеному на нитці. Як змінюються імпульс і повна механічна енергія системи «куля + брусок» унаслідок цього удару?

Розв'язання. Під час абсолютно непружного удару зовнішні сили (сила тяжіння та сила натягу нитки) в горизонтальному напрямку не діють, тому імпульс системи в горизонтальному напрямку зберігається. Механічна енергія не зберігається, оскільки частина її переходить у внутрішню (нагрівання, деформація).

Правильна відповідь: імпульс зберігається, механічна енергія зменшується.

Типова помилка: вважати, що механічна енергія теж зберігається, і застосовувати mv²/2 = (m + M)u²/2.

Приклад 4. Балістичний маятник

Куля масою 10 г влучає в брусок масою 990 г, підвішений на нитці, і застрягає в ньому. Брусок із кулею піднімається на висоту 0,2 м. Знайди швидкість кулі перед ударом. g = 10 м/с².

Розв'язання. Етап 1 — удар. Закон збереження імпульсу: m·v = (m + M)·u, де u — спільна швидкість одразу після удару.

Етап 2 — рух після удару. Закон збереження механічної енергії: (m + M)u²/2 = (m + M)gh. Звідси u = √(2gh) = √(2·10·0,2) = √4 = 2 м/с.

Підставляємо в закон імпульсу: v = (m + M)·u / m = (0,010 + 0,990)·2 / 0,010 = 1·2 / 0,01 = 200 м/с.

Відповідь: 200 м/с.

Типова помилка: застосувати закон збереження енергії до всього процесу: mv²/2 = (m + M)gh, що дало б v = √(2·(m+M)·gh/m) — неправильно, бо частина енергії втрачається під час удару.

• Застосовувати закон збереження механічної енергії до непружного удару. Насправді під час непружного удару частина механічної енергії переходить у внутрішню, тому закон збереження механічної енергії не виконується. Правильно: застосовуй закон збереження імпульсу до удару, а закон збереження енергії — до руху після удару.

• Ігнорувати роботу сили тертя й вважати санки, що з'їхали з гірки, швидшими, ніж вони є. Якщо в умові дано реальну швидкість біля підніжжя, меншу за √(2gh), то тертя діяло. Правильно: обчислити різницю між початковою потенціальною енергією та кінцевою кінетичною — це і є робота сили тертя.

• Плутати «енергія зникла» з «енергія перейшла у внутрішню». Повна енергія (механічна + внутрішня) зберігається завжди. Механічна енергія може зменшуватися, але вона не зникає — вона перетворюється на внутрішню (тепло). Правильно: говорити про перехід енергії, а не про її зникнення.

• Не вибрати нульовий рівень потенціальної енергії й змішувати висоти від різних початків. Потенціальна енергія mgh визначена відносно обраного нульового рівня. Правильно: завжди чітко позначати, де h = 0, і послідовно використовувати цей рівень для всіх точок.

• У балістичному маятнику застосувати збереження енергії до всього процесу, починаючи з кулі. Це дає неправильний результат, бо на етапі непружного удару механічна енергія втрачається. Правильно: розбити задачу на два етапи — спершу закон збереження імпульсу (удар), потім закон збереження енергії (рух після удару).

Закон збереження механічної енергії, формула повної механічної енергії, співвідношення A = ΔE та закон збереження імпульсу є в довідкових матеріалах НМТ. Умови застосування цих законів у довіднику не наведено — їх треба знати й розуміти самостійно.

Програма НМТ з фізики (тема 1.3 «Закони збереження в механіці») вимагає вміти розв'язувати комбіновані задачі, що поєднують кілька розділів механіки: наприклад, спершу закон збереження імпульсу під час удару, потім закон збереження енергії для руху після удару. Такі задачі трапляються серед завдань з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті НМТ). Завдання з короткою відповіддю оцінюють у 0 або 2 бали; відповідь — число в одиницях, зазначених в умові.

Стратегія розв'язання задач на закон збереження енергії:

1. Намалюй початковий і кінцевий стани системи. Познач усі відомі величини.

2. Перевір, чи є система замкненою: чи діють лише сили тяжіння й пружності? Чи є тертя? Чи відбувається непружний удар?

3. Вибери нульовий рівень потенціальної енергії. Найзручніше — рівень землі або найнижча точка траєкторії.

4. Запиши баланс енергій: Eк₁ + Eп₁ + A_тертя = Eк₂ + Eп₂ (якщо тертя є, A_тертя < 0).

5. Якщо задача містить удар, розбий її на етапи: спершу закон збереження імпульсу, потім закон збереження енергії.

• Без тертя й непружних процесів Eк + Eп = const — це закон збереження механічної енергії.

• З тертям E₂ − E₁ = A_тертя, різниця йде у внутрішню енергію (нагрівання). Повна енергія (механічна + внутрішня) зберігається завжди.

• Непружний удар: імпульс зберігається, механічна енергія — ні. Частина механічної енергії переходить у внутрішню.

• Комбінована задача — поетапно: спершу закон збереження імпульсу (удар), потім закон збереження енергії (рух після удару).