Завдання 18 НМТ: геометрична відповідність

Завдання № 18 на НМТ — це завдання на відповідність (логічні пари). Тобі дають одну геометричну фігуру й три запитання про її елементи (1, 2, 3). Праворуч — п'ять варіантів відповідей (А–Д). Твоє завдання — встановити три правильні пари. За кожну правильну пару дають 1 бал, тож максимум — 3 бали.

Перший і найважливіший крок — рисунок. Якщо в умові немає готового рисунка, будуй його сам. Він не мусить бути ідеально точним, але пропорції мають бути правдоподібними: гострий кут не малюють тупим, більшу основу — меншою. Нанеси на рисунок усі числові дані: довжини сторін, величини кутів, позначки прямих кутів. Познач також шукані величини, про які запитують у пунктах 1, 2, 3.

У трапеції головний прийом — провести висоту. Це миттєво створює прямокутний трикутник, до якого можна застосувати теорему Піфагора.

Прямокутна трапеція

У прямокутній трапеції одна бічна сторона перпендикулярна до основ — вона й є висотою. Другу (похилу) сторону разом із висотою й відрізком більшої основи, що виступає за меншу, з'єднує прямокутний трикутник. Відрізок, який відтинає висота від більшої основи, дорівнює різниці основ: $a-b$.

Рівнобічна трапеція

У рівнобічній трапеції висоти, проведені з кінців меншої основи, відтинають від більшої основи два рівні відрізки, кожен довжиною $(a-b)/2$. Отже, основа прямокутного трикутника, утвореного висотою, бічною стороною та частиною більшої основи, дорівнює $(a-b)/2$.

Перш ніж починати обчислення, склади план у чернетці: у якому порядку обчислювати три величини? Яка з них спирається на іншу? Зазвичай спершу знаходять висоту (або сторону, спільну для кількох обчислень). Від висоти залежить площа, а площа потрібна для знаходження висоти до іншої сторони через формулу площі.

Розгляньмо типові фігури, які трапляються в завданні № 18. Усі обчислення спираються на теорему Піфагора, формули площ і тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Прямокутна трапеція

Дано прямокутну трапецію з основами $12$ і $7$ та похилою бічною стороною $13$.

• Відрізок більшої основи, який виступає за меншу: $12-7=5$.

• Висота за теоремою Піфагора: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

• Площа: $S=\frac{12+7}{2}\cdot 12=\frac{19}{2}\cdot 12=19\cdot 6=114$.

• Менша діагональ (від вершини прямого кута при більшій основі): $d_1=\sqrt{12^2+7^2}=\sqrt{144+49}=\sqrt{193}$.

• Більша діагональ: $d_2=\sqrt{12^2+12^2}=\sqrt{144+144}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}$.

Зверни увагу: менша діагональ іде від прямого кута при більшій основі до вершини при меншій основі. Її проєкція на більшу основу дорівнює меншій основі, а проєкція на висоту — самій висоті.

Рівнобічна трапеція

Дано рівнобічну трапецію з основами $16$ і $6$ та бічною стороною $13$.

• Відрізок, який відтинає висота від більшої основи: $(16-6)/2=5$.

• Висота: $h=\sqrt{13^2-5^2}=12$.

• Площа: $S=\frac{16+6}{2}\cdot 12=11\cdot 12=132$.

• Середня лінія: $\frac{16+6}{2}=11$.

Пам'ятай: у довідці НМТ формули середньої лінії трапеції немає, але її легко вивести з формули площі. Якщо в задачі знадобиться середня лінія, обчисли її як півсуму основ.

Ромб

Дано ромб з діагоналями $10$ і $24$. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл.

• Сторона: $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

• Площа через діагоналі: $S=\frac{10\cdot 24}{2}=120$.

• Периметр: $4\cdot 13=52$.

• Висота: $h=S:a=120:13=\frac{120}{13}$.

Паралелограм

Дано паралелограм зі сторонами $8$ і $5$ та гострим кутом $30^{\circ }$.

• Площа: $S=8\cdot 5\cdot \sin 30^{\circ }=8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=20$.

• Висота до сторони $8$: $h_8=5\cdot \sin 30^{\circ }=5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.

• Висоту до сторони $5$ можна знайти через площу: $h_5=S/5=4$.

У паралелограмі зручно використовувати формулу площі через дві сторони й синус кута між ними: $S=ab\sin \alpha$. Та сама площа, виражена як $a\cdot h_a$, дає змогу знайти висоту до будь-якої сторони.

Трикутник — найпростіша геометрична фігура, але в завданні № 18 обчислення в ньому можуть бути пов'язаними: спершу знаходиш висоту, потім площу, а потім — висоту до іншої сторони через ту саму площу. Розгляньмо обидва основні види.

Прямокутний трикутник

Дано прямокутний трикутник з катетами $6$ і $8$.

• Гіпотенуза: $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

• Площа: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$.

• Висота до гіпотенузи: $h=\frac{6\cdot 8}{10}=4,8$ (через подвійний вираз площі: $ab/2=ch/2$).

• Синус кута, протилежного катету $6$: $\sin \alpha =6/10=0,6$.

• Медіана до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи: $m=5$.

Запам'ятай важливий прийом: висоту до гіпотенузи знаходять через площу. Площа прямокутного трикутника дорівнює півдобутку катетів, але також півдобутку гіпотенузи на висоту до неї: $S=ab/2=ch/2$. Звідси $h=ab/c$.

Рівнобедрений трикутник

Дано рівнобедрений трикутник з основою $10$ і бічною стороною $13$.

• Висота до основи є також медіаною й бісектрисою. Вона ділить основу навпіл: $10/2=5$.

• Висота за теоремою Піфагора: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

• Площа: $S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60$.

• Периметр: $13+13+10=36$.

• Косинус кута при основі: $\cos \alpha =5/13$.

Кут 30° у прямокутному трикутнику

Якщо в прямокутному трикутнику один гострий кут дорівнює $30^{\circ }$, то:

• катет, протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи;

• катет, прилеглий до цього кута, дорівнює гіпотенузі, помноженій на $\sqrt{3}/2$.

Ланцюжок залежностей

У трикутнику величини часто пов'язані так: спершу знаходять висоту (наприклад, до основи), потім через неї — площу, а потім через ту саму площу — висоту до іншої сторони. Наприклад:

Помилка на першому кроці (неправильна висота) знищує всі три пари. Тому першу величину варто перевірити окремо — наприклад, обчислити її двома різними способами, якщо це можливо.

Іноді завдання № 18 стосується не фігури, а точок на координатній площині. Три запитання — три різні перетворення однієї точки. Тут важливо не плутати правила симетрії.

Симетрія відносно осей і початку координат

Запам'ятай простий мнемонічний прийом: симетрія відносно осі Ox змінює знак тільки в координати y (горизонтальна вісь не рухається); симетрія відносно осі Oy змінює знак тільки в x; симетрія відносно початку змінює обидва знаки.

Паралельне перенесення

Паралельне перенесення задається вектором $(a;b)$. Кожна точка переходить у нову точку за формулою: $(x;y)\to (x+a;y+b)$.

• Точка $A(2;-3)$ при перенесенні на вектор $(-1;4)$ переходить у $(2+(-1);-3+4)=(1;1)$.

• Важливо: знак вектора показує напрямок. Якщо a < 0, зміщуємося вліво; якщо b < 0 — униз.

Поворот навколо початку координат

Поворот на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки: $(x;y)\to (-y;x)$. Поворот за годинниковою стрілкою: $(x;y)\to (y;-x)$. Проте в завданні № 18 поворот трапляється рідко; основна увага — на симетрію та паралельне перенесення.

Центральна симетрія відносно точки M

Якщо точка M — центр симетрії, то вона є серединою відрізка між точкою A та її образом A'. Якщо $A(x_1;y_1)$ і $M(x_0;y_0)$, то образ $A^{\prime }(2x_0-x_1;2y_0-y_1)$.

Кожне перетворення обчислюють окремо. Результат одного не залежить від іншого, тому помилка в одній парі не впливає на інші — це відрізняє цей тип завдання від задач на фігуру.

Розгляньмо чотири приклади, які охоплюють усі основні види геометричної відповідності. Кожен приклад — це три логічні пари (1, 2, 3 → А–Д). Розв'язуймо покроково.

Приклад 1. Прямокутна трапеція

Умова. Прямокутна трапеція має основи 9 і 4, більша бічна сторона дорівнює 13. Установіть відповідність:

Варіанти відповідей: А 12, Б 78, В 4√10, Г 15, Д 5.

Розв'язання

Крок 1. У прямокутній трапеції одна бічна сторона перпендикулярна до основ — це висота. Друга бічна сторона — похила (13). Відрізок, на який більша основа довша за меншу: $9-4=5$.

Крок 2. Висота: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Отже, 1 → А.

Крок 3. Площа: $S=\frac{9+4}{2}\cdot 12=\frac{13}{2}\cdot 12=13\cdot 6=78$. Отже, 2 → Б.

Крок 4. Менша діагональ іде від вершини прямого кута при більшій основі (9) до вершини при меншій основі (4). Її катети — висота (12) і менша основа (4): $d=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=\sqrt{16\cdot 10}=4\sqrt{10}$. Отже, 3 → В.

Г (15) — це більша діагональ $\sqrt{12^2+9^2}=15$. Д (5) — це відрізок основи $9-4$, а не висота.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 2. Рівнобедрений трикутник

Умова. Рівнобедрений трикутник має бічну сторону 10 і основу 12. Установіть відповідність:

Варіанти відповідей: А 8, Б 48, В 9,6, Г 96, Д 6.

Розв'язання

Крок 1. Висота до основи є медіаною: ділить основу навпіл (12/2 = 6). За теоремою Піфагора: $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$. Отже, 1 → А.

Крок 2. Площа: $S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48$. Отже, 2 → Б.

Крок 3. Висота до бічної сторони — через площу: $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b$, звідки $h_b=2S/b=2\cdot 48/10=96/10=9,6$. Отже, 3 → В.

Г (96) — це $2S$, не поділили на бічну сторону. Д (6) — половина основи, а не висота.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 3. Перетворення на координатній площині

Умова. Дано точку A(−3; 5). Установіть відповідність:

Варіанти відповідей: А (3; 5), Б (3; −5), В (1; −1), Г (−3; −5), Д (−7; 11).

Розв'язання

Крок 1. Симетрія відносно Oy: змінюємо знак x, y не чіпаємо: (−3; 5) → (3; 5). Отже, 1 → А.

Крок 2. Симетрія відносно початку координат: змінюємо обидва знаки: (−3; 5) → (3; −5). Отже, 2 → Б.

Крок 3. Паралельне перенесення на вектор (4; −6): (−3 + 4; 5 + (−6)) = (1; −1). Отже, 3 → В.

Г (−3; −5) — симетрія відносно Ox. Д (−7; 11) — координати вектора відняли замість додати.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Ромб із кутом 60°

Умова. Ромб має сторону 10 і гострий кут 60°. Установіть відповідність:

Варіанти відповідей: А 10, Б 10√3, В 50√3, Г 100, Д 20.

Розв'язання

Крок 1. Менша діагональ ромба протилежна гострому куту 60°. Діагональ ділить кут 60° навпіл, але простіше: ромб з кутом 60° складається з двох рівносторонніх трикутників зі стороною 10. Менша діагональ дорівнює стороні: 10. Отже, 1 → А.

Крок 2. Більша діагональ — висота рівностороннього трикутника, помножена на 2: $d_2=2\cdot (10\cdot \sqrt{3}/2)=10\sqrt{3}$. Отже, 2 → Б.

Крок 3. Площа через діагоналі: $S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$. Або через сторону й синус кута: $S=10\cdot 10\cdot \sin 60°=100\cdot \sqrt{3}/2=50\sqrt{3}$. Отже, 3 → В.

Г (100) — площа без синуса (10 · 10). Д (20) — півпериметр.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

• Неправильний рисунок: у прямокутній трапеції перпендикулярною до основ малюють не ту бічну сторону. Пам'ятай: прямокутна трапеція має два прямі кути — при бічній стороні, перпендикулярній до основ. Саме ця сторона є висотою.

• Ділити різницю основ навпіл у прямокутній трапеції. У рівнобічній трапеції висоти відтинають від більшої основи два рівні відрізки — тому ділимо навпіл. У прямокутній трапеції висота одна, і відрізок дорівнює всій різниці основ $a-b$ без ділення.

• Брати відрізок основи чи бічну сторону замість висоти. У прямокутній трапеції перпендикулярна бічна сторона — це висота, а не похила. У рівнобічній трапеції висоту треба знаходити за теоремою Піфагора, а не брати бічну сторону.

• Помилитися в першій величині (висоті), від якої залежать площа й діагональ. Це найнебезпечніша пастка: неправильна висота тягне за собою неправильну площу й неправильну діагональ — втрачаються всі три бали. Завжди перевіряй першу величину.

• Плутати симетрію відносно осі Ox і осі Oy. Запам'ятай: Ox — горизонтальна вісь (змінюється y), Oy — вертикальна вісь (змінюється x). Симетрія відносно Ox: (x; y) → (x; −y). Симетрія відносно Oy: (x; y) → (−x; y).

• Забувати ділити на 2 у формулах площі. Площа трикутника: $S=\frac{1}{2}ah$. Площа ромба через діагоналі: $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$. Площа трапеції: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$. Найпоширеніша помилка — обчислити $a\cdot h$ і не поділити на 2.

• Не звертати уваги на одиниці вимірювання. У завданні № 18 усі величини числові, але перевір, чи очікується відповідь у вигляді кореня (наприклад, $4\sqrt{10}$) чи звичайного числа.

Завдання № 18 — це третє завдання на відповідність у тесті НМТ. Його оцінюють від 0 до 3 балів: по 1 балу за кожну правильно встановлену пару. Саме тому варто спробувати встановити хоча б ті пари, у яких ти впевнена / впевнений, навіть якщо одну пару не знаєш.

• Демоваріант 2026: у № 18 була прямокутна трапеція з теоремою Піфагора (теми 5.4 + 5.3 програми НМТ). Потрібно було знайти відрізки трапеції за теоремою Піфагора.

• Тести 2023–2024: на позиції № 18 найчастіше стояли прямокутний або рівнобедрений трикутник і чотирикутники (трапеція, ромб, паралелограм). В одному з тестів трапилися перетворення на координатній площині.

• Складність: в аналізі програми № 18 віднесено до найскладніших позицій. Причина — три пов'язані обчислення: помилка в першому тягне за собою інші.

• Довідка НМТ: містить теорему Піфагора, sin, cos, tg у прямокутному трикутнику, формули площ трикутника, паралелограма, ромба й трапеції. Формули середньої лінії трапеції в довідці немає.

• Стратегія: виділи на завдання 3–5 хвилин. Найретельніше виконай рисунок і обчисли першу величину — від неї залежать дві інші пари. Якщо перша величина правильна, дві наступні обчислюються за простими формулами.

• Спершу точний рисунок і всі дані на ньому. Без рисунка — більше шансів помилитися.

• У трапеції опусти висоту — отримаєш прямокутний трикутник. Прямокутна трапеція: відрізок $a-b$. Рівнобічна трапеція: відрізок $(a-b)/2$.

• Першу величину обчислюй найретельніше: від неї залежать інші. Якщо перша величина неправильна, помилковими будуть і дві наступні.

• Та сама площа дає висоту до іншої сторони: $h=2S/a$ — універсальна формула.

• Симетрія на координатній площині: відносно Ox — змінюється знак y; відносно Oy — знак x; відносно початку — обидва знаки.

• Три пари — три окремі перевірки. Кожна правильна пара дає 1 бал. Навіть якщо одну пару не знаєш, решту варто встановити.