Лінзи, фокусна відстань і оптична сила

Лінза — це прозоре тіло, обмежене двома сферичними поверхнями (або однією сферичною й однією плоскою). Якщо товщина лінзи набагато менша за радіуси кривизни її поверхонь і за відстані до предметів, таку лінзу називають тонкою. Усі задачі НМТ розглядають саме тонкі лінзи.

Збиральна (опукла) лінза

Збиральна лінза товстіша посередині, ніж на краях. Коли паралельний пучок променів падає на таку лінзу, після заломлення всі промені збираються в одній точці — фокусі. Це означає, що лінза «збирає» світло. Фокус збиральної лінзи дійсний, тобто промені реально перетинаються.

Розсіювальна (ввігнута) лінза

Розсіювальна лінза тонша посередині, ніж на краях. Паралельний пучок після проходження такої лінзи стає розбіжним — промені ніби виходять з однієї точки перед лінзою. Цю точку називають уявним фокусом, тому що перетинаються не самі промені, а їхні продовження.

Основні елементи лінзи

• Головна оптична вісь — пряма, що проходить через центри кривизни обох сферичних поверхонь лінзи.

• Оптичний центр — точка на головній оптичній осі; промінь, що проходить через неї, не змінює свого напряму (для тонкої лінзи).

• Фокус лінзи — точка, у якій після заломлення збираються промені, що падали паралельно головній оптичній осі (або їхні продовження).

• Фокусна відстань F — відстань від оптичного центра до фокуса. У кожної лінзи два фокуси — по один і по другий бік на однаковій відстані від центра.

Важливо запам'ятати: у збиральної лінзи фокус дійсний (F > 0), у розсіювальної — уявний (F < 0). Це визначить знак оптичної сили, яку ти обчислюватимеш у наступному розділі.

Оптична сила лінзи — це фізична величина, що характеризує здатність лінзи заломлювати світлові промені. Чим сильніше лінза заломлює, тим більша її оптична сила.

Формула й одиниця вимірювання

Оптичну силу D обчислюють за формулою:

$$D=\frac{1}{F}$$

де F — фокусна відстань лінзи, виражена в метрах. Одиниця оптичної сили — діоптрія (дптр). Одна діоптрія відповідає лінзі з фокусною відстанню 1 м: 1 дптр = 1 м⁻¹.

Чим коротша фокусна відстань, тим більша оптична сила й тим сильніше лінза заломлює промені. Наприклад, лінза з F = 10 см (0,1 м) має D = 10 дптр, а лінза з F = 50 см (0,5 м) — лише D = 2 дптр.

Знак оптичної сили

Знак оптичної сили збігається зі знаком фокусної відстані:

• Збиральна лінза: F > 0, тому D > 0.

• Розсіювальна лінза: F < 0, тому D < 0.

Наприклад, якщо фокусна відстань збиральної лінзи F = 25 см = 0,25 м, то D = 1 / 0,25 = 4 дптр. Якщо оптична сила лінзи D = −2 дптр, то F = 1 / (−2) = −0,5 м = −50 см — це розсіювальна лінза.

Найпоширеніша помилка: не переводити сантиметри в метри перед обчисленням D = 1/F. Якщо F = 20 см, то D = 1 / 0,2 = 5 дптр, а не 1 / 20 = 0,05 дптр.

Система тонких лінз, складених упритул

Коли дві або більше тонких лінз розташовані впритул одна до одної (стикаються), їхні оптичні сили додаються:

$$D=D_1+D_2+\dots$$

Відповідно, фокусна відстань системи задовольняє співвідношення:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}+\dots$$

Приклад: лінзи з оптичними силами +3 дптр і −1 дптр, складені разом, дають D = 3 + (−1) = 2 дптр. Фокусна відстань системи: F = 1 / 2 = 0,5 м = 50 см.

Зверни увагу: додавати фокусні відстані безпосередньо (F₁ + F₂) неправильно — спочатку знаходять оптичні сили, додають їх, а потім обертають результат.

Щоб зрозуміти, як лінза формує зображення, треба знати, як поводяться окремі промені після заломлення. Існує три характерні промені, хід яких через лінзу можна передбачити без обчислень.

Промінь через оптичний центр

Промінь, що проходить через оптичний центр лінзи, не змінює свого напряму. Для тонкої лінзи вважають, що він проходить крізь неї, не заломлюючись.

Промінь, паралельний головній оптичній осі

Промінь, що падає на лінзу паралельно головній оптичній осі, після заломлення в збиральній лінзі проходить через фокус (дійсний). У розсіювальній лінзі такий промінь розходиться так, ніби він виходить із фокуса (уявного), розташованого перед лінзою.

Промінь через фокус збиральної лінзи

Промінь, що проходить через передній фокус збиральної лінзи (тобто через фокус із боку падіння світла), після заломлення йде паралельно головній оптичній осі. Це обернене правило до попереднього.

Побічний фокус і фокальна площина

Якщо паралельний пучок променів падає на лінзу не паралельно головній оптичній осі, а під кутом до неї, то після заломлення всі промені збираються в одній точці, що лежить у фокальній площині. Цю точку називають побічним фокусом. Фокальна площина — це площина, що проходить через головний фокус перпендикулярно до головної оптичної осі.

Для побудови зображення в лінзі зазвичай достатньо двох характерних променів. Найчастіше використовують промінь через оптичний центр і промінь, паралельний головній оптичній осі.

Приклад із життя

Візьми звичайну збиральну лінзу (наприклад, лупу) і спрямуй на неї сонячне світло. Паралельний пучок сонячних променів лінза збере у фокусі. Якщо помістити в цю точку аркуш паперу, він може загорітися — це наочна демонстрація того, що фокус дійсний і в ньому концентрується енергія світла.

Приклад 1. Оптична сила збиральної лінзи

Завдання: Фокусна відстань збиральної лінзи дорівнює 20 см. Визнач оптичну силу цієї лінзи в діоптріях.

Розв'язання:

• Переводимо фокусну відстань у метри: F = 20 см = 0,2 м.

• Застосовуємо формулу: D = 1 / F = 1 / 0,2 = 5 дптр.

• Оскільки лінза збиральна, D > 0, що підтверджує результат.

Відповідь: 5 дптр.

Типова помилка: не перевести сантиметри в метри й обчислити D = 1 / 20 = 0,05 дптр. Це неправильно, бо формула D = 1/F вимагає F у метрах.

Приклад 2. Визначення типу лінзи за оптичною силою

Завдання: Окуляри для корекції зору мають оптичну силу −2 дптр. Яка це лінза й чому дорівнює її фокусна відстань?

Варіанти відповіді:

• А) збиральна, F = 0,5 м

• Б) розсіювальна, F = −0,5 м

• В) розсіювальна, F = −2 м

• Г) збиральна, F = 2 м

Розв'язання: D < 0, отже лінза розсіювальна. Фокусна відстань: F = 1 / D = 1 / (−2) = −0,5 м. Правильна відповідь — Б.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) збиральна, F = 0,5 м — не враховано знак D.

• В) розсіювальна, F = −2 м — помилка в обчисленні: 1 / (−2) = −0,5, а не −2.

• Г) збиральна, F = 2 м — не враховано знак і неправильне обчислення.

Приклад 3. Система складених лінз

Завдання: Дві тонкі лінзи з оптичними силами 4 дптр і −1,5 дптр складено впритул. Визнач фокусну відстань системи в сантиметрах.

Розв'язання:

• Оптична сила системи: D = D₁ + D₂ = 4 + (−1,5) = 2,5 дптр.

• Фокусна відстань системи: F = 1 / D = 1 / 2,5 = 0,4 м.

• Переводимо в сантиметри: F = 0,4 м = 40 см.

Відповідь: 40 см.

Типова помилка: додати фокусні відстані: спочатку знайти F₁ = 1/4 = 0,25 м, F₂ = 1/(−1,5) ≈ −0,667 м, а потім додати: 0,25 + (−0,667) = −0,417 м. Це неправильно — додають оптичні сили, а не фокусні відстані.

Приклад 4. Дія розсіювальної лінзи на паралельний пучок

Завдання: Як діє розсіювальна лінза на паралельний пучок променів?

Варіанти відповіді:

• А) збирає його в одній точці — фокусі

• Б) робить його розбіжним

• В) пропускає без змін

• Г) збирає за фокусом

Розв'язання: Розсіювальна лінза тонша посередині, тому паралельний пучок після проходження стає розбіжним — промені відхиляються від осі. Правильна відповідь — Б.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) збирає в одній точці — це властивість збиральної, а не розсіювальної лінзи.

• В) пропускає без змін — лінза завжди заломлює світло, якщо воно падає не під прямим кутом до поверхні.

• Г) збирає за фокусом — розсіювальна лінза не збирає промені взагалі.

• Забувати переводити фокусну відстань у метри. Формула D = 1/F працює лише тоді, коли F виражено в метрах. Якщо в умові дано F = 20 см, спочатку переведи в 0,2 м, а потім обчислюй D = 5 дптр. Обчислення D = 1/20 дасть хибний результат 0,05 дптр.

• Плутати знаки: у розсіювальної лінзи і F, і D від'ємні. Якщо D = −3 дптр, то F = 1/(−3) ≈ −0,33 м. Не забувай мінус — він показує, що фокус уявний.

• Думати, що «опукла» означає «збиральна» в будь-якому середовищі. Зазвичай у задачах лінзи розміщено в повітрі, де опукла лінза справді збиральна, а ввігнута — розсіювальна. Однак у середовищі з більшим показником заломлення, ніж у матеріалу лінзи, опукла лінза стає розсіювальною, а ввігнута — збиральною.

• Додавати фокусні відстані замість оптичних сил під час складання лінз. Для системи складених лінз спочатку знаходять D = D₁ + D₂, а потім F = 1/D. Не можна просто додати F₁ + F₂.

• Вважати, що фокус розсіювальної лінзи дійсний. Фокус розсіювальної лінзи уявний — у ньому перетинаються не самі промені, а їхні продовження. Тому F < 0 і D < 0.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 21 (коротка відповідь, 2 бали) перевіряло формулу тонкої лінзи й оптичну силу. Це означає, що вміння обчислювати D = 1/F і застосовувати формулу тонкої лінзи є обов'язковим для складання тесту.

Довідка НМТ, яку ти отримуєш на тестуванні, містить формулу тонкої лінзи, оптичну силу й лінійне збільшення. Однак правил знаків для розсіювальної лінзи й уявного зображення, а також правил побудови зображень у довідці немає — це треба знати напам'ять.

Програма НМТ (тема «Оптика») вимагає застосовувати формулу тонкої лінзи й будувати зображення в тонкій лінзі. Відповідь у задачі — ціле число чи десятковий дріб в одиниці, указаній в умові.

Стратегія розв'язування

• Спершу визнач тип лінзи за умовою: збиральна чи розсіювальна. Це дасть знак фокусної відстані.

• Переведи всі довжини в метри (сантиметри поділи на 100).

• Застосуй формулу D = 1/F, не забуваючи про знак.

• Якщо лінзи складені впритул, спочатку додай оптичні сили, потім знайди фокусну відстань.

• Запиши відповідь у тих одиницях, які вимагає умова (метри, сантиметри, діоптрії).

• Збиральна лінза (опукла) товстіша посередині, збирає паралельний пучок у дійсному фокусі.

• Розсіювальна лінза (ввігнута) тонша посередині, робить паралельний пучок розбіжним; її фокус уявний.

• Оптична сила: D = 1/F. Одиниця — діоптрія: 1 дптр = 1 м⁻¹.

• Знак: у збиральної лінзи D > 0, у розсіювальної D < 0.

• Три характерні промені: через оптичний центр (не заломлюється), паралельно осі (проходить через фокус), через фокус (іде паралельно осі).

• Система складених упритул лінз: D = D₁ + D₂, потім F = 1/D.

• Фокусну відстань завжди переводять у метри перед обчисленням D = 1/F.