Прямокутний паралелепіпед і куб

Прямокутний паралелепіпед — це многогранник, усі шість граней якого є прямокутниками. Уявіть звичайну коробку з-під взуття або цеглину: кожна грань — це прямокутник, а протилежні грані рівні між собою та лежать у паралельних площинах. Прямокутний паралелепіпед має 12 ребер і 8 вершин.

Три основні виміри паралелепіпеда позначають літерами a (довжина), b (ширина) і c (висота). Ребра утворюють три групи по чотири рівні паралельні ребра: по чотири ребра завдовжки a, по чотири завдовжки b і по чотири завдовжки c. Тому сума довжин усіх ребер дорівнює 4(a + b + c). Прямокутний паралелепіпед — це окремий випадок прямої призми, в основі якої лежить прямокутник.

Позначення

Вершини прямокутного паралелепіпеда позначають так, як показано на рисунку: нижню основу — ABCD, верхню основу — A₁B₁C₁D₁. Тоді бічні ребра — це AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Усі бічні ребра рівні між собою та дорівнюють висоті c.

Куб — окремий випадок

Куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі три виміри рівні: a = b = c. Отже, усі шість граней куба — рівні квадрати. Куб має 12 ребер однакової довжини, тому сума довжин усіх ребер куба дорівнює 12a.

Приклад: каркас коробки

Скільки сантиметрів дроту потрібно, щоб виготовити каркас коробки розміром 30 × 20 × 10 см? Сума довжин усіх ребер: a = 30 см, b = 20 см, c = 10 см. 4(a + b + c) = 4 · (30 + 20 + 10) = 4 · 60 = 240 см.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда — це місткість фігури, тобто скільки простору вона займає. Формула об'єму проста: V = abc, де a, b, c — довжини трьох вимірів. Оскільки прямокутний паралелепіпед — це пряма призма, його об'єм можна також обчислити як добуток площі основи на висоту: V = Sосн · c, де Sосн = ab.

Для куба, в якого всі виміри рівні (a = b = c), формула спрощується: V = a³.

Площа поверхні

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда — це сума площ усіх шести граней. Протилежні грані рівні, тому маємо три пари однакових прямокутників: дві грані a × b, дві грані b × c і дві грані a × c. Звідси формула:

S = 2(ab + bc + ac)

Для куба S = 6a², бо кожна з шести граней — квадрат зі стороною a.

Приклад: паралелепіпед 5 × 4 × 3

Об'єм: V = 5 · 4 · 3 = 60 (кубічних одиниць). Площа поверхні: S = 2(5·4 + 4·3 + 5·3) = 2(20 + 12 + 15) = 2 · 47 = 94 (квадратних одиниць).

Обернені задачі

Знаючи об'єм куба, можна знайти його ребро: a = ∛V. Наприклад, куб з об'ємом 64 має ребро a = 4, а його площа поверхні S = 6 · 16 = 96.

Знаючи площу поверхні куба, знаходимо ребро: a² = S / 6, потім a = √(S/6). Якщо S = 150, то a² = 150 / 6 = 25, отже a = 5.

Якщо відомі об'єм V і дві сторони основи, висоту знаходимо як c = V / (ab). Наприклад, паралелепіпед з V = 120 і дном 5 × 4 має висоту c = 120 / 20 = 6.

Як змінюються величини

Якщо ребро куба збільшити вдвічі, нова довжина ребра — 2a. Тоді площа поверхні стане S' = 6(2a)² = 6 · 4a² = 4 · 6a² = 4S, тобто зросте в 4 рази. Об'єм стане V' = (2a)³ = 8a³ = 8V, тобто зросте у 8 разів. Ця закономірність важлива: лінійне збільшення розмірів дає квадратичне зростання площі й кубічне зростання об'єму.

У прямокутному паралелепіпеді є два типи діагоналей: діагональ грані та діагональ самого паралелепіпеда. Важливо навчитися їх розрізняти, бо на НМТ ці поняття часто плутають.

Діагональ грані

Діагональ грані — це відрізок, що з'єднує дві протилежні вершини однієї грані. Якщо грань — прямокутник зі сторонами a та b, то її діагональ обчислюють за теоремою Піфагора: dграні = √(a² + b²). Наприклад, діагональ грані 3 × 4 дорівнює √(9 + 16) = √25 = 5.

Діагональ паралелепіпеда

Діагональ прямокутного паралелепіпеда з'єднує дві вершини, що не лежать в одній грані. Наприклад, вершину A нижньої основи з вершиною C₁ верхньої основи (AC₁). У прямокутному паралелепіпеді є чотири такі діагоналі (AC₁, BD₁, CA₁, DB₁), і всі вони рівні між собою.

Формулу для діагоналі d виводять за теоремою Піфагора двічі. Спочатку знаходять діагональ основи AC = √(a² + b²). Потім розглядають прямокутний трикутник ACC₁, де катет AC — діагональ основи, а катет CC₁ = c — висота. Звідси:

d² = AC² + CC₁² = a² + b² + c², тобто d = √(a² + b² + c²)

Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда перетинаються в одній точці — центрі симетрії — і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі куба

Для куба з ребром a діагональ грані дорівнює a√2 (бо грань — квадрат зі стороною a). Діагональ куба: d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3.

Приклади обчислень

• Паралелепіпед 3 × 4 × 12: d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13

• Куб з ребром 2: d = 2√3 (діагональ куба), діагональ грані = 2√2

• Діагональ куба дорівнює 6√3, знайдіть ребро: a√3 = 6√3 ⇒ a = 6

Задачі практичного змісту трапляються на НМТ і зі стереометрії: програма прямо вимагає вміти їх розв'язувати. Вони перевіряють твій навик застосовувати формули в реальних ситуаціях: скільки води в акваріумі, скільки фарби потрібно для кімнати, який об'єм коробки.

Переведення одиниць об'єму

В усіх практичних задачах спершу переконайся, що всі виміри подано в одних одиницях. Основні співвідношення:

• 1 л = 1 дм³ = 1000 см³

• 1 мл = 1 см³

• 1 м³ = 1000 дм³ = 1000 л

Найпоширеніша пастка: отримавши об'єм у см³, не перевести його в літри, поділивши на 1000. Пам'ятай: 45 000 см³ — це не 45 000 л, а 45 л.

Задача про акваріум

Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда з довжиною 50 см, шириною 30 см і висотою 40 см. Воду налили до висоти 32 см. Скільки літрів води в акваріумі?

Важливо: висоту беремо до рівня води (32 см), а не до висоти акваріума (40 см). Об'єм води:

V = 50 · 30 · 32 = 48 000 см³ = 48 дм³ = 48 л

Задача про фарбування кімнати

Кімната завдовжки 5 м, завширшки 4 м і заввишки 2,5 м. Скільки квадратних метрів стін треба пофарбувати?

Стіни кімнати — це бічна поверхня прямокутного паралелепіпеда. Площа стін: Sстін = 2(a + b) · h, де a — довжина, b — ширина, h — висота. Підлогу й стелю не додаємо. Якщо в кімнаті є вікна й двері, їхню площу віднімаємо:

S = 2(5 + 4) · 2,5 = 2 · 9 · 2,5 = 45 м²

Якщо в задачі дано площу вікон і дверей (скажімо, 6 м²), то фарбувати треба 45 − 6 = 39 м². Кількість банок фарби завжди округлюють угору.

Коробка без кришки

Якщо коробка не має кришки (наприклад, для пакування подарунка), то площа поверхні, яку треба обклеїти, складається з дна ab і чотирьох бічних граней:

S = ab + 2(ac + bc)

Тут ab — дно, а дві пари бічних граней — ac і bc.

Розгляньмо типові завдання НМТ та розв'яжемо їх крок за кроком.

Приклад 1. Кількість ребер

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти): Скільки ребер має прямокутний паралелепіпед?

Розв'язання: Прямокутний паралелепіпед має 12 ребер: 4 ребра довжиною a, 4 — довжиною b і 4 — довжиною c. Відповідь: 12.

Чому інші варіанти неправильні? 6 — це кількість граней; 8 — кількість вершин; 24 і 4 — не відповідають жодному з елементів паралелепіпеда.

Приклад 2. Діагональ паралелепіпеда

Завдання (вибір однієї з п'яти): Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда з вимірами 2, 3 і 6.

Розв'язання: d = √(a² + b² + c²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Відповідь: 7.

Типові помилки: √13 — це діагональ грані 2 × 3; 3√5 — діагональ грані 3 × 6; 11 — сума вимірів, а не діагональ; 49 — квадрат діагоналі, а не сама діагональ.

Приклад 3. Акваріум

Завдання (коротка відповідь — число): Акваріум у формі прямокутного паралелепіпеда має дно 60 × 25 см. Вода стоїть на висоті 30 см. Скільки літрів води в акваріумі?

Розв'язання: V = 60 · 25 · 30 = 45 000 см³. Переводимо в літри: 45 000 см³ = 45 дм³ = 45 л. Відповідь: 45.

Пастки: 45 000 (не перевели см³ у літри); 4,5 (помилково вважали, що 1 л = 10 000 см³).

Приклад 4. Фарбування кімнати

Завдання (коротка відповідь): Кімната завдовжки 6 м, завширшки 4 м і заввишки 2,5 м. Вікна й двері разом займають 5,5 м². Скільки квадратних метрів стін треба пофарбувати?

Розв'язання: Площа стін = 2(a + b) · h = 2 · (6 + 4) · 2,5 = 2 · 10 · 2,5 = 50 м². Віднімаємо вікна й двері: 50 − 5,5 = 44,5 м². Відповідь: 44,5.

Пастки: 50 (не відняли вікна й двері); 92,5 (додали підлогу 6·4 = 24 і стелю 24 до 44,5).

Приклад 5. Площа поверхні та об'єм куба

Завдання (вибір однієї з п'яти): Площа поверхні куба дорівнює 54. Знайдіть його об'єм.

Розв'язання: S = 6a² = 54 ⇒ a² = 9 ⇒ a = 3. Тоді V = a³ = 27. Відповідь: 27.

Чому інші варіанти неправильні? 9 — це площа однієї грані (a²); 729 — отримали, якщо взяти a = 9 (не добули корінь); 54 — площа поверхні, а не об'єм; 18 — помилкове ділення 54 / 3.

• Плутають діагональ грані з діагоналлю паралелепіпеда. Діагональ грані — √(a² + b²), діагональ паралелепіпеда — √(a² + b² + c²). Завжди перевіряй, скільки вимірів входить у формулу.

• У площі поверхні рахують лише три різні грані й забувають множник 2. Прямокутний паралелепіпед має шість граней, але три пари однакових. Правильна формула: S = 2(ab + bc + ac).

• Не переводять одиниці. Множать сантиметри на метри або вважають, що 1 м³ = 100 л. Запам'ятай: 1 м³ = 1000 л, а всі виміри перед обчисленням мають бути в одній одиниці.

• У задачі про фарбування додають підлогу й стелю. Коли фарбують стіни кімнати, площа стін — це бічна поверхня: 2(a + b) · h. Підлогу й стелю не фарбують (якщо в умові не сказано інше). Не забудь відняти площу вікон і дверей.

• Плутають кількість граней, ребер і вершин. У прямокутного паралелепіпеда та куба: 6 граней, 12 ребер, 8 вершин. Легко переплутати ці числа між собою.

• З площі поверхні куба знаходять ребро як S / 6, не добуваючи квадратного кореня. Якщо S = 54, то a² = 54 / 6 = 9, тому a = √9 = 3. Не забувай добувати корінь!

Тема «Прямокутний паралелепіпед і куб» належить до теми «Многогранники, тіла обертання» розділу «Стереометрія» програми НМТ. Програма вимагає розв'язувати задачі, зокрема практичного змісту, на обчислення об'ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

Формат завдань

• Серед позицій 1–3 тесту може трапитися найпростіший факт геометрії (наприклад, кількість граней призми). Формат: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). Оцінювання: 0 або 1 бал без часткових. Це дешевий бал до порогу (5 тестових балів із 32).

• Позиція № 21 бланка — коротка відповідь зі стереометрії. Формат: одне число десятковим дробом, без одиниць виміру. Оцінювання: 0 або 2 бали без часткових.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах НМТ наведено формули: V = Sосн · H (об'єм призми) і Sбічна = Pосн · H (бічна поверхня призми). Оскільки прямокутний паралелепіпед — це пряма призма, ці формули можна застосовувати. Теорема Піфагора також є в довідкових матеріалах — з неї ти виведеш формулу діагоналі. Площу повної поверхні доведеться складати самостійно з окремих граней.

Стратегія

Для впевненого розв'язання задач з цієї теми на НМТ тобі потрібно: знати напам'ять формули об'єму та площі поверхні прямокутного паралелепіпеда й куба; уміти виводити формулу діагоналі за теоремою Піфагора; вільно переводити кубічні одиниці (особливо см³ → літри); уважно читати умову практичних задач і визначати, які грані входитимуть у розрахунок.

• Елементи: прямокутний паралелепіпед і куб мають 6 граней, 12 ребер і 8 вершин. Сума довжин усіх ребер паралелепіпеда: 4(a + b + c); куба: 12a.

• Об'єм: V = abc (паралелепіпед), V = a³ (куб).

• Площа поверхні: S = 2(ab + bc + ac) (паралелепіпед), S = 6a² (куб).

• Діагональ: d² = a² + b² + c², d = √(a² + b² + c²). Діагональ куба: a√3. Діагональ грані куба: a√2.

• Одиниці об'єму: 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 л.

• Стіни кімнати: бічна поверхня 2(a + b)h, мінус площа вікон і дверей. Підлогу й стелю не додаємо.