Лінійна функція: кутовий коефіцієнт і графік

Лінійна функція — це функція, яку можна задати формулою y = kx + b, де k* і *b — будь-які дійсні числа. Це найпростіший вид функцій, графіком якого є пряма лінія. Саме тому її й називають лінійною.

Область визначення лінійної функції — усі дійсні числа: D = (−∞; +∞). Це означає, що підставити у формулу можна будь-яке значення x — від мінус до плюс нескінченності.

Як побудувати графік лінійної функції

Оскільки графік — пряма, для його побудови достатньо знати всього дві точки, через які вона проходить. Далі через ці точки проводять пряму лінію. Розгляньмо приклад: y = 2x − 1.

• Візьми x = 0: тоді y = 2·0 − 1 = −1. Перша точка: (0; −1).

• Візьми x = 2: тоді y = 2·2 − 1 = 3. Друга точка: (2; 3).

• Познач ці точки на координатній площині та проведи через них пряму. Готово!

Завжди зручно брати x = 0 — тоді одразу знаходиш точку перетину з віссю Oy. Другу точку обирай так, щоб обчислення були простими, найчастіше x = 1 або x = 2.

Окремі випадки лінійної функції

Коли один із параметрів дорівнює нулю, отримуємо особливі форми:

Важливо: вертикальна пряма x = 3 НЕ є графіком лінійної функції. Чому? Таке рівняння не можна записати у вигляді y = kx + b, оскільки одному значенню x (x = 3) відповідає безліч значень y, а функція вимагає однозначної відповідності.

Область значень

Область значень лінійної функції залежить від кутового коефіцієнта:

• якщо k ≠ 0, то функція набуває всіх дійсних значень: E = (−∞; +∞)

• якщо k = 0 (стала функція y = b), то область значень — усього одне число: E = {b}

Перевірка належності точки графіку

Точка належить графіку лінійної функції тоді й лише тоді, коли її координати задовольняють формулу. Просто підстав x і y у рівняння y = kx + b та перевір, чи виконується рівність.

Приклад. Нехай функція задана формулою y = 3x − 5. Перевіримо дві точки:

• A(2; 1): 3·2 − 5 = 6 − 5 = 1 — рівність виконується, отже, точка A належить графіку.

• B(−1; 2): 3·(−1) − 5 = −3 − 5 = −8 ≠ 2 — рівність не виконується, отже, точка B не належить графіку.

Два числа в формулі y = kx + b — k і b — несуть ключову інформацію про розташування прямої на координатній площині. Розберімося з кожним окремо.

Число b — перетин з віссю Oy

Число b — це ордината точки, у якій графік перетинає вісь Oy. Іншими словами, пряма y = kx + b завжди проходить через точку (0; b). Щоб переконатися, підстав x = 0: отримаєш y = k·0 + b = b.

Приклад: для y = −3x + 5 число b = 5, тому графік перетинає вісь Oy у точці (0; 5). Для y = 2x − 7 маємо b = −7, точка перетину — (0; −7).

Кутовий коефіцієнт k — нахил прямої

Кутовий коефіцієнт k* показує, на скільки змінюється *y, коли x* збільшується на 1. Його ще називають «кутовим», бо він визначає кут нахилу прямої до додатного напряму осі *Ox.

Якщо відомі дві точки прямої (x₁; y₁) і (x₂; y₂), то кутовий коефіцієнт обчислюють за формулою:

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Приклад. Пряма проходить через точки (1; 2) і (3; 8). Обчислимо:

$$k = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Отже, коли x збільшується на 1, y збільшується на 3.

Як знак k впливає на графік

Що більший модуль |k|, то крутіше йде пряма. Наприклад, y = 5x крутіша за y = 0,5x.

Знаки k і b за рисунком

Уяви пряму, яка спадає (йде вниз зліва направо) і перетинає вісь Oy нижче від нуля. Це означає, що k < 0 і b < 0. Така пряма проходить через II, III і IV координатні чверті.

Загальна логіка:

• b > 0 — пряма перетинає додатну піввісь Oy (вище від нуля, на межі між I і II чвертями).

• b < 0 — пряма перетинає від'ємну піввісь Oy (нижче від нуля, на межі між III і IV чвертями).

• k > 0 — пряма «піднімається».

• k < 0 — пряма «опускається».

Взаємне розташування двох прямих

Нехай маємо дві лінійні функції: y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂. Їхні графіки можуть розташовуватися трьома способами:

Запам'ятай: паралельні прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт k, але різне b. Якщо й k, і b збігаються, то це одна й та сама пряма.

Тепер навчимося розв'язувати обернену задачу: маючи графік або дві точки, скласти формулу функції. Також знайдемо точки перетину прямої з осями координат і з іншою прямою.

Формула за графіком

Щоб записати рівняння прямої за її графіком, дій так:

1. Прочитай на осі Oy число b — це ордината точки перетину прямої з віссю.

2. Знайди ще одну точку з цілими координатами, через яку проходить пряма.

3. Обчисли k за формулою k = (y₂ − b) / x₂ (або скористайся формулою за двома точками).

4. Запиши рівняння: y = kx + b

Приклад. Пряма проходить через точки (0; 3) і (2; −1).

• Точка (0; 3) дає b = 3.

• Обчислюємо k: k = (−1 − 3) / (2 − 0) = −4 / 2 = −2

• Рівняння: y = −2x + 3

Формула за двома точками (без точки на Oy)

Якщо жодна з відомих точок не лежить на осі Oy, склади й розв'яжи систему рівнянь. Кожна точка дає одне рівняння y = kx + b з невідомими k та b.

Приклад. Пряма проходить через точки (1; 1) і (3; 7). Складаємо систему:

$$\begin{cases} k \cdot 1 + b = 1 \\ k \cdot 3 + b = 7 \end{cases}$$

Спростимо:

$$\begin{cases} k + b = 1 \\ 3k + b = 7 \end{cases}$$

Віднімаємо перше рівняння від другого: 3k + b − (k + b) = 7 − 1, тобто 2k = 6, звідки k = 3. Підставляємо k = 3 у перше рівняння: 3 + b = 1, отже b = −2.

Точки перетину з осями координат

• З віссю Oy: підстав x = 0 — отримаєш точку (0; b)

• З віссю Ox: підстав y = 0. Тоді kx + b = 0, звідки x = −b/k (за умови k ≠ 0). Точка: (−b/k; 0)

Приклад. Для функції y = −4x + 6:

• Перетин з Oy: (0; 6).

• Перетин з Ox: −4x + 6 = 0 → x = 6/4 = 1,5. Точка: (1,5; 0).

Перетин двох прямих

Щоб знайти точку перетину графіків двох лінійних функцій, прирівняй їхні праві частини (оскільки в точці перетину y однакове).

Приклад. Знайти точку перетину y = 3x − 2 і y = −x + 6

$$3x - 2 = -x + 6$$

$$3x + x = 6 + 2$$

$$4x = 8$$

$$x = 2$$

Підстав x = 2 в будь-яке рівняння: y = 3·2 − 2 = 4. Точка перетину: (2; 4).

Пам'ятай: паралельні прямі не перетинаються — спільних точок у них немає. Якщо в процесі розв'язування отримаєш суперечливу рівність (наприклад 0 = 5), це означає, що прямі паралельні.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на тему лінійної функції. Кожне розв'яжемо крок за кроком.

Приклад 1. Формула прямої за двома точками

Умова. Пряма проходить через точки (0; 3) і (2; −1). Яка формула задає цю функцію?

Покроковий розв'язок:

1. Точка (0; 3) лежить на осі Oy, тому b = 3.

2. Обчислюємо k: k = (−1 − 3) / (2 − 0) = −4 / 2 = −2.

3. Отже, y = −2x + 3.

Відповідь: y = −2x + 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• y = 2x + 3 — переплутано знак k (пряма спадає, тому k < 0).

• y = −2x − 3 — неправильно взято b (b = 3, а не −3).

• y = −0,5x + 3 — обчислено k як Δx/Δy замість Δy/Δx.

• y = 3x − 2 — переплутано k і b.

Приклад 2. Логічні пари: функція ↔ властивість

Умова. Установіть відповідність між функціями (1–3) та властивостями їхніх графіків (А–Д).

Функції: 1) y = 2x − 3; 2) y = −x + 4; 3) y = 5. Властивості: А) паралельний осі Ox; Б) перетинає вісь Oy у точці (0; 4); В) проходить через точку (1; −1); Г) проходить через початок координат; Д) має кутовий коефіцієнт 4.

Розв'язок:

• 1) y = 2x − 3. Перевіримо точку (1; −1): 2·1 − 3 = −1. Отже, графік проходить через точку (1; −1). Це властивість В.

• 2) y = −x + 4. Перетин з Oy: x = 0 → y = 4, точка (0; 4). Це властивість Б.

• 3) y = 5 — стала функція, її графік паралельний осі Ox. Це властивість А.

Відповідь: 1–В, 2–Б, 3–А.

Властивість Г (проходить через початок координат) не підходить жодній функції, властивість Д (k = 4) також зайва — це дистрактори.

Приклад 3. Точка перетину двох прямих

Умова. Знайди координати точки перетину графіків y = 3x − 2 і y = −x + 6.

Покроковий розв'язок:

1. Прирівнюємо праві частини: 3x − 2 = −x + 6.

2. 3x + x = 6 + 2 → 4x = 8 → x = 2.

3. y = 3·2 − 2 = 4. Точка перетину: (2; 4).

Відповідь: (2; 4).

Аналіз дистракторів:

• (4; 2) — переплутано порядок координат (x і y).

• (1; 1) — точка лежить лише на першій прямій, але не на другій.

• (2; −4) — y обчислено з неправильним знаком.

• (−2; −8) — помилка в розв'язуванні рівняння.

Приклад 4. Знаки k і b за ескізом

Умова. На рисунку зображено пряму, яка спадає (йде вниз зліва направо) і перетинає вісь Oy вище від нуля. Визнач знаки k і b.

Розв'язок: пряма спадає → k < 0. Перетинає Oy вище від нуля → b > 0.

Відповідь: k < 0, b > 0.

Чому інші варіанти неправильні:

• k > 0, b > 0 — пряма зростала б, а вона спадає.

• k < 0, b < 0 — b < 0 означає перетин Oy нижче від нуля.

• k > 0, b < 0 — і знак k, і знак b неправильні.

• k = 0, b > 0 — пряма була б горизонтальною, а вона спадає.

Підказка: якщо важко уявити, намалюй схематично — пряма, що йде з верхнього лівого кута в нижній правий, завжди має k < 0.

Навіть добре знаючи теорію, на НМТ легко припуститися помилки через неуважність. Ось типові пастки.

• Вважати b точкою перетину з віссю Ox.

• Пам'ятай: b — це ордината точки перетину з Oy, тобто точки (0; b). Перетин з Ox знаходять через рівняння kx + b = 0.

• Обчислювати k як Δx/Δy або віднімати координати точок у різному порядку.

• Формула k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Порядок має бути однаковим для x і y: якщо від y₂ віднімаєш y₁, то від x₂ віднімай x₁.

• Для перетину з віссю Ox підставляти x = 0.

• Навпаки: щоб знайти перетин з Ox, поклади y = 0 і розв'яжи рівняння.

• Вважати паралельними прямі з однаковим b, а не з однаковим k.

• Паралельність визначає k: однаковий k — паралельні, різний k — перетинаються.

• Записувати точку перетину як (y; x).

• Увага: спочатку записують x, потім y — (x; y). Переплутавши порядок, отримаєш іншу точку.

• Визначати знак k за крутизною, а не за напрямом прямої.

• Крутизна визначає модуль |k|, а знак k — напрям: вгору (k > 0) чи вниз (k < 0) зліва направо.

Лінійна функція належить до розділу «Функції» програми НМТ; серед вимог програми — «будувати графіки лінійних … функцій» та «установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком».

У тесті НМТ завдання на лінійну функцію можуть з'явитися в таких формах:

• Завдання 1–15 (вибір однієї з п'яти відповідей, 0 або 1 бал). Типові сюжети: визначити формулу прямої за графіком, знайти точку перетину двох прямих, визначити знаки k і b за ескізом.

• Логічні пари № 16 (1–3 ліворуч → А–Д праворуч, по 1 балу за кожну правильну пару). Тут можуть попросити зіставити функцію з її графіком або властивістю.

Важливо: рівняння прямої y = kx + b у довідкових матеріалах НМТ відсутнє. Ти мусиш знати напам'ять, що означають k і b та як їх визначати.

Стратегія для виконання:

• Якщо дано графік і треба знайти формулу, підстав дві точки графіка з цілими координатами в кожен варіант відповіді. Ті варіанти, для яких рівність не виконується, відпадають одразу.

• Для визначення знаків k і b за ескізом спочатку подивись, де пряма перетинає вісь Oy (це b), а потім — чи зростає вона чи спадає (це знак k).

• Завдання «формула прямої за графіком» вважається простим — воно може бути одним із тих, що дають порогові 5 балів з 32.

Тут зібрано відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення лінійної функції.

Основні формули й факти, які потрібно пам'ятати:

• Лінійна функція: y = kx + b. b — ордината точки перетину з віссю Oy, тобто графік проходить через точку (0; b); k — зміна y при збільшенні x на 1.

• k > 0 — функція зростає (пряма йде вгору), k < 0 — спадає (пряма йде вниз), k = 0 — стала функція.

• Паралельні прямі мають однакові k і різні b. Прямі з однаковими k і b збігаються.

• Перетин з віссю Ox: прирівняти y = 0 → kx + b = 0 → x = −b/k (якщо k ≠ 0).

• Перетин двох прямих: прирівняти праві частини й знайти x, потім підставити в будь-яке рівняння.

• Щоб перевірити формулу прямої за графіком, підстав у неї координати двох точок — обидві мають задовольняти рівняння.

• Для обчислення k за двома точками: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).

• b = 0, k ≠ 0 → пряма пропорційність (проходить через початок координат).