Повне внутрішнє відбивання

Коли світло переходить із середовища з більшим абсолютним показником заломлення в середовище з меншим показником (n₁ > n₂), заломлений промінь відхиляється від перпендикуляра до межі поділу. Це означає, що кут заломлення γ більший за кут падіння α. Якщо поступово збільшувати кут падіння, кут заломлення зростатиме швидше й нарешті досягне 90°. Саме в цей момент і починається явище, яке називають повним внутрішнім відбиванням.

Граничний кут повного відбивання

Граничний кут повного відбивання α₀ — це кут падіння, за якого кут заломлення дорівнює 90°. Його знаходять із закону заломлення:

$$\frac{\sin {\alpha }_0}{\sin 90^{\circ }}=\frac{n_2}{n_1}$$

Оскільки sin 90° = 1, отримуємо:

$$\sin {\alpha }_0=\frac{n_2}{n_1}$$

Тут n₁ — показник заломлення першого (оптично густішого) середовища, n₂ — другого (оптично менш густого). Для межі з повітрям, де n₂ ≈ 1, формула спрощується:

$$\sin {\alpha }_0=\frac{1}{n}$$

де n — показник заломлення речовини.

Що відбувається за різних кутів падіння

• За α < α₀: частина світла заломлюється й виходить у друге середовище, частина відбивається назад.

• За α = α₀: заломлений промінь ковзає вздовж межі поділу (γ = 90°).

• За α > α₀: заломленого променя немає — усе світло повністю відбивається назад у перше середовище за звичайним законом відбивання.

Умови виникнення

• Світло має переходити з оптично густішого середовища в оптично менш густе (n₁ > n₂).

• Кут падіння має бути не меншим за граничний: α ≥ α₀.

Важливо: повне внутрішнє відбивання ніколи не виникає під час переходу світла з повітря у скло чи воду. Чому? У цьому разі n₁ < n₂, тому sin γ = (n₁/n₂)·sin α < 1 завжди, і кут заломлення ніколи не досягає 90°.

Числові приклади

Як бачиш, чим більший показник заломлення, тим менший граничний кут — повне відбивання настає за менших кутів падіння.

Граничний кут повного відбивання залежить від показників заломлення обох середовищ. Розглянемо найпоширеніші випадки для межі з повітрям (n ≈ 1).

Зверни увагу: чим більший показник заломлення речовини, тим менший її граничний кут і тим легше виникає повне відбивання. Для алмазу α₀ ≈ 25° — це означає, що світло, яке потрапило всередину, зазнає повного відбивання вже за досить малих кутів падіння.

Граничний кут для межі двох середовищ

Якщо світло переходить не з речовини в повітря, а між двома прозорими середовищами, граничний кут обчислюють за загальною формулою:

$$\sin {\alpha }_0=\frac{n_2}{n_1}$$

Наприклад, для межі скло–вода:

$$\sin {\alpha }_0=\frac{n_{\text{води}}}{n_{\text{скла}}}\approx \frac{1,33}{1,5}\approx 0,89$$

Звідси α₀ ≈ 62°. Отже, світло, що йде зі скла у воду, повністю відбиватиметься, якщо кут падіння перевищує приблизно 62°.

Як це працює в задачах

• Якщо кут падіння більший за граничний (α > α₀), заломлений промінь не виходить у друге середовище — відбувається повне відбивання.

• Якщо кут падіння менший за граничний (α < α₀), світло частково заломлюється, і кут заломлення знаходять за звичайним законом заломлення.

• Якщо кут падіння дорівнює граничному (α = α₀), заломлений промінь ковзає вздовж межі поділу.

Запам'ятай: граничний кут — це завжди кут падіння, а не кут заломлення. Його значення визначається відношенням показників заломлення двох середовищ.

Оптичне волокно (світловод)

Оптичне волокно — це тонка нитка з прозорого матеріалу, яка складається з серцевини з більшим показником заломлення (n₁) і оболонки з меншим показником (n₂). Світло, що потрапляє в серцевину під кутом, більшим за граничний, багаторазово повністю відбивається від межі серцевина–оболонка й поширюється вздовж волокна майже без втрат.

Завдяки цьому світло може проходити кілометри всередині волокна, не виходячи назовні. Оптичні волокна використовують в інтернет-кабелях (оптоволокно), ендоскопах для медичних обстежень, системах освітлення та зв'язку.

Призми повного відбивання

Прямокутна призма зі скла (n ≈ 1,5) має граничний кут α₀ ≈ 42°. Якщо промінь падає на грань призми під кутом 45°, він повністю відбивається, оскільки 45° > 42°. Це дає змогу повертати промінь на 90° або 180° без використання дзеркал.

Такі призми застосовують у перископах (щоб змінити напрям променя на 90°), біноклях (щоб перевернути зображення), а також у катафотах — світловідбивачах на велосипедах, дорожніх знаках і одязі.

Блиск алмазу

Алмаз має дуже великий показник заломлення (n ≈ 2,4), тому його граничний кут усього ≈ 25°. Світло, що потрапляє в огранований алмаз, зазнає багаторазового повного відбивання всередині каменя й виходить назовні лише через верхні грані. Саме це створює характерний яскравий блиск, а гру кольорів зумовлює дисперсія — різне заломлення світла різних кольорів.

Для порівняння: скло з n ≈ 1,5 має α₀ ≈ 42°, тому всередині скляної намистини повне відбивання виникає за меншої кількості кутів, і блиск значно слабший.

Приклад 1. Обчислення показника заломлення за граничним кутом

Завдання (коротка відповідь). Граничний кут повного відбивання на межі деякої прозорої речовини з повітрям дорівнює 30°. Визнач показник заломлення цієї речовини.

Розв'язання. Для межі речовини з повітрям sin α₀ = 1/n. Підставляємо α₀ = 30°: sin 30° = 0,5. Отже, 0,5 = 1/n, звідки n = 1/0,5 = 2.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо помилково взяти sin α₀ = n, то n = 0,5 — це не має фізичного сенсу, оскільки показник заломлення не може бути меншим за 1 для прозорої речовини. Якщо переплутати n₁ і n₂ і взяти n = 1/0,5 = 2 — це випадково дає правильну відповідь, але хід думки хибний. Якщо обчислити n = 1/sin 60° ≈ 1,15 — це помилка в значенні синуса.

Приклад 2. Визначення, чи відбудеться повне відбивання

Завдання (вибір однієї відповіді). Світловий промінь падає зі скла (n = 1,5) на межу з повітрям під кутом 60°. Що відбувається?

• А) Промінь заломлюється, кут заломлення ≈ 42°

• Б) Промінь ковзає вздовж межі поділу

• В) Відбувається повне внутрішнє відбивання

• Г) Частина світла відбивається, частина заломлюється

Розв'язання. Спочатку обчислимо граничний кут для межі скло–повітря: sin α₀ = 1/n = 1/1,5 ≈ 0,667, звідки α₀ ≈ 42°. Кут падіння 60° більший за граничний (60° > 42°), тому заломленого променя немає — усе світло повністю відбивається назад у скло.

Відповідь: В) Відбувається повне внутрішнє відбивання.

Чому інші варіанти неправильні? А — кут 42° — це граничний кут, а не кут заломлення; за α = 60° заломлення немає. Б — промінь ковзає вздовж межі лише за α = α₀, а тут α = 60° > 42°. Г — часткове відбивання й заломлення відбувається лише за α < α₀.

Приклад 3. Коли повне відбивання неможливе

Завдання (вибір однієї відповіді). У якому з наведених випадків повне внутрішнє відбивання неможливе за жодного кута падіння?

• А) Світло падає зі скла в повітря

• Б) Світло падає з повітря на скло

• В) Світло падає з води в повітря

• Г) Світло падає з алмазу у воду

Розв'язання. Повне внутрішнє відбивання можливе лише під час переходу світла з оптично густішого середовища в менш густе (n₁ > n₂). У випадку Б світло переходить із повітря (n ≈ 1) у скло (n ≈ 1,5), тобто з менш густого в густіше середовище. Тут n₁ < n₂, тому sin γ = (n₁/n₂)·sin α завжди менший за 1, і кут заломлення ніколи не досягає 90°. Отже, повне відбивання неможливе.

Відповідь: Б) Світло падає з повітря на скло.

Чому інші варіанти неправильні? А — скло (n ≈ 1,5) > повітря (n ≈ 1), умова n₁ > n₂ виконується. В — вода (n ≈ 1,33) > повітря (n ≈ 1), умова виконується. Г — алмаз (n ≈ 2,4) > вода (n ≈ 1,33), умова виконується.

Приклад 4. Граничний кут за відомим показником заломлення

Завдання (коротка відповідь). Показник заломлення прозорої речовини дорівнює √2. Визнач граничний кут повного відбивання на межі цієї речовини з повітрям. Відповідь подай у градусах.

Розв'язання. Для межі з повітрям sin α₀ = 1/n = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,707. Кут, синус якого дорівнює √2/2, — це 45°.

Відповідь: 45.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо помилково взяти sin α₀ = n, то α₀ = arcsin(√2) — не існує, оскільки √2 > 1. Якщо обчислити α₀ = arcsin(1/√2) і отримати 30° — це плутанина з sin 30° = 0,5. Якщо взяти α₀ = 60° — це кут, синус якого √3/2, а не √2/2.

• Шукати повне відбивання під час переходу світла з повітря у скло. Насправді повне внутрішнє відбивання можливе лише тоді, коли світло переходить з оптично густішого середовища в менш густе (n₁ > n₂). У випадку повітря → скло n₁ < n₂, тому за жодного кута падіння кут заломлення не досягне 90°.

• Плутати n₁ і n₂ у формулі sin α₀ = n₂/n₁. Запам'ятай: у чисельнику завжди стоїть менший показник заломлення — того середовища, куди світло намагається вийти. Для межі з повітрям sin α₀ = 1/n, де n — показник заломлення речовини.

• Вважати, що повне відбивання відбувається, коли кут падіння менший за граничний. Насправді за α < α₀ частина світла заломлюється, а частина відбивається. Повне відбивання настає лише за α ≥ α₀.

• Вважати, що за повного відбивання частина світла все ж проходить у друге середовище. Ні: за α > α₀ заломленого променя немає взагалі — уся енергія відбивається назад.

• Вважати, що граничний кут — це кут заломлення, а не кут падіння. Граничний кут α₀ — це кут падіння, за якого кут заломлення дорівнює 90°. Не плутай: α₀ — кут падіння, а γ = 90° — кут заломлення.

Довідка НМТ містить формулу граничного кута повного відбивання sin α₀ = n₂/n₁ та закон заломлення світла. Значення показників заломлення завжди дають в умові завдання — їх не треба пам'ятати напам'ять, але варто знати приблизні значення для скла (≈ 1,5), води (≈ 1,33) і повітря (≈ 1).

Програма НМТ (тема «Оптика») називає повне відбивання серед обов'язкових тем і вимагає вміти пояснювати дію світловода. У демоваріанті 2026 року тему «Оптика» представлено завданнями № 12 (заломлення) і № 21 (тонка лінза); завдань саме на повне відбивання там немає, але вони можуть бути як у формі вибору однієї відповіді, так і у формі короткої відповіді.

Коротка відповідь (завдання № 17–22) оцінюється в 0 або 2 бали. Відповідь — число в тих самих одиницях, що й умова (градуси, безрозмірнісний показник тощо). Якісні завдання на повне відбивання перевіряють розуміння умов явища: напрям переходу світла й порівняння кута падіння з граничним.

Стратегія розв'язування

1. Визнач, з якого середовища в яке переходить світло. Перевір напрям: чи йде промінь із густішого середовища в менш густе (n₁ > n₂)? Якщо ні — повного відбивання не буде.

2. Обчисли граничний кут за формулою sin α₀ = n₂/n₁ або sin α₀ = 1/n, якщо друге середовище — повітря.

3. Порівняй заданий кут падіння α з α₀: α ≥ α₀ → повне відбивання; α < α₀ → часткове заломлення й відбивання.

4. Для задач на застосування (світловод, призма, алмаз) поясни, що малий граничний кут забезпечує багаторазове відбивання всередині матеріалу.

• Повне внутрішнє відбивання відбувається, коли світло переходить з оптично густішого середовища в менш густе (n₁ > n₂) і кут падіння не менший за граничний (α ≥ α₀).

• Граничний кут обчислюють за формулою sin α₀ = n₂/n₁. Для межі з повітрям sin α₀ = 1/n.

• Значення граничних кутів для поширених речовин: скло ≈ 42°, вода ≈ 49°, алмаз ≈ 25°.

• Повне відбивання ніколи не виникає під час переходу світла з повітря у скло чи воду (n₁ < n₂).

• Застосування: оптичне волокно (світловод) для передавання світла на великі відстані, призми повного відбивання в перископах і біноклях, яскравий блиск алмазу завдяки малому граничному куту.

• Катафоти (світловідбивачі) на велосипедах і дорожніх знаках також працюють на основі повного відбивання в призмах.