Глосарій

Незалежна змінна x, значення якої підставляють у формулу функції, щоб отримати відповідне значення y = f(x).

Числова послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне й те саме число d (різницю прогресії). Формально: aₙ₊₁ = aₙ + d для всіх n ≥ 1.

Точка параболи, в якій функція досягає найбільшого (при a < 0) або найменшого (при a > 0) значення. Координати: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀).

Дві функції f і g називають взаємно оберненими, якщо f(g(x)) = x і g(f(x)) = x для всіх x з відповідних областей визначення. Приклад: y = a^x і y = logₐ x. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої y = x.

Вертикальна пряма x = x₀, що проходить через вершину параболи, відносно якої парабола симетрична.

Дві окремі неперервні лінії, з яких складається графік гіперболи. Вони не перетинаються, необмежено наближаються до осей координат (асимптот), але ніколи їх не досягають.

Дві симетричні гілки параболи. Напрям віток визначає знак коефіцієнта a: a > 0 — вітки вгору, a < 0 — вітки вниз.

Послідовність ненульових чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (знаменник), причому q ≠ 0.

Графік функції оберненої пропорційності y = k/x. Складається з двох віток, симетричних відносно початку координат. Вітки лежать у I і III чвертях при k > 0, або в II і IV при k < 0.

Графік y = |f(x)|, у якому частини вихідного графіка під віссю Ox симетрично відображаються вгору, а частини над віссю залишаються без змін.

Множина всіх точок координатної площини з координатами (x; f(x)), де x належить області визначення функції.

Стале число q ≠ 0, на яке множать попередній член, щоб отримати наступний: q = b_{n+1}/b_n. Якщо q < 0, знаки членів чергуються.

Функція, для якої більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁). На графіку — крива йде вгору під час читання зліва направо.

Паралельне перенесення графіка: по горизонталі (y = f(x - a) або y = f(x + a)) чи по вертикалі (y = f(x) + b).

Функція виду y = ax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числа, a ≠ 0. Її графіком є парабола.

Число, на яке множиться попереднє значення величини, щоб отримати наступне. У геометричній прогресії це знаменник q. Якщо величина зростає на p % щороку, то q = 1 + p/100.

Графік функції y = cos x. Є синусоїдою, зсунутою ліворуч на π/2; проходить через точку (0; 1), повторюється через кожні 2π.

Графік функції y = x³. Проходить через точки (−1; −1), (0; 0), (1; 1), симетричний відносно початку координат, зростає на всій числовій прямій.

Функція, яка має різні аналітичні формули на різних проміжках області визначення; для обчислення значення спершу визначають потрібний проміжок.

Кутовий коефіцієнт (позначається k) показує, на скільки змінюється y при збільшенні x на 1. Обчислюється за формулою k = (y2 − y1)/(x2 − x1). Визначає нахил прямої: k > 0 — функція зростає, k < 0 — спадає.

Лінійна функція — це функція, яку можна задати формулою y = kx + b, де k і b — дійсні числа. Її графіком є пряма лінія.

Функція виду y = logₐ x, де a > 0, a ≠ 1. Область визначення — (0; +∞), область значень — (−∞; +∞). При a > 1 зростає, при 0 < a < 1 спадає. Графік завжди проходить через точку (1; 0).

Найбільше серед усіх значень, яких функція набуває на заданій множині (наприклад, на відрізку). На графіку — ордината найвищої точки графіка в межах цієї множини.

Найменше серед усіх значень, яких функція набуває на заданій множині (наприклад, на відрізку). На графіку — ордината найнижчої точки графіка в межах цієї множини.

Найменше додатне число T, для якого виконується f(x + T) = f(x) для всіх x з області визначення функції. Для sin x і cos x він дорівнює 2π, для tg x — π.

Функція f називається непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного x з цієї області виконується f(−x) = −f(x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Значення x, при яких ax² + bx + c = 0. Геометрично — абсциси точок перетину параболи з віссю Ox. Їх кількість визначає дискримінант D = b² − 4ac.

Значення аргументу x, при якому значення функції дорівнює нулю: f(x) = 0. На графіку — абсциса точки перетину або дотику графіка з віссю Ox.

Функція виду y = k/x, де k — стала, k ≠ 0. Її графіком є гіпербола. Назва походить від того, що при збільшенні x у кілька разів y зменшується в стільки ж разів, і навпаки.

Множина D(f) усіх значень аргументу x, за яких формула, що задає функцію, має зміст (її можна обчислити).

Множина E(f) усіх значень y, яких набуває функція, коли аргумент x пробігає всю область визначення.

Графік квадратичної функції. Парабола симетрична відносно вертикальної прямої, що проходить через її вершину.

Функція f називається парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного x з цієї області виконується f(−x) = f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Oy.

Зміна форми, положення або орієнтації графіка функції за допомогою зсувів, симетрій, розтягів (стисків) або модуля.

Функція, для якої існує додатне число T таке, що f(x + T) = f(x) для всіх x з області визначення. Найменше додатне T називають найменшим додатним періодом.

Функція виду y = a^x, де a > 0, a ≠ 1. Область визначення — (−∞; +∞), область значень — (0; +∞). При a > 1 зростає, при 0 < a < 1 спадає. Графік завжди проходить через точку (0; 1).

Проміжок області визначення функції, на якому функція набуває значень лише одного знака: або тільки додатних, або тільки від'ємних. Межами проміжків знакосталості є нулі функції та кінці області визначення.

Пряма пропорційність — функція виду y = kx, де k ≠ 0 (окремий випадок лінійної функції при b = 0). Її графік проходить через початок координат (0; 0).

Стале число d, яке додають до кожного попереднього члена, щоб дістати наступний. Знаходять як «наступний мінус попередній»: d = aₙ₊₁ − aₙ = a₂ − a₁. Якщо d > 0, прогресія зростає; d < 0 — спадає; d = 0 — стала.

Перетворення y = kf(x) (k > 0), за якого кожна точка (x; y) переходить у (x; ky): графік розтягується від осі Ox у k разів при k > 1 і стискається до осі Ox при 0 < k < 1.

Для додатних чисел a і c середнім геометричним називають число b = √(a·c). У геометричній прогресії з додатними членами кожен член (крім крайніх) є середнім геометричним своїх сусідів; у загальному випадку bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.

Множина D називається симетричною відносно нуля, якщо для кожного x з D число −x теж належить D. Приклади: R, [−5; 5], (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Несиметричні: [0; +∞), [−1; 3].

Відбиття графіка відносно осі Ox (y = -f(x)) або осі Oy (y = f(-x)), за якого кожна точка (x; y) переходить у симетричну відносно відповідної осі.

Властивість графіка непарної функції: якщо точка (a; b) належить графіку, то й точка (−a; −b) теж належить. Графік при повороті на 180° навколо початку координат збігається сам із собою.

Властивість графіка парної функції: якщо точка (a; b) належить графіку, то й точка (−a; b) теж належить. Графік відображається лівою і правою частинами як у дзеркалі.

Властивість графіка непарної функції: якщо точка (a; b) належить графіку, то й точка (−a; −b) теж належить. Графік при повороті на 180° навколо початку координат збігається сам із собою.

Відображення, за якого точка (m; n) переходить у точку (n; m). Графіки взаємно обернених функцій (наприклад, y = a^x і y = logₐ x) симетричні відносно прямої y = x.

Графік функції y = sin x. Має форму плавної хвилі, проходить через початок координат (0; 0), повторюється через кожні 2π.

Арифметична прогресія, яка має скінченну кількість членів, тобто задано перший і останній члени. Суму такої прогресії знаходять за формулою S_n = (a_1 + a_n) · n / 2.

Функція, для якої більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) < f(x₁). На графіку — крива йде вниз під час читання зліва направо.

Послідовність, у якій усі члени рівні між собою. У геометричній прогресії це відбувається, коли знаменник q = 1. Тоді сума n перших членів дорівнює n · b1.

Стала функція — окремий випадок лінійної функції, коли k = 0, тобто y = b. Її графік — пряма, паралельна осі Ox.

Функція виду y = xⁿ, де n — дійсне число. До степеневих належать y = x², y = x³, y = x¹⸍² (= √x), y = x¹⸍³ (визначена лише при x ≥ 0 і там збігається з ∛x), y = x⁻² = 1/x² тощо.

Результат додавання перших n членів арифметичної прогресії. Обчислюють за формулами S_n = (a_1 + a_n) · n / 2 або S_n = (2a_1 + d(n − 1)) · n / 2.

Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою Sn = b1(q^n - 1)/(q - 1) при q ≠ 1, де b1 — перший член, q — знаменник, n — кількість доданків. Якщо q = 1, то Sn = n · b1.

Графік функції y = tg x. Складається з окремих гілок, кожна з яких зростає на проміжку (-π/2 + πn; π/2 + πn); має вертикальні асимптоти в точках x = π/2 + πn.

Точка перетину графіків — точка, координати якої задовольняють рівняння обох функцій одночасно. Для двох лінійних функцій її знаходять прирівнюванням правих частин.

Формула aₙ = a₁ + d(n − 1), яка дає змогу знайти будь-який член прогресії за першим членом a₁, різницею d і номером n. Від a₁ до aₙ роблять n − 1 кроків, кожен завдовжки d.

Формула b_n = b_1 · q^{n-1}, яка дає змогу обчислити будь-який член геометричної прогресії за її першим членом b_1 і знаменником q.

Правило, за яким кожному значенню аргументу x з множини D відповідає єдине значення залежної змінної y.

Кожен член арифметичної прогресії, крім першого (а в скінченній прогресії — і останнього), дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Узагальнено: aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ)/2 для натурального k < n (якщо член aₙ₊ₖ існує).

Властивість, за якою квадрат будь-якого члена геометричної прогресії (крім першого й останнього) дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів: b_n^2 = b_{n-1} · b_{n+1}.

Занумерований набір чисел a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …, де n — натуральне число (номер члена), а aₙ — n-й член послідовності.

Пари членів арифметичної прогресії, що стоять на однаковій відстані від її початку й кінця: a_1 і a_n, a_2 і a_{n−1}, a_3 і a_{n−2} тощо. Їхні суми завжди рівні між собою, що є основою формули суми.