Первісна: таблиця й правила знаходження

Уявімо, що ми знаємо швидкість руху тіла в кожен момент часу, а хочемо відновити закон його руху — координату як функцію часу. Це обернена задача до знаходження похідної. Вона приводить нас до поняття первісної.

Означення первісної

Нехай функція f визначена на деякому проміжку. Функцію F називають первісною для f на цьому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується рівність F′(x) = f(x). Іншими словами, похідна первісної дорівнює початковій функції. Процес знаходження первісної називають інтегруванням — це дія, обернена до диференціювання.

Найпростіші приклади

Розгляньмо функцію f(x) = 2x. Яка функція має похідну 2x? Згадуємо таблицю похідних: (x²)′ = 2x. Отже, F(x) = x² — первісна для f(x) = 2x. Але не єдина: (x² + 5)′ = 2x і (x² − √3)′ = 2x теж. Будь-яка функція вигляду x² + C, де C — довільне число, є первісною для 2x.

Інші приклади:

• Для f(x) = cos x первісна F(x) = sin x, бо (sin x)′ = cos x.

• Для f(x) = 3x² первісна F(x) = x³, бо (x³)′ = 3x².

Основна властивість первісних

Якщо F₁(x) і F₂(x) — дві первісні однієї й тієї самої функції f на проміжку, то вони відрізняються на сталу: F₂(x) − F₁(x) = C. Справді, похідна різниці дорівнює f(x) − f(x) = 0, а функція, чия похідна скрізь нуль, — стала.

Звідси випливає, що загальний вигляд первісних для функції f записують як F(x) + C, де F — одна з первісних, а C — довільна стала. Геометрично це означає, що графіки всіх первісних отримують один з одного паралельним перенесенням уздовж осі Oy.

Перевірка диференціюванням

Найнадійніший спосіб переконатися, що функцію знайдено правильно, — продиференціювати її й порівняти з початковою функцією.

Приклад 1. Чи є F(x) = x³ − 2x + 7 первісною для f(x) = 3x² − 2? Знаходимо похідну: F′(x) = 3x² − 2. Оскільки F′(x) = f(x), відповідь — так.

Приклад 2. Чи є F(x) = x³ − x² первісною для f(x) = 3x² − 2? Похідна: F′(x) = 3x² − 2x. Це не дорівнює 3x² − 2, тому F не є первісною для f.

Запам'ятай: перевірка диференціюванням — універсальний спосіб, який працює завжди, навіть коли ти не впевнений(а) у правилі інтегрування.

Як і для похідних, для первісних існує таблиця основних функцій. Вона є в довідкових матеріалах НМТ, але користуватися нею треба вміти швидко й безпомилково. Нижче подано таблицю первісних у тому вигляді, як вона трапляється на іспиті.

Степенева функція: детальні приклади

Для степеневої функції x^α (α ≠ −1) алгоритм простий: збільшуємо показник на 1 і ділимо на новий показник.

• x⁴ → x⁵/5 + C

• 1/x² = x⁻² → x⁻¹/(−1) = −1/x + C

• √x = x^(1/2) → x^(3/2) / (3/2) = (2/3)x√x + C

• 1/√x = x^(−1/2) → x^(1/2) / (1/2) = 2√x + C

Виняток: 1/x

Якби ми застосували формулу x^α до 1/x = x⁻¹, то отримали б x⁰/0 — ділення на нуль, що неможливо. Тому для 1/x первісною є ln|x|. На проміжку x > 0 можна писати просто ln x.

Знаки в тригонометрії

Тут легко помилитися, тому порівняймо з похідними:

Зверни увагу: похідна cos x дорівнює −sin x, тому первісна sin x — це −cos x (щоб після диференціювання мінуси скоротилися).

Первісна числа

Первісна сталої k — це kx + C, а не нуль! Наприклад, для f(x) = 5 первісна F(x) = 5x + C, бо (5x)′ = 5. Нуль — це похідна сталої, а не первісна.

Таблиця первісних дає змогу інтегрувати найпростіші функції. Для складніших випадків існують правила, які дозволяють звести функцію до табличних форм. На відміну від таблиці, цих правил у довідці НМТ немає — їх треба знати напам'ять.

Правило суми

Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних кожного доданка. Якщо F — первісна для f, а G — первісна для g, то F + G — первісна для f + g.

Приклад: f(x) = 3x² + cos x. Первісна для 3x² — x³, для cos x — sin x. Отже, загальний вигляд: F(x) = x³ + sin x + C.

Сталий множник

Сталий множник можна виносити за знак інтегрування: первісна для k·f(x) дорівнює k·F(x), де F — первісна для f.

• 6x² → 6·(x³/3) = 2x³ + C

• 4/x → 4·ln|x| + C

• 3eˣ → 3eˣ + C

• −2 sin x → −2·(−cos x) = 2cos x + C

Правило для f(kx + b)

Якщо аргумент функції має вигляд kx + b, де k ≠ 0, то первісна дорівнює (1/k)·F(kx + b), де F — первісна для f. Іншими словами, ділимо на коефіцієнт біля x.

• cos 3x → (1/3)sin 3x + C

• e^(2x) → (1/2)e^(2x) + C

• (2x + 1)³ → (1/2)·(2x + 1)⁴/4 = (2x + 1)⁴/8 + C

Поширена помилка: множити на k замість ділити. Запам'ятай: похідна від F(kx + b) дає k·f(kx + b), тому при інтегруванні треба компенсувати — ділити на k.

Первісна добутку та частки

Первісна добутку не дорівнює добутку первісних! Якщо маєш добуток або частку, спершу спрости вираз — розкрий дужки або поділи почленно.

• x(x + 1) = x² + x → первісна x³/3 + x²/2 + C

• (x + 1)/x = 1 + 1/x → первісна x + ln|x| + C

Знаходження сталої C за точкою на графіку

Загальний вигляд первісних містить довільну сталу C. Якщо відомо, що графік первісної проходить через конкретну точку, можна знайти C.

Алгоритм:

1. Знайди загальний вигляд первісних F(x) + C.

2. Підстав координати точки (x₀; y₀) у рівність F(x₀) + C = y₀.

3. Розв'яжи рівняння відносно C і запиши конкретну первісну.

Приклад 1. Для f(x) = 2x + 3 і точки M(1; 6): загальний вигляд F(x) = x² + 3x + C. Підставляємо: 1 + 3 + C = 6, звідси C = 2. Отже, F(x) = x² + 3x + 2.

Приклад 2. Для f(x) = 3x² − 4x і точки (2; 1): F(x) = x³ − 2x² + C. Підставляємо: 8 − 8 + C = 1, C = 1. Отже, F(x) = x³ − 2x² + 1.

Фізичний зміст: рух

Якщо відома швидкість v(t) як функція часу, то координата s(t) — це первісна для v(t). Початкова координата s(0) дає значення сталої C.

Приклад: v(t) = 6t + 2, s(0) = 5. Первісна для 6t + 2 — 3t² + 2t + C. Підставляємо t = 0: 0 + 0 + C = 5, C = 5. Отже, закон руху: s(t) = 3t² + 2t + 5.

Розгляньмо типові завдання НМТ на тему первісної. Кожен приклад містить умову, покрокове розв'язання, правильну відповідь і пояснення, чому інші варіанти хибні.

Приклад 1. Вибір первісної з-поміж п'яти варіантів

Умова: Укажіть первісну для функції f(x) = 4x³ − 2x.

Варіанти відповідей:

• А) 12x² − 2

• Б) 4x⁴ − 2x²

• В) x⁴ − 2x²

• Г) x⁴/4 − x²/2

• Д) x⁴ − x² + 3

Розв'язання. Знаходимо первісну почленно: для 4x³ — 4·x⁴/4 = x⁴; для −2x — −2·x²/2 = −x². Отже, загальний вигляд: x⁴ − x² + C. Серед варіантів бачимо x⁴ − x² + 3 — це первісна з конкретною сталою C = 3.

Перевірка диференціюванням: (x⁴ − x² + 3)′ = 4x³ − 2x = f(x). Усе правильно.

Чому хибні інші варіанти:

• 12x² − 2 — це похідна від 4x³ − 2x, а не первісна.

• 4x⁴ − 2x² — не поділено на новий показник (4 і 2 відповідно).

• x⁴ − 2x² — не поділено коефіцієнт −2x (має бути −x²).

• x⁴/4 − x²/2 — загублено коефіцієнти 4 і −2.

Відповідь: Д) x⁴ − x² + 3.

Приклад 2. Логічні пари «функція — первісна»

Умова: Установіть відповідність між функціями (1–3) та їхніми первісними (А–Д).

Функції:

• 1) f(x) = sin x

• 2) f(x) = 1/x²

• 3) f(x) = eˣ + 1

Первісні:

• А) −cos x

• Б) −1/x

• В) eˣ + x

• Г) cos x

• Д) −2/x³

Розв'язання.

• 1) sin x → первісна −cos x (А). Варіант Г) cos x — хибний, бо (cos x)′ = −sin x, а не sin x.

• 2) 1/x² = x⁻² → первісна x⁻¹/(−1) = −1/x (Б). Варіант Д) −2/x³ — це похідна від 1/x², а не первісна.

• 3) eˣ + 1 → первісна eˣ + x (В).

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 3. Первісна, графік якої проходить через точку

Умова: Для функції f(x) = 2x − 4 укажіть первісну, графік якої проходить через точку M(2; 5).

Варіанти:

• А) x² − 4x + 5

• Б) x² − 4x + 1

• В) x² − 4x

• Г) 2x² − 4x + 5

• Д) x² − 4x + 9

Розв'язання. Загальний вигляд первісних: F(x) = x² − 4x + C. Підставляємо точку M(2; 5): 2² − 4·2 + C = 5, тобто 4 − 8 + C = 5, C = 9. Отже, F(x) = x² − 4x + 9.

Чому хибні інші варіанти:

• x² − 4x + 5 — сталу C прирівняли до ординати точки (5), не розв'язавши рівняння.

• x² − 4x + 1 — помилка знака: 4 − 8 = −4, а −4 + C = 5 дає C = 9, не 1.

• x² − 4x — забуто сталу C.

• 2x² − 4x + 5 — не поділено коефіцієнт 2 при інтегруванні 2x.

Відповідь: Д) x² − 4x + 9.

Приклад 4. Загальний вигляд первісних для f(kx + b)

Умова: Укажіть загальний вигляд первісних для функції f(x) = cos 3x.

Варіанти:

• А) 3sin 3x + C

• Б) sin 3x + C

• В) −(1/3)sin 3x + C

• Г) −3sin 3x + C

• Д) (1/3)sin 3x + C

Розв'язання. Первісна для cos x — це sin x. За правилом f(kx + b) ділимо на k = 3: F(x) = (1/3)sin 3x + C.

Перевірка: ((1/3)sin 3x)′ = (1/3)·3·cos 3x = cos 3x.

Чому хибні інші варіанти:

• 3sin 3x + C — помножено на k замість поділити.

• sin 3x + C — загублено множник 1/k.

• −(1/3)sin 3x + C — хибний знак (мінус потрібен для sin x, а не для cos x).

• −3sin 3x + C — і хибний знак, і помножено замість поділити.

Відповідь: Д) (1/3)sin 3x + C.

На НМТ завдання на первісну часто містять пастки, які розраховані на неуважність. Ось найпоширеніші помилки.

• Знаходять похідну замість первісної. Наприклад, для x³ пишуть 3x² — це похідна, а первісна має бути x⁴/4. Завжди запитуй себе: «Я роблю дію, обернену до диференціювання?»

• Забувають сталу C у загальному вигляді первісних. Якщо в завданні просять «загальний вигляд», C обов'язкова. Так само під час пошуку первісної через точку спершу записують F(x) + C, а потім знаходять C.

• У формулі для x^α не ділять на новий показник або ділять на старий. Правильно: x⁴ → x⁵/5, а не x⁵/4 чи просто x⁵.

• Застосовують формулу x^α до 1/x й отримують ділення на нуль. Пам'ятай: для 1/x первісна — ln|x|, це виняток.

• Первісною sin x вважають cos x, гублячи мінус. Правильно: −cos x. Перевір: (−cos x)′ = −(−sin x) = sin x.

• Первісною числа вважають 0 замість kx. Наприклад, для f(x) = 5 первісна 5x + C, а не 0. Нуль — це похідна сталої.

• У первісній f(kx + b) множать на k замість ділити. Правило: cos 3x → (1/3)sin 3x, а не 3sin 3x.

Первісна належить до теми програми «Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ плоских фігур» (розділ «Функції»); означення, таблиця й правила знаходження первісних — рівень стандарту. Програма вимагає знати «означення первісної функції», «таблицю первісних функцій», «правила знаходження первісних» та вміти «знаходити первісну, використовуючи її основні властивості».

Довідкові матеріали

У довідці НМТ є таблиця первісних для функцій: 0, 1, x^α, 1/x, eˣ, sin x, cos x, 1/cos²x, а також формула Ньютона–Лейбніца. Правил знаходження первісних (сума, сталий множник, f(kx + b)) у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ-2026 до цієї теми найближче завдання 12: за рисунком треба вибрати формулу площі фігури через визначений інтеграл (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал); знаходити первісну в ньому не потрібно. У вибірці з 4 тестів 2023–2024 похідна чи первісна траплялася серед завдань 4–15.

Стратегія виконання

Найнадійніший спосіб вибрати первісну з-поміж п'яти варіантів — продиференціювати кожен варіант і знайти той, чия похідна збігається з f(x). Це особливо корисно, коли сумніваєшся в правилі інтегрування. Диференціювати ти вже вмієш, і це займає всього кілька секунд.

• F — первісна для f, якщо F′ = f. Перевіряй диференціюванням.

• Загальний вигляд первісних — F(x) + C, де C — довільна стала.

• Таблиця первісних: x^α → x^(α+1)/(α + 1) при α ≠ −1; 1/x → ln|x|; sin x → −cos x; cos x → sin x; eˣ → eˣ.

• Сума — інтегруємо почленно; сталий множник виносимо; f(kx + b) → F(kx + b)/k.

• Первісна добутку не дорівнює добутку первісних — спершу спрости вираз.

• Точка на графіку первісної: підстав координати в F(x) + C і знайди C.