Подібні трикутники: ознаки й відношення площ

Уявіть дві фотографії одного будинку: одну надрукували розміром 10 × 15 см, а другу — 20 × 30 см. Обидві зображують те саме, тільки друга в два рази більша за першу. У геометрії таку саму ідею описує поняття подібності: фігури мають однакову форму, але різні розміри.

Означення подібних трикутників

Два трикутники називають подібними, якщо в них відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Записують це так: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Це означає, що виконуються дві умови:

• ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ — усі три пари кутів рівні;

• AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁ = k — відношення довжин відповідних сторін є одним і тим самим числом.

Число k називають коефіцієнтом подібності. Якщо k = 1, то трикутники не просто подібні, а рівні — їхні сторони збігаються за довжиною.

Як визначити, які сторони відповідні?

Відповідні сторони лежать навпроти рівних кутів. Наприклад, якщо ∠A = ∠A₁, то сторони BC і B₁C₁, які лежать навпроти цих кутів, є відповідними. Саме тому важливо записувати вершини в порядку відповідності: запис △ABC ∼ △A₁B₁C₁ означає, що A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Якщо переплутати порядок, то й сторони зіставляться неправильно.

На практиці зручно користуватися таким правилом: найменша сторона першого трикутника відповідає найменшій стороні другого, середня — середній, найбільша — найбільшій.

Відношення інших лінійних елементів

Подібність трикутників не обмежується сторонами. Усі лінійні розміри, які можна виміряти в трикутнику, змінюються з тим самим коефіцієнтом k. Зокрема:

• відношення відповідних медіан дорівнює k;

• відношення відповідних бісектрис дорівнює k;

• відношення відповідних висот дорівнює k;

• відношення периметрів дорівнює k.

Це випливає з того, що кожен із цих елементів можна виразити через сторони, а сторони пропорційні з коефіцієнтом k. Отже, якщо ви знаєте k, ви можете знайти будь-який лінійний елемент одного трикутника, знаючи відповідний елемент другого.

Щоб довести, що два трикутники подібні, не обов'язково перевіряти всі три кути й усі три відношення сторін. Існують три ознаки подібності, які дозволяють встановити подібність за меншою кількістю даних.

Перша ознака: за двома кутами

Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Формально: якщо ∠A = ∠A₁ і ∠B = ∠B₁, то △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Третій кут при цьому обов'язково дорівнює третьому куту, оскільки сума кутів трикутника завжди 180°.

На рисунках рівні кути можна побачити в різних ситуаціях:

• спільний кут — обидва трикутники мають одну й ту саму вершину (наприклад, ∠B — спільний у △ABC і △MBN);

• вертикальні кути — утворюються при перетині двох прямих і завжди рівні;

• кути при паралельних прямих — відповідні або внутрішні різносторонні кути, утворені паралельними прямими й січною, рівні.

Друга ознака: за двома пропорційними сторонами й кутом між ними

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то трикутники подібні. Тобто якщо AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁ і ∠A = ∠A₁, то △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Важливо, що кут лежить саме між тими сторонами, які ми порівнюємо. Якщо взяти сторони AB і AC, то кут між ними — ∠A. Якщо співвідношення сторін правильне, а кут не той, ознака не працює.

Третя ознака: за трьома пропорційними сторонами

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого, то трикутники подібні. Це означає, що AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁.

Розгляньмо приклад. Нехай сторони першого трикутника дорівнюють 4, 6, 8, а другого — 6, 9, 12. Упорядкуймо їх за зростанням: 4, 6, 8 і 6, 9, 12. Поділімо кожну сторону другого на відповідну сторону першого: 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5; 12/8 = 1,5. Усі три відношення однакові, отже k = 1,5, і трикутники подібні.

Перевірка третьої ознаки: упорядкуйте сторони обох трикутників за зростанням (найменша до найменшої, середня до середньої, найбільша до найбільшої) і поділіть попарно. Якщо всі три частки однакові — трикутники подібні.

Окремі випадки

Будь-які два рівносторонні трикутники завжди подібні, оскільки всі їхні кути по 60°, і сторони пропорційні з коефіцієнтом, що дорівнює відношенню сторін.

Рівнобедрені трикутники подібні, якщо в них рівні кути при вершинах (або, що те саме, рівні кути при основах). Наприклад, два рівнобедрені трикутники з кутом при вершині 40° подібні: в обох кути при основі дорівнюють по 70°. А от рівність кута при вершині одного трикутника й кута при основі другого подібності не гарантує.

Два прямокутні трикутники подібні, якщо мають по рівному гострому куту. Оскільки прямі кути (90°) в обох трикутниках уже рівні, достатньо ще однієї пари рівних кутів, і перша ознака спрацьовує.

Це одна з типових конфігурацій у задачах на подібність: у трикутнику проводять пряму, паралельну одній зі сторін. Вона відтинає менший трикутник, подібний до початкового.

Основна конфігурація

Нехай у трикутнику ABC пряма MN ∥ AC, де точка M лежить на AB, а точка N — на BC. Тоді трикутник MBN подібний до трикутника ABC за першою ознакою (за двома кутами): кут B — спільний, а ∠BMN = ∠BAC як відповідні кути при паралельних прямих MN і AC та січній AB.

Коефіцієнт подібності дорівнює k = BM / BA. Важливо запам'ятати: у знаменнику стоїть уся сторона BA, а не її частина MA.

Поширена помилка: брати k = BM / MA. Це неправильно! Коефіцієнт подібності — це відношення відповідних сторін трикутників. Стороні BM у малому трикутнику відповідає вся сторона BA у великому, а не відрізок MA.

Приклад: BM = 4, MA = 6, отже BA = BM + MA = 10. Сторона AC = 15. Тоді k = BM / BA = 4 / 10 = 0,4. Шукаємо MN: MN / AC = k, отже MN = 15 · 0,4 = 6.

Конфігурація «пісочний годинник»

Інша поширена конфігурація: дві прямі AB і CD паралельні, а відрізки AD і BC перетинаються в точці O. Тоді трикутники AOB і DOC подібні за першою ознакою:

• ∠AOB = ∠DOC як вертикальні;

• ∠OAB = ∠ODC як внутрішні різносторонні при паралельних AB ∥ CD і січній AD.

Звідси випливає пропорція: AO / OD = BO / OC = AB / DC. Це дозволяє знаходити невідомі відрізки, якщо відомі три з чотирьох.

Оскільки периметр — це сума довжин сторін, а кожна сторона подібного трикутника змінюється в k разів, то й периметр змінюється в k разів. Формально: якщо △ABC ∼ △A₁B₁C₁ з коефіцієнтом k, то P(ABC) / P(A₁B₁C₁) = k.

З площею ситуація інша. Площа трикутника — двовимірна величина: вона залежить від добутку довжин основи й висоти. Якщо кожен лінійний розмір змінюється в k разів, то площа змінюється в k² разів. Отже:

S₁ / S₂ = k² — відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Наприклад, якщо k = 3, то площі відносяться як 9 : 1. Якщо площа меншого трикутника дорівнює 5, то площа більшого — 5 · 9 = 45.

Задача з паралельною прямою

Нехай пряма, паралельна стороні AC, ділить сторону AB у відношенні BM : MA = 2 : 3, рахуючи від вершини B. Тоді BM = 2x, MA = 3x, BA = 5x. Коефіцієнт подібності малого трикутника MBN до великого ABC: k = BM / BA = 2x / 5x = 2/5.

Площа відтятого трикутника MBN: S(MBN) = S(ABC) · k² = S(ABC) · (4/25). Якщо S(ABC) = 50, то S(MBN) = 50 · 4/25 = 8. Площа утвореної трапеції AMNC: S(трап) = S(ABC) − S(MBN) = 50 − 8 = 42.

Обернені задачі: від площ до k

Буває, що відомі площі двох подібних трикутників, а треба знайти коефіцієнт подібності. Оскільки S₁ / S₂ = k², то k = √(S₁ / S₂). Розгляньмо два приклади.

Приклад 1. Площі двох подібних трикутників дорівнюють 16 і 25. Тоді відношення площ — 16/25, отже k = 4/5 (менший до більшого) або k = 5/4 (більший до меншого). Важливо чітко визначити, який трикутник у чисельнику.

Приклад 2. Площі дорівнюють 18 і 50. Відношення площ — 18/50 = 9/25, отже k = 3/5. Якщо периметр меншого трикутника дорівнює 12, то периметр більшого: P(більш) = P(менш) / k = 12 / (3/5) = 12 · 5/3 = 20.

Прямокутний трикутник має особливу властивість: висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи, ділить його на два менші прямокутні трикутники, кожен із яких подібний до початкового й подібні між собою.

Висота до гіпотенузи

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) проведено висоту CH до гіпотенузи AB. Тоді:

• △ACH ∼ △ABC (∠A спільний, ∠AHC = ∠ACB = 90°);

• △CBH ∼ △ABC (∠B спільний, ∠CHB = ∠ACB = 90°);

• △ACH ∼ △CBH (обидва подібні до △ABC, отже й між собою).

З цієї подібності випливають важливі співвідношення для відрізків гіпотенузи. Позначмо BH = a_c (проєкція катета a = BC на гіпотенузу), AH = b_c (проєкція катета b = AC), а CH = h — висота. Тоді:

h² = a_c · b_c — квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів.

Крім того, виконуються й інші пропорції (профільний рівень програми):

• a² = c · a_c — квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на проєкцію цього катета;

• b² = c · b_c — аналогічно для другого катета.

Розгляньмо приклад: AH = 4, HB = 9. Тоді h² = 4 · 9 = 36, отже h = √36 = 6.

Практичні задачі про тінь і висоту

Подібність трикутників широко застосовують у задачах, де об'єкт і його тінь утворюють прямокутні трикутники. Сонячні промені вважають паралельними, тому кути нахилу променів для обох об'єктів однакові.

Приклад 1. Жердина заввишки 2 м відкидає тінь 3 м. Дерево поруч відкидає тінь 12 м. Знайдіть висоту дерева. Вертикальна жердина й дерево утворюють прямі кути із землею, а сонячні промені — однаковий гострий кут. Отже трикутники подібні: 2 / H = 3 / 12, звідки H = 2 · 12 / 3 = 8 м.

Приклад 2. Людина зростом 1,8 м стоїть на відстані 6 м від ліхтаря, її тінь становить 3 м. Якою є висота ліхтаря? Тут утворюються два подібні трикутники: великий — «ліхтар — кінець тіні — основа ліхтаря», і малий — «маківка людини — кінець тіні — ноги людини». Відстань від ліхтаря до кінця тіні — 6 + 3 = 9 м. Складімо пропорцію: H / 9 = 1,8 / 3, звідки H = 9 · 1,8 / 3 = 5,4 м.

Розгляньмо п'ять типових задач на подібність трикутників, які можуть зустрітися на НМТ. Кожна задача має формат, що відповідає одній з офіційних форм завдань.

Приклад 1. Пряма, паралельна стороні (вибір однієї відповіді)

У трикутнику ABC пряма MN ∥ AC перетинає сторону AB у точці M, а сторону BC — у точці N. Відомо, що BM = 6, MA = 3, AC = 12. Знайдіть MN.

Розв'язання. Спочатку знайдемо довжину всієї сторони AB: AB = BM + MA = 6 + 3 = 9. Коефіцієнт подібності малого трикутника MBN до великого ABC: k = BM / BA = 6 / 9 = 2/3. Оскільки трикутники подібні, то MN / AC = k, звідки MN = AC · k = 12 · (2/3) = 8.

Відповідь: 8.

Чому інші варіанти неправильні?

• 24 — цей варіант отримали б, якби взяли k = BM / MA = 6/3 = 2, тоді MN = 12 · 2 = 24. Помилка: коефіцієнт подібності — це BM / BA, а не BM / MA.

• 4 — можна отримати, якщо переплутати й узяти MA / BA = 3/9 = 1/3, тоді MN = 12 · 1/3 = 4.

• 6 — це значення BM або результат MN = 12 · (6/12) = 6.

• 18 — результат довільної пропорції 12 · 9 / 6 = 18.

Приклад 2. Площа відтятого трикутника (коротка відповідь)

Площа трикутника ABC дорівнює 75. Пряма, паралельна стороні AC, ділить сторону AB у відношенні 2 : 3, рахуючи від вершини B. Знайдіть площу відтятого трикутника.

Розв'язання. Нехай BM : MA = 2 : 3, рахуючи від B. Тоді BM = 2x, MA = 3x, BA = 5x. Коефіцієнт подібності: k = BM / BA = 2x / 5x = 2/5. Площа відтятого трикутника: S(MBN) = S(ABC) · k² = 75 · (4/25) = 75 · 4 / 25 = 12.

Відповідь: 12.

Пастки: 30 — якщо взяти площу як k·S = (2/5)·75 = 30, забувши про квадрат; 63 — площа утвореної трапеції (75 − 12 = 63), яку теж могли запитати, але в цій задачі питають площу трикутника.

Приклад 3. Відповідність «логічні пари»

Дано два подібні трикутники △ABC ∼ △A₁B₁C₁, причому A₁B₁ / AB = 3. Периметр трикутника ABC дорівнює 14, а площа — 6. Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А–Д).

1. Периметр △A₁B₁C₁

2. Площа △A₁B₁C₁

3. Відношення площі △ABC до площі △A₁B₁C₁

А. 1/9 Б. 1/3 В. 18 Г. 42 Д. 54

Розв'язання. Коефіцієнт подібності k = A₁B₁ / AB = 3, тобто другий трикутник більший.

• Периметр: P(A₁B₁C₁) = P(ABC) · k = 14 · 3 = 42. Отже 1 → Г (42).

• Площа: S(A₁B₁C₁) = S(ABC) · k² = 6 · 9 = 54. Отже 2 → Д (54).

• Відношення площі ABC до площі A₁B₁C₁: S(ABC) / S(A₁B₁C₁) = 1 / k² = 1/9. Отже 3 → А (1/9).

Відповідь: 1–Г, 2–Д, 3–А.

Чому інші варіанти неправильні? Б (1/3) — це 1/k, а не 1/k², плутанина з периметром. В (18) — площа, якби взяли k·S = 3·6, забувши квадрат.

Приклад 4. Висота до гіпотенузи (вибір однієї відповіді)

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 і 16. Знайдіть цю висоту.

Розв'язання. Позначимо проєкції катетів: AH = 4, HB = 16. За властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи: h² = AH · HB = 4 · 16 = 64. Звідки h = √64 = 8.

Відповідь: 8.

Чому інші варіанти неправильні?

• 10 — середнє арифметичне (4 + 16) / 2 = 10, але висота не дорівнює середньому арифметичному.

• 20 — просто сума 4 + 16 = 20.

• 64 — квадрат висоти, а не сама висота.

• 12 — довільне число: воно не випливає з формули h² = a_c · b_c.

Приклад 5. Задача про ліхтар і тінь (коротка відповідь)

Людина зростом 1,8 м стоїть на відстані 6 м від ліхтаря. Довжина її тіні дорівнює 3 м. Знайдіть висоту ліхтаря (у метрах).

Розв'язання. Людина і ліхтар утворюють два подібні прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом при кінці тіні (його утворює промінь від ліхтаря, що проходить через маківку людини). Відстань від ліхтаря до кінця тіні: 6 + 3 = 9 м. Складаємо пропорцію: висота ліхтаря H відноситься до відстані 9 м так само, як зріст людини 1,8 м до довжини тіні 3 м. Отже H / 9 = 1,8 / 3, звідки H = 9 · 1,8 / 3 = 5,4 м.

Відповідь: 5,4.

Пастка: 3,6 — якщо взяти відстань до ліхтаря (6 м) замість відстані до кінця тіні (6 + 3 = 9), то H = 6 · 1,8 / 3 = 3,6. Це поширена помилка — враховувати лише відстань до об'єкта, а не до кінця тіні.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні в задачах на подібність трикутників. Кожна з них може коштувати бала на НМТ.

• Вважають, що площі подібних трикутників відносяться як k, а не як k². Правильно: S₁ / S₂ = k². Якщо k = 2, то площа більшого в 4 рази більша, а не в 2.

• У задачі з паралельною прямою беруть k = BM / MA замість BM / BA. Запам'ятайте: у пропорції беруть сторону всього великого трикутника (BA), а не її частину (MA).

• Ставлять у пропорцію невідповідні сторони — не ті, що лежать проти рівних кутів. Завжди спочатку визначте, які кути рівні, а потім які сторони лежать навпроти них.

• Вважають подібними будь-які два рівнобедрені чи будь-які два прямокутні трикутники. Це неправда: рівнобедрені трикутники подібні, лише якщо рівні кути при вершинах; прямокутні — якщо мають рівний гострий кут.

• За відношенням площ 4 : 9 беруть k = 4/9 замість 2/3. Пам'ятайте: k = √(S₁ / S₂). Якщо S₁ / S₂ = 4/9, то k = √(4/9) = 2/3.

• Шукаючи площу трапеції, відтятої паралельною прямою, не віднімають площу малого трикутника. Площа трапеції дорівнює різниці площ великого й малого трикутників.

Тема «Подібні трикутники» входить до змісту теми 5.3 програми ЗНО/НМТ з математики на рівні стандарту. А от відношення площ подібних фігур і пропорційні відрізки прямокутного трикутника програма позначає як профільний рівень (П). На НМТ-2027 завдання можуть бути будь-якого рівня складності в межах програми.

Форми завдань

У тесті НМТ з математики подібність трикутників може перевірятися в усіх трьох формах завдань:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал) — наприклад, задача на знаходження сторони або застосування ознаки.

• Логічні пари (завдання 16–18, до 3 балів) — установлення відповідності між величиною та її значенням для подібних трикутників.

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали) — чисельна відповідь, десятковий дріб.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, доступних під час НМТ в електронній формі, наведено формули площі трикутника, теореми синусів і косинусів. Однак ознак подібності трикутників і формули h² = a_c · b_c там немає. Їх треба знати напам'ять.

Стратегія розв'язування

Щоб не помилитися в задачах на подібність, дотримуйся такого порядку дій:

1. Знайди пару рівних кутів у трикутниках (спільний кут, вертикальні кути, кути при паралельних прямих).

2. Запиши вершини трикутників у порядку відповідності (A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁).

3. Обчисли коефіцієнт подібності k з пари відомих відповідних сторін.

4. Лише після цього переходь до периметра (множ на k) або площі (множ на k²).

Тут зібрано відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення подібності трикутників.

• У подібних трикутниках відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні з коефіцієнтом k.

• Ознаки подібності: за двома кутами; за двома пропорційними сторонами й кутом між ними; за трьома пропорційними сторонами.

• Периметри й лінійні елементи (медіани, бісектриси, висоти) відносяться як k, а площі — як k².

• Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає подібний трикутник з коефіцієнтом k = BM / BA (не BM / MA).

• Висота до гіпотенузи прямокутного трикутника: h² = a_c · b_c, де a_c і b_c — проєкції катетів на гіпотенузу.

• У задачах про тінь об'єкт і його тінь утворюють подібні прямокутні трикутники.