Квадратична функція: парабола та її вершина

Квадратичною функцією називають функцію виду y = ax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числа, причому a ≠ 0. Якщо a = 0, функція стає лінійною — це вже не квадратична.

Область визначення квадратичної функції — уся числова пряма: D = (−∞; +∞). Це означає, що в будь-яку точку x можна підставити число й отримати значення y. Графік квадратичної функції називають параболою.

Як напрямлені вітки параболи?

Перше, на що дивляться у формулі, — це коефіцієнт a при x². Саме він визначає, куди «дивляться» вітки параболи:

• a > 0 — вітки параболи напрямлені вгору. Парабола нагадує чашу.

• a < 0 — вітки параболи напрямлені вниз. Парабола нагадує перевернуту чашу.

Чим більший модуль |a|, тим «вужчою» є парабола. Наприклад, парабола y = 3x² вужча за y = x², а y = 0,5x² — ширша. Річ у тому, що при більшому |a| значення y швидше зростають (або спадають) при віддаленні від вершини.

Точка перетину з віссю Oy

Коефіцієнт c має простий геометричний зміст. Оскільки f(0) = a·0² + b·0 + c = c, то парабола завжди перетинає вісь Oy у точці (0; c). Наприклад, для функції y = x² − 4x + 3 маємо c = 3, тому графік перетинає вісь Oy у точці (0; 3).

Вісь симетрії параболи

Парабола — симетрична фігура. Уявна вертикальна пряма, яка проходить через вершину параболи, називається віссю симетрії. Вона має рівняння x = x₀, де x₀ — абсциса вершини. Симетрія означає, що дві точки з однаковою ординатою розташовані на однаковій відстані від осі симетрії.

Зокрема, точка (0; c) та точка (2x₀; c) симетричні відносно осі x = x₀. Це дає змогу швидко знайти другу точку з тією самою ординатою, що й перетин з Oy, не виконуючи жодних додаткових обчислень.

Вершина — це найважливіша точка параболи. В ній функція змінює напрям монотонності (зі спадання на зростання або навпаки) і досягає свого найбільшого або найменшого значення.

Формули для вершини

Абсцису вершини знаходять за формулою:

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Ординату вершини обчислюють, підставляючи знайдене x₀ у формулу функції: y₀ = f(x₀) = a·x₀² + b·x₀ + c. Абсцису вершини можна дістати й з умови f′(x) = 2ax + b = 0, а ординату в будь-якому разі знаходять підстановкою x₀ у формулу функції.

Розгляньмо приклади.

Для функції y = 2x² − 8x + 3 маємо a = 2, b = −8. Обчислюємо:

$$x_0=-\frac{-8}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$$

$$y_0=2\cdot 2^2-8\cdot 2+3=8-16+3=-5$$

Вершина — точка (2; −5).

Для функції y = −x² + 6x − 5 маємо a = −1, b = 6. Обчислюємо:

$$x_0=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=-\frac{6}{-2}=3$$

$$y_0=-9+18-5=4$$

Вершина — точка (3; 4).

Вершинна форма квадратичної функції

Якщо квадратичну функцію подати у вигляді y = a(x − m)² + n, то вершина визначається одразу: це точка (m; n). Перетворення звичайної форми в таку називають виділенням повного квадрата. Розгляньмо приклад:

$$x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-9+5=(x-3{)}^2-4$$

Тут a = 1, m = 3, n = −4, отже вершина — (3; −4). Цей спосіб корисний, коли потрібно швидко знайти вершину без запам'ятовування формул, але формула x₀ = −b/(2a) зазвичай швидша: виділення повного квадрата забирає більше часу.

Найбільше й найменше значення. Область значень

Ордината вершини y₀ — це те саме найбільше або найменше значення, якого набуває квадратична функція. Все залежить від знака a:

• a > 0: найменше значення = y₀, найбільшого значення немає. Область значень: E = [y₀; +∞). Функція спадає на (−∞; x₀] і зростає на [x₀; +∞).

• a < 0: найбільше значення = y₀, найменшого значення немає. Область значень: E = (−∞; y₀]. Функція зростає на (−∞; x₀] і спадає на [x₀; +∞).

Важливо: коли в завданні питають «найменше значення функції», відповіддю є y₀. Коли питають «при якому x функція набуває найменшого значення», відповідь — x₀. Не плутай ці запитання!

Наприклад, для y = 2x² − 8x + 3 (a = 2 > 0) найменше значення дорівнює −5, і досягається воно при x = 2. Для y = −x² + 6x − 5 (a = −1 < 0) найбільше значення дорівнює 4, і досягається при x = 3.

Монотонність легко запам'ятати: парабола з вітками вгору спочатку спадає до вершини, а потім зростає. З вітками вниз — навпаки: спочатку зростає, потім спадає.

Нулями квадратичної функції називають значення x, при яких y = 0. Геометрично це абсциси точок перетину параболи з віссю Ox. Щоб їх знайти, потрібно розв'язати квадратне рівняння ax² + bx + c = 0.

Скільки нулів має парабола?

Відповідь дає дискримінант D = b² − 4ac:

Не роби помилки: якщо D < 0, графік функції існує! Просто парабола не дотикається до осі Ox. При a > 0 вона розташована цілком над віссю, при a < 0 — цілком під нею.

Вершина через нулі

Якщо відомі нулі x₁ та x₂ параболи, то абсциса вершини — це їхня півсума:

$$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$$

Наприклад, якщо нулі дорівнюють 1 і 5, то x₀ = (1 + 5)/2 = 3. Це узгоджується з формулою x₀ = −b/(2a): вершина завжди лежить посередині між нулями. Це чудовий спосіб перевірити правильність обчислень.

Знаки a, b, c за ескізом графіка

На НМТ можуть дати ескіз параболи й попросити визначити знаки коефіцієнтів або значень функції. Ось як це роблять:

• Знак a — за напрямом віток. Вітки вгору → a > 0. Вітки вниз → a < 0.

• Знак c — за точкою перетину з віссю Oy. Якщо парабола перетинає вісь Oy вище від початку координат, то c > 0; якщо нижче — c < 0; якщо проходить через (0; 0) — c = 0.

• Знак b — за положенням вершини відносно осі Oy. Тут використовуємо формулу x₀ = −b/(2a). Знаки a і b визначають, де розташована вершина:

Наприклад, якщо вітки вгору (a > 0), а вершина праворуч від осі Oy (x₀ > 0), то з рівності x₀ = −b/(2a) > 0 випливає, що −b > 0, тобто b < 0. Отже, a > 0, b < 0.

Знак f(x) у точці за ескізом

Значення функції в довільній точці визначають за графіком: чи лежить точка вище осі Ox (f(x) > 0), чи нижче (f(x) < 0). Для параболи з вітками вгору й нулями −1 та 3:

• f(0) < 0 — точка (0; f(0)) лежить нижче від Ox, адже 0 між нулями −1 і 3.

• f(4) > 0 — точка (4; f(4)) лежить вище від Ox, адже 4 праворуч від правого нуля.

• f(−2) > 0 — точка (−2; f(−2)) ліворуч від лівого нуля, теж вище.

Загальне правило: між нулями значення функції мають знак, протилежний до знака a, а поза відрізком між нулями — той самий, що й a. (Докладне розв'язування квадратних нерівностей — тема окремого заняття.)

Щоб побудувати ескіз графіка квадратичної функції, не обов'язково обчислювати багато точок. Досить виконати п'ять простих кроків, які дадуть надійний малюнок.

П'ять кроків алгоритму

1. Визнач знак a — вітки вгору (a > 0) чи вниз (a < 0). Це задасть загальний напрям параболи.

2. Знайди вершину (x₀; y₀) за формулами x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀). Познач цю точку на ескізі.

3. Познач точку (0; c) — перетин з віссю Oy, і симетричну їй точку (2x₀; c) відносно осі симетрії x = x₀.

4. Знайди нулі функції, якщо D ≥ 0. Для цього розв'яжи рівняння ax² + bx + c = 0 через дискримінант. Познач нулі на осі Ox.

5. Проведи плавну криву через усі знайдені точки, пам'ятаючи про симетрію.

Розбір прикладу

Побудуймо ескіз графіка функції y = x² − 2x − 3.

• Крок 1. a = 1 > 0 → вітки вгору.

• Крок 2. x₀ = −(−2)/(2·1) = 2/2 = 1. y₀ = 1² − 2·1 − 3 = 1 − 2 − 3 = −4. Вершина: (1; −4).

• Крок 3. c = −3 → точка (0; −3). Симетрична точка: (2·1; −3) = (2; −3).

• Крок 4. D = (−2)² − 4·1·(−3) = 4 + 12 = 16 > 0. Корені: x = (2 ± 4)/2. x₁ = −1, x₂ = 3.

• Крок 5. Малюємо параболу через точки (−1; 0), (0; −3), (1; −4) — вершина, (2; −3), (3; 0).

Контроль ескізу: вершина завжди лежить посередині між нулями (тут −1 і 3, середина — 1). При a > 0 вершина — найнижча точка параболи (нижче від усіх інших). При a < 0 вершина — найвища точка.

Коли дискримінант від'ємний

Якщо D < 0, нулів немає — парабола не перетинає вісь Ox. У такому разі крок 4 пропускають, а ескіз будують за трьома опорними точками: вершина, (0; c) і симетрична точка (2x₀; c). При a > 0 парабола повністю лежить над віссю Ox, при a < 0 — під нею.

Розв'яжімо кілька типових завдань НМТ на тему квадратичної функції. Кожне розібрано покроково, із поясненням правильних і неправильних відповідей.

Приклад 1. Координати вершини

Завдання: знайти координати вершини параболи y = −x² + 6x − 5.

Розв'язання:

• Маємо a = −1, b = 6, c = −5.

• x₀ = −b/(2a) = −6/(2·(−1)) = −6/(−2) = 3.

• y₀ = f(3) = −9 + 18 − 5 = 4.

• Відповідь: (3; 4).

Чому інші варіанти неправильні:

• (−3; −32) — отримано, якщо загубити «мінус» у формулі x₀ = b/(2a), звідки x₀ = 6/(−2) = −3, і підставити −3.

• (3; −4) — правильно знайдено x₀, але помилка в знаку при обчисленні y₀: −9 + 18 − 5 = 4, а не −4.

• (6; −5) — прийнято коефіцієнти b і c за координати.

• (−3; 4) — x₀ знайдено як b/(2a) без мінуса, а ординату взято від правильної вершини.

Приклад 2. Логічні пари: ескіз ↔ знаки коефіцієнтів

Дано три ескізи парабол. Установи відповідність між ескізом і знаком коефіцієнтів (a, b, c).

Опис ескізів:

• 1) вітки вгору, вершина праворуч від Oy, перетин з Oy вище від нуля

• 2) вітки вниз, вершина ліворуч від Oy, перетин з Oy нижче від нуля

• 3) вітки вгору, вершина на осі Oy, перетин з Oy нижче від нуля

Варіанти знаків:

• А) a > 0, b < 0, c > 0

• Б) a < 0, b < 0, c < 0

• В) a > 0, b = 0, c < 0

• Г) a > 0, b > 0, c > 0

• Д) a < 0, b > 0, c < 0

Розв'язання:

• Ескіз 1: вітки вгору → a > 0. Перетин з Oy вище нуля → c > 0. Вершина праворуч від Oy (x₀ > 0) при a > 0 можлива лише, якщо b < 0 (різні знаки). Отже, 1 — А.

• Ескіз 2: вітки вниз → a < 0. Перетин з Oy нижче нуля → c < 0. Вершина ліворуч (x₀ < 0): при a < 0 це означає b < 0 (однакові знаки). Отже, 2 — Б.

• Ескіз 3: вітки вгору → a > 0. Вершина на осі Oy → x₀ = 0 → b = 0. Перетин з Oy нижче нуля → c < 0. Отже, 3 — В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 3. Найменше значення функції

Завдання: знайти найменше значення функції y = 2x² + 12x + 7.

Розв'язання:

• a = 2 > 0 → функція має найменше значення у вершині.

• x₀ = −b/(2a) = −12/(2·2) = −12/4 = −3.

• y₀ = 2·(−3)² + 12·(−3) + 7 = 18 − 36 + 7 = −11.

• Відповідь: −11.

Аналіз дистракторів:

• −3 — записано x₀ замість y₀.

• 7 — записано значення c.

• 61 — помилка в знаку при знаходженні x₀: x₀ = 12/(2·2) = 3, y₀ = 2·9 + 36 + 7 = 61.

• «найменшого значення немає» — помилка: оскільки a > 0, найменше значення існує і дорівнює y₀.

Приклад 4. Знак функції за графіком

Завдання: на ескізі зображено параболу з вітками вгору та нулями −1 і 3. Укажи правильне твердження.

Розв'язання: парабола з вітками вгору (a > 0) набуває від'ємних значень між нулями (тобто при x ∈ (−1; 3)) і додатних — поза цим проміжком.

• f(0): 0 ∈ (−1; 3) → f(0) < 0 — правильне твердження.

• f(4): 4 > 3 → f(4) > 0, а не < 0.

• f(−2): −2 < −1 → f(−2) > 0, а не < 0.

• f(1): 1 ∈ (−1; 3), але a > 0, тому f(1) = y₀ < 0, а не > 0.

• f(3): 3 — нуль функції, f(3) = 0, а не > 0.

Відповідь: f(0) < 0.

Розгляньмо типові помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач із квадратичною функцією. Запам'ятай їх — і твій результат на НМТ буде вищим.

• x₀ = b/(2a) — загублено «мінус». Типова помилка: у формулі x₀ = −b/(2a) забувають поставити знак «мінус» перед b і обчислюють x₀ = b/(2a). Правильно: спочатку записуємо формулу, потім підставляємо числа з урахуванням знаків.

• c прийнято за ординату вершини. Коефіцієнт c — це значення функції в нулі, тобто f(0), а не ордината вершини. Ординату вершини завжди обчислюють окремо за формулою y₀ = f(x₀).

• Записано x₀, коли питають найменше значення функції. Якщо запитання звучить: «Знайдіть найменше значення функції», відповідь — y₀. Якщо запитують «При якому x функція набуває найменшого значення», відповідь — x₀.

• При a < 0 шукають найменше значення замість найбільшого. Коли вітки вниз (a < 0), парабола не має найменшого значення — вона спадає до −∞. Натомість у вершині функція досягає найбільшого значення.

• Знак b визначено лише за напрямом віток, без положення вершини. Знак b залежить і від знака a, і від того, де розташована вершина відносно осі Oy. Окремо за напрямом віток визначити знак b неможливо — потрібна формула x₀ = −b/(2a).

• За D < 0 вирішено, що графіка немає. Дискримінант менший за нуль означає лише відсутність точок перетину з віссю Ox, але парабола існує й лежить цілком над віссю Ox (якщо a > 0) або під нею (якщо a < 0).

Квадратична функція входить до програми НМТ з математики (розділ «Функції»). Розгляньмо, у яких завданнях і як саме її перевіряють.

Формати завдань

• Завдання 6 (демоваріант НМТ-2026) — вибір однієї правильної відповіді з п'яти (А–Д). Оцінюється в 0 або 1 бал. Приклад (демоваріант НМТ-2026, № 6): серед ескізів вибрати графік квадратичної функції, яка набуває лише додатних значень на всій області визначення.

• Завдання 16 — логічні пари (1–3 → А–Д). Потрібно зіставити функції (серед них може бути й квадратична) з графіками чи властивостями; у демоваріанті НМТ-2026 це були логарифмічна, тригонометрична й дробово-раціональна функції. За кожну правильно встановлену пару дають 1 бал, максимум — 3 бали.

Довідкові матеріали

У довідці до НМТ наведено:

• формулу дискримінанта D = b² − 4ac;

• формулу коренів квадратного рівняння x = (−b ± √D)/(2a);

• розклад квадратного тричлена на множники a(x − x₁)(x − x₂).

Важливо: формули вершини параболи (x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀)) у довідкових матеріалах НМТ немає. Її потрібно знати напам'ять!

Стратегія розв'язування

Щоб не розгубитися під час тесту, дотримуйся такої послідовності:

• Спочатку визнач знак a за напрямом віток (вгору чи вниз). Разом із точкою перетину з Oy (c) це відсіє більшість неправильних варіантів.

• Потім визнач положення вершини (ліворуч або праворуч від осі Oy), щоб установити знак b.

• Якщо завдання містить нулі, обчисли дискримінант і перевір, чи збігаються нулі з графіком.

• Для завдань на логічні пари спершу знайди відповідність за напрямом віток (a) і точкою (0; c) — це часто одразу дає потрібну пару.

• Квадратична функція: y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Графік — парабола.

• Напрям віток: a > 0 — вітки вгору; a < 0 — вітки вниз. Чим більший |a|, тим парабола вужча.

• Перетин з Oy: точка (0; c). Симетрична їй точка: (2x₀; c).

• Вершина: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀). Запам'ятай «мінус» у формулі для x₀!

• Найменше (a > 0) або найбільше (a < 0) значення — це y₀. Область значень: [y₀; +∞) або (−∞; y₀] відповідно.

• Дискримінант D = b² − 4ac визначає кількість нулів: D > 0 — два, D = 0 — один (дотик), D < 0 — жодного.

• Знак a — за напрямом віток; знак c — за точкою (0; c); знак b — за формулою x₀ = −b/(2a) та положенням вершини.

• Між нулями значення функції мають знак, протилежний до знака a; поза нулями — той самий, що й a.