Найбільше й найменше значення функції на відрізку

Нехай функція f визначена на відрізку [a; b]. Число M називають найбільшим значенням функції на цьому відрізку, якщо:

• для всіх x ∈ [a; b] виконується f(x) ≤ M

• існує таке x₀ ∈ [a; b], що f(x₀) = M

Найменше значення m означають аналогічно: f(x) ≥ m для всіх x і f(x₀) = m для деякого x₀. Якщо функція неперервна на відрізку (її графік — суцільна лінія без розривів), то вона обов'язково досягає на ньому і найбільшого, і найменшого значення — це твердження називають теоремою Вейєрштрасса. На НМТ ти можеш ним користуватися без доведення.

Алгоритм пошуку

Щоб знайти найбільше й найменше значення функції f на відрізку [a; b], виконай такі кроки:

1. Знайди похідну f′(x).

2. Знайди критичні точки — точки, у яких f′(x) = 0 або похідна не існує.

3. Відбери з них лише ті, що належать відрізку [a*; *b].

4. Обчисли значення функції в кожній із цих точок і в точках a* та *b.

5. Серед отриманих чисел обери найбільше й найменше.

Досліджувати знаки похідної не обов'язково — ти просто порівнюєш числа. Якщо на відрізку немає жодної критичної точки, функція монотонна, і найбільше з найменшим значеннями лежать на кінцях.

Приклад 1: f(x) = x³ − 3x на [0; 2]

Похідна: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Рівняння f′(x) = 0 дає x = 1 і x = −1. Точка −1 не належить відрізку [0; 2], тому її відкидаємо. Обчислюємо:

Найбільше значення — 2 (досягається на правому кінці x = 2), найменше — −2 (у критичній точці x = 1).

Приклад 2: та сама функція на [−3; 0]

Критична точка −1 тепер належить відрізку, а 1 — ні. Обчислюємо:

Найбільше значення — 2 (у точці x = −1), найменше — −18 (на лівому кінці x = −3). Зверни увагу: відповідь залежить від того, який відрізок задано.

Приклад 3: функція без критичних точок

Розглянемо y = x³ + x на [−1; 2]. Похідна y′ = 3x² + 1 завжди додатна, тому критичних точок немає. Функція зростає на всьому відрізку, отже найменше значення — на лівому кінці: f(−1) = −2, найбільше — на правому: f(2) = 10.

Дуже важливо не плутати два поняття, які звучать схоже, але позначають різні речі.

Найбільше значення може досягатися на кінці відрізка, де немає екстремуму. Наприклад, у функції f(x) = x³ − 3x на [0; 2] найбільше значення 2 — у точці x = 2, а це кінець, а не точка максимуму (максимум — у точці x = −1, яка взагалі не належить відрізку).

Коли критична точка — єдина на проміжку

Якщо на проміжку є лише одна критична точка і вона є точкою максимуму (або мінімуму), то в ній функція набуває найбільшого (або найменшого) значення на цьому проміжку. Цим часто користуються в задачах на оптимізацію, де проміжок — інтервал, а не відрізок.

На інтервалі чи промені значень може не бути

На відкритому проміжку (інтервалі) функція не обов'язково має найбільше або найменше значення. Розглянь y = x + 1/x на (0; +∞). Похідна y′ = 1 − 1/x² = 0 дає x = 1. Це точка мінімуму, f(1) = 2 — найменше значення. А найбільшого значення немає, бо при x → 0⁺ функція прямує до +∞, а при x → +∞ — теж до +∞.

Квадратична функція

Для квадратичної функції f(x) = ax² + bx + c найбільше (при a < 0) або найменше (при a > 0) значення на відрізку може бути:

• у вершині x₀ = −b/(2a), якщо вона належить відрізку;

• на одному з кінців відрізка, якщо вершина лежить поза ним.

Похідна f′(x) = 2ax + b = 0 дає ту саму точку x₀, тож алгоритм через похідну працює без додаткових міркувань про вітки параболи.

Задачі на оптимізацію — це задачі, у яких потрібно знайти, за яких умов певна величина (площа, об'єм, вартість) буде найбільшою або найменшою. Розв'язують їх за такою схемою:

1. Познач змінну x — величину, яку можна змінювати.

2. Вирази ту величину, яку треба зробити найбільшою чи найменшою, як функцію f(x).

3. Укажи проміжок зміни x з умови задачі.

4. Знайди найбільше або найменше значення f на цьому проміжку.

5. Дай відповідь саме на те запитання, яке поставлено в задачі.

Найбільша площа при заданому периметрі

Прямокутник має периметр 20. Позначимо одну сторону як x, тоді друга сторона — 10 − x (бо півпериметр дорівнює 10). Площа: S(x) = x(10 − x) = 10x − x². Змінна x може змінюватися на (0; 10). Похідна: S′(x) = 10 − 2x = 0 ⇒ x = 5. Це єдина критична точка всередині проміжку, і це точка максимуму. Найбільша площа: S(5) = 25. Отже, найбільшу площу має квадрат зі стороною 5.

Аналогічно: сума двох додатних чисел дорівнює 12. Їхній добуток P(x) = x(12 − x) найбільший, коли числа рівні: 6 · 6 = 36.

Ділянка біля стіни

Ділянку прямокутної форми з одного боку обмежує стіна (річка), а з трьох інших — паркан завдовжки 40 м. Позначимо сторону, перпендикулярну до стіни, як x. Тоді сторона, паралельна стіні, дорівнює 40 − 2x. Площа: S(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x². Змінна x ∈ (0; 20). Похідна: S′(x) = 40 − 4x = 0 ⇒ x = 10. Розміри ділянки: 10 м × 20 м, площа S = 200 м².

Найменші витрати матеріалу (бак без кришки)

Бак без кришки має квадратну основу зі стороною a дм і об'єм 32 дм³. Висота: h = 32/a². Площа поверхні (дно + чотири бічні грані): S(a) = a² + 4ah = a² + 4a · 32/a² = a² + 128/a. a > 0. Похідна: S′(a) = 2a − 128/a² = 0 ⇒ 2a³ = 128 ⇒ a³ = 64 ⇒ a = 4 дм. Висота: h = 32/16 = 2 дм. Найменша площа поверхні: S(4) = 16 + 32 = 48 дм².

Найбільший об'єм коробки

З квадратного листа 12 × 12 вирізають у кутах квадрати зі стороною x і згинають коробку. Дно коробки — квадрат зі стороною 12 − 2x, висота — x. Об'єм: V(x) = x(12 − 2x)². x ∈ (0; 6). Похідна: V′(x) = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x) · (−2) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x). V′(x) = 0 ⇒ x = 6 (не належить проміжку) або x = 2. Найбільший об'єм: V(2) = 2 · (12 − 4)² = 2 · 64 = 128.

Приклад 1. Коротка відповідь

Завдання: Знайдіть найменше значення функції f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4 на відрізку [−2; 2].

Розв'язання:

1. Похідна: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).

2. Критичні точки: x = 3 і x = −1.

3. Відрізку [−2; 2] належить лише x = −1 (3 ∉ [−2; 2]).

4. Обчислюємо: f(−2) = (−2)³ − 3·(−2)² − 9·(−2) + 4 = −8 − 12 + 18 + 4 = 2

5. f(−1) = (−1)³ − 3·(−1)² − 9·(−1) + 4 = −1 − 3 + 9 + 4 = 9

6. f(2) = 2³ − 3·2² − 9·2 + 4 = 8 − 12 − 18 + 4 = −18

Найменше з отриманих чисел: −18.

Відповідь: −18

Типові пастки: число −23 — це f(3), але точка 3 не належить відрізку; число 9 — це найбільше значення на цьому відрізку, а питали найменше.

Приклад 2. Вибір однієї відповіді

Завдання: Знайдіть найбільше значення функції f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1 на відрізку [0; 3].

Розв'язання:

1. Похідна: f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1).

2. Критичні точки: x = 2 і x = −1.

3. Відрізку [0; 3] належить лише x = 2.

4. Обчислюємо: f(0) = 1, f(2) = 2·8 − 3·4 − 12·2 + 1 = 16 − 12 − 24 + 1 = −19, f(3) = 2·27 − 3·9 − 12·3 + 1 = 54 − 27 − 36 + 1 = −8

Найбільше з чисел {1; −19; −8} — це 1.

Відповідь: 1

Чому інші варіанти неправильні: 8 — це f(−1), точка поза відрізком; −8 — значення на правому кінці, але не найбільше; 2 — критична точка, а не значення функції; −19 — найменше значення, а питали найбільше.

Приклад 3. Коротка відповідь (прикладна задача)

Завдання: Ділянку прямокутної форми з одного боку обмежує річка, а з трьох інших — паркан завдовжки 60 м. Знайдіть найбільшу можливу площу ділянки (у м²).

Розв'язання:

1. Позначимо сторону, перпендикулярну до річки, як x (у метрах).

2. Тоді сторона, паралельна річці, дорівнює 60 − 2x.

3. Площа: S(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x². x ∈ (0; 30).

4. Похідна: S′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15.

5. Це єдина критична точка, вона дає максимум. S(15) = 15 · (60 − 30) = 15 · 30 = 450 м².

Відповідь: 450

Пастки: 15 — це значення x (розмір сторони), а питали площу; 225 — площа квадрата 15 × 15, але це було б, якби паркан ішов з усіх чотирьох боків.

Приклад 4. Вибір однієї відповіді

Завдання: Бак без кришки з квадратною основою має об'єм 32 дм³. За якої сторони основи (у дм) на його виготовлення піде найменше металу?

Розв'язання:

1. Сторона основи — a дм, висота — h = 32/a² дм.

2. Площа поверхні: S(a) = a² + 4ah = a² + 128/a.

3. Похідна: S′(a) = 2a − 128/a² = 0 ⇒ 2a³ = 128 ⇒ a³ = 64 ⇒ a = 4.

4. Це єдина критична точка на (0; +∞), вона дає мінімум.

Відповідь: 4

Дистрактори: 2 — це висота бака, а питали сторону основи; 8, 3, 6 — інші числа, які не задовольняють умову.

• Не перевіряють значення функції на кінцях відрізка. Найбільше або найменше значення може виявитися саме на кінці, навіть якщо всередині є критичні точки. Завжди обчислюй f(a) і f(b).

• Ураховують критичну точку, що не належить відрізку. Знайшовши f′(x) = 0, обов'язково перевір, чи потрапляє кожна критична точка в заданий проміжок. Точки поза ним не впливають на відповідь.

• Плутають, що питають: значення функції чи значення змінної. Уважно читай умову. Якщо запитання «Знайдіть найбільше значення функції», відповідь — число f(x). Якщо «За якого x…» — відповідь — значення x.

• Вважають, що найбільше значення завжди досягається в точці максимуму. Це неправда: на відрізку найбільше значення може бути на кінці, де екстремуму немає.

• У прикладній задачі не вказують проміжок зміни змінної. Без проміжку не можна перевірити, чи критична точка належить області допустимих значень. Завжди визначай x ∈ (…; …) з умови.

• Відповідають розміром замість площі чи об'єму. У прикладних задачах уважно дивись, яку величину питають: площу (м²), об'єм (дм³), сторону (м) тощо.

• Помиляються в знаках, обчислюючи значення многочлена у від'ємній точці. Наприклад, f(−2) = (−2)³ − 3·(−2)² − 9·(−2) + 4. Не забувай: (−2)³ = −8, (−2)² = 4, а −9·(−2) = +18.

Тема «Найбільше й найменше значення функції на відрізку» входить до програми НМТ з математики (рівень стандарту). Програма вимагає знати означення найбільшого й найменшого значень функції, уміти їх знаходити та розв'язувати прикладні задачі на оптимізацію.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 окремого завдання з цієї теми немає, і у вибірці з чотирьох тестів 2023–2024 років — теж. Однак НМТ перевіряє всю програму, тому завдання на цю тему можуть з'явитися в будь-якому тесті. Тренуємо два формати:

За експертною оцінкою (не даними УЦОЯО), похідна та її застосування належать до найважчих тем тесту. Тому варто приділити цій темі особливу увагу.

Стратегія виконання

• На чернетці склади таблицю «x — f(x)» для обох кінців відрізка й усіх критичних точок усередині.

• Для вибору відповіді обчисли всі кандидати й порівняй числа — не намагайся визначити лише екстремум.

• У прикладних задачах спочатку запиши формулу, потім підставляй числа — це зменшує ризик арифметичної помилки.

• Кандидати: критичні точки всередині відрізка й обидва кінці.

• Обчисли f у всіх кандидатах і порівняй числа: найбільше з них — найбільше значення функції, найменше — найменше значення.

• Критичні точки поза відрізком відкидай — вони не впливають на відповідь.

• Найбільше значення ≠ максимум: найбільше значення може бути на кінці відрізка, де екстремуму немає.

• Оптимізація: змінна → функція → проміжок → найбільше чи найменше → відповідь на запитання задачі.

• Єдина точка екстремуму на проміжку дає найбільше чи найменше значення (якщо це максимум чи мінімум відповідно).