Завдання 16 НМТ: функція та її графік або властивість

Щоб упевнено встановлювати відповідність між формулою функції та її графіком чи властивістю, варто тримати в пам'яті кілька груп ознак. Кожна з них дає змогу відкинути неправильні варіанти за лічені секунди.

Контрольні точки графіка

Контрольна точка — це точка з відомими координатами, через яку обов'язково проходить графік певної функції. Запам'ятай найважливіші:

Область визначення функції

Область визначення — це множина всіх x, для яких формула має зміст. Це найпотужніший фільтр:

• y = logₐ x — x > 0 (аргумент логарифма додатний)

• y = √x — x ≥ 0 (підкореневий вираз невід'ємний)

• y = k/x і будь-яка дробово-раціональна функція — усі x, крім нулів знаменника

• y = tg x — x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z

• y = aˣ, sin x, cos x, усі многочлени — x ∈ R (усі дійсні числа)

Область значень функції

Область значень — це множина всіх y, яких може набувати функція:

• y = aˣ — y > 0 (додатні числа)

• y = sin x, y = cos x — [−1; 1]

• y = tg x — усі дійсні числа

• y = x² — y ≥ 0 (невід'ємні числа)

• y = a(x − m)² + n при a > 0 — [n; +∞)

• y = logₐ x — усі дійсні числа

Парність і непарність

Парна функція задовольняє умову f(−x) = f(x) — її графік симетричний відносно осі Oy. Непарна — f(−x) = −f(x) — симетрія відносно початку координат. Якщо жодна з умов не виконується, функція ні парна, ні непарна.

Запам'ятай: для перевірки парності не потрібен графік — достатньо підставити −x у формулу й порівняти з вихідною.

Монотонність — це характер зміни функції: вона може зростати (більшому x відповідає більший y) або спадати (більшому x відповідає менший y). Для завдання № 16 визначальним є зв'язок між основою степеня чи логарифма та напрямом монотонності.

Показникова та логарифмічна функції

І для y = aˣ, і для y = logₐ x правило одне:

• якщо a > 1 — функція зростає на всій області визначення;

• якщо 0 < a < 1 — функція спадає на всій області визначення.

Приклади: y = 3ˣ зростає, y = lg x (основа 10 > 1) зростає; y = (1/3)ˣ спадає, y = log_(0,5)x спадає.

Пастки основи

Іноді основа записана неявно. Наприклад, y = 2⁻ˣ — це те саме, що y = (1/2)ˣ, тому функція спадає, хоча в записі фігурує основа 2. Так само y = −log₂ x спадає, тому що log₂ x зростає, а знак «−» перевертає напрям. Зважай на такі перетворення.

Лінійна функція

y = kx + b: зростає, коли k > 0, спадає, коли k < 0, стала при k = 0.

Квадратична функція (парабола)

y = ax² + bx + c при a > 0 спадає на проміжку (−∞; x₀] і зростає на [x₀; +∞), де x₀ = −b/(2a) — абсциса вершини. При a < 0 напрям змінюється на протилежний.

Обернена пропорційність

y = k/x при k > 0 спадає на кожному з проміжків (−∞; 0) і (0; +∞) окремо. Але на всій області визначення вона не є спадною — ця помилка одна з найпоширеніших!

Саме ці три типи функцій були в завданні № 16 демоваріанта НМТ-2026. Вони мають характерні особливості, які легко перевірити.

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція y = logₐ x визначена на проміжку (0; +∞), проходить через точку (1; 0) і може зростати або спадати залежно від основи. Якщо аргумент ускладнено, область визначення звужується. Наприклад:

• y = log₂(x − 3): x − 3 > 0 → x > 3. Нуль функції: log₂(x − 3) = 0 → x − 3 = 1 → x = 4. Графік — графік y = log₂ x, зсунутий на 3 одиниці вправо.

• y = lg x + 1: нуль функції — lg x + 1 = 0 → lg x = −1 → x = 0,1.

Тригонометричні функції

Зверни увагу: y = tg x не визначена в точках x = π/2 + πn. Якщо перед синусом чи косинусом стоїть множник, область значень змінюється — наприклад, y = 2 sin x має область значень [−2; 2].

Дробово-раціональна функція

Дробово-раціональна функція — це відношення двох многочленів. Найважливіше: вона не визначена в нулях знаменника. Приклад: y = (x + 2)/(x − 1). Знаменник дорівнює нулю при x = 1 — це точка розриву. Чисельник дорівнює нулю при x = −2 — це нуль функції (перетин з віссю Ox). Перетин з віссю Oy знаходимо, підставляючи x = 0: y = (0 + 2)/(0 − 1) = −2. Отже, точка (0; −2).

Інший приклад: y = 3/x + 1. Функція не визначена при x = 0. Вона не набуває значення 1 — це горизонтальна асимптота, бо при дуже великих x дріб 3/x прямує до 0, а y — до 1.

Як формулюють властивості в завданні

У варіанті НМТ властивість або графік описують словами. Типові формулювання:

• «графік проходить через точку (1; 0)» — ознака логарифмічної функції;

• «функція спадає на всій області визначення» — може бути показниковою (a < 1), логарифмічною (a < 1), лінійною (k < 0);

• «область визначення — (0; +∞)» — логарифмічна (у √x область визначення [0; +∞));

• «функція непарна» — x³, 1/x, sin x, tg x;

• «найбільше значення дорівнює 1» — sin x або cos x (без множника);

Завдання № 16 — це відповідність між трьома функціями (1, 2, 3) і п'ятьма варіантами графіків чи властивостей (А–Д, два зайві). Ось покроковий алгоритм.

Крок 1. Випиши ознаки для кожної функції

У чернетці для кожної з трьох функцій запиши 3–4 ознаки: область визначення, одну контрольну точку, монотонність, парність. Наприклад, для y = log₃ x: область (0; +∞), точка (1; 0), зростає, ні парна ні непарна.

Крок 2. Визнач, чи варіант містить графіки чи словесні властивості

Якщо варіанти А–Д — це описи графіків («пряма через точки...», «парабола з вершиною...»), перевіряй кожну функцію за двома ознаками: точка перетину з віссю та поведінка (зростає чи спадає, де не існує). Якщо варіанти — словесні властивості («спадає», «парна», «область визначення — (0; +∞)»), перевіряй кожну властивість для всіх трьох функцій.

Крок 3. Почни з найяскравішої ознаки

Серед трьох функцій майже завжди є одна з унікальною ознакою, яка підходить лише одному варіанту. Постав цю пару першою. Наприклад, якщо є логарифмічна функція, а серед властивостей є «область визначення — (0; +∞)» — це майже напевно її пара.

Крок 4. Якщо властивість підходить двом — використай другу ознаку

Наприклад, властивість «спадає на всій області визначення» може підходити і y = (1/3)ˣ, і y = log_(0,5)x. Тоді зверни увагу на контрольну точку: (0; 1) — для показникової, (1; 0) — для логарифмічної.

Крок 5. Після кожної пари запиши, яка ознака її вирішила

Це допомагає тренувати увагу й уникати помилок. Ти можеш записувати скорочено: «точка», «область», «монотонність», «парність». З часом ти робитимеш це подумки за секунду.

Розгляньмо чотири приклади завдань формату НМТ. Кожен із них ілюструє різні типи відповідностей.

Приклад 1. Функція ↔ властивість (контрольні точки та монотонність)

Установи відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А–Д).

1. y = log₃ x

2. y = (1/3)ˣ

3. y = 3x

А. Графік проходить через точку (1; 0) Б. Спадає на всій області визначення В. Непарна Г. Область визначення — [0; +∞) Д. Графік проходить через точку (0; 3)

Розв'язання: Для y = log₃ x: область (0; +∞), точка (1; 0), зростає (a = 3 > 1). Отже, властивість А (точка (1; 0)) — її пара. Для y = (1/3)ˣ: основа 0 < 1/3 < 1 — спадає. Контрольна точка (0; 1). Отже, властивість Б (спадає) — підходить. Для y = 3x: це лінійна функція з k = 3, проходить через (0; 0), непарна: f(−x) = 3(−x) = −3x = −f(x). Властивість В (непарна) — її пара.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Чому інші варіанти неправильні: Г — [0; +∞) — область визначення √x, а не цих функцій; Д — точка (0; 3) — лінійна функція y = 3 теж мала б (0; 3), але вона стала, а y = 3x має (0; 0).

Приклад 2. Функція ↔ властивість (область визначення, парність, перетин)

Установи відповідність.

1. y = cos x

2. y = (x − 2)/(x + 1)

3. y = log₂(x + 4)

А. Парна Б. Не визначена в точці x = −1 В. Графік перетинає вісь Oy у точці (0; 2) Г. Має нуль x = −2 Д. Найбільше значення дорівнює 2

Розв'язання: y = cos x — парна (cos(−x) = cos x). Отже, 1–А. y = (x − 2)/(x + 1): знаменник x + 1 = 0 при x = −1 — точка, де функція не визначена. Отже, 2–Б. y = log₂(x + 4): перетин з віссю Oy при x = 0: y = log₂(0 + 4) = log₂ 4 = 2. Отже, 3–В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Г (нуль x = −2) — пастка: y = log₂(x + 4) має нуль при x + 4 = 1 → x = −3, а не −2. Функція y = (x − 2)/(x + 1) має нуль при x = 2 (чисельник = 0). Д — значення 2 — найбільше для y = 2 cos x, а не для cos x.

Приклад 3. Функція ↔ словесний опис графіка

Установи відповідність.

1. y = x² − 4

2. y = −2x + 4

3. y = 2ˣ − 4

А. Пряма через точки (2; 0) і (0; 4) Б. Парабола з вершиною (0; −4), вітки вгору В. Зростаюча крива через (0; −3), що лежить вище від прямої y = −4 Г. Парабола з вершиною (0; 4), вітки вниз Д. Пряма через (0; −4) і (2; 0)

Розв'язання: y = x² − 4 — парабола, a = 1 > 0 (вітки вгору), вершина при x = 0: y = −4. Отже, 1–Б. y = −2x + 4 — пряма, перетин з Oy: (0; 4), нуль: −2x + 4 = 0 → x = 2, отже (2; 0). Отже, 2–А. y = 2ˣ − 4 — показникова, зростає (2 > 1), при x = 0: y = 1 − 4 = −3, і 2ˣ > 0 → y > −4. Отже, 3–В.

Відповідь: 1–Б, 2–А, 3–В.

Приклад 4. Функція ↔ монотонність + контрольна точка

Установи відповідність.

1. y = log_(1/2) x

2. y = 2ˣ

3. y = (1/2)ˣ

А. Зростає, проходить через (0; 1) Б. Спадає, проходить через (0; 1) В. Спадає, проходить через (1; 0) Г. Зростає, проходить через (1; 0) Д. Спадає, проходить через (0; 0)

Розв'язання: y = log_(1/2) x: основа 1/2 < 1 — спадає; контрольна точка (1; 0). Отже, 1–В. y = 2ˣ: основа 2 > 1 — зростає; точка (0; 1). Отже, 2–А. y = (1/2)ˣ: основа 1/2 < 1 — спадає; точка (0; 1). Отже, 3–Б.

Відповідь: 1–В, 2–А, 3–Б.

Варіант Г — пастка для тих, хто помилково вважає log_(1/2) x зростаючою, бо «логарифмічна функція зростає». Насправді все залежить від основи.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються на НМТ у завданні № 16. Знаючи їх, ти зможеш їх уникнути.

• Вважати, що y = (1/3)ˣ чи y = log_(0,5) x зростає. Запам'ятай: не будь-яка показникова чи логарифмічна функція зростає — усе залежить від основи: при a > 1 зростає, при 0 < a < 1 спадає.

• Плутати контрольні точки: (0; 1) — для aˣ, (1; 0) — для logₐ x. Легко забути, яка точка до якої функції належить. Повторюй: показникова — нуль у степені дає 1; логарифм — логарифм одиниці дорівнює нулю.

• Забувати, що logₐ x визначена лише при x > 0, а дробово-раціональна функція — не в нулях знаменника. Область визначення — найшвидший спосіб відкинути неправильний варіант.

• Вважати y = k/x спадною на всій області визначення. Насправді вона спадає окремо на (−∞; 0) і на (0; +∞), але на всій множині — ні, бо, наприклад, f(−1) = −k, а f(1) = k, і при k > 0 маємо −k < k, що порушує означення спадної функції.

• Плутати симетрію парної (відносно Oy) і непарної (відносно початку координат) функцій. Парна: f(−x) = f(x), графік симетричний відносно вертикальної осі. Непарна: f(−x) = −f(x), графік симетричний відносно точки (0; 0).

• Вирішувати пару за однією ознакою, яка підходить двом функціям. Наприклад, властивість «спадає на всій області визначення» одночасно підходить і y = (1/3)ˣ, і y = log_(0,5)x. Треба взяти другу ознаку — контрольну точку — і розрізнити їх.

Ось що треба знати про завдання № 16 на реальному НМТ.

• У демоваріанті 2026 року № 16 — це відповідність «функція ↔ властивість» для логарифмічної, тригонометричної й дробово-раціональної функцій (тема 3.2 програми НМТ). Завдання оцінюється в 0–3 бали — по 1 балу за кожну правильно встановлену пару.

• У вибірці тестів 2023–2024 років на позиції 16 стояла відповідність «функція ↔ графік чи властивість». Формат міг відрізнятися, але логіка розпізнавання ознак лишалася тією самою.

• За аналізом програми НМТ, тема 3.2 (функції та їхні властивості) дає приблизно 2 завдання на тест. У демо 2026 це № 6 (знак квадратичної функції за ескізом графіка) і № 16.

• У переліку довідкових матеріалів, які видають на НМТ, немає графіків і властивостей елементарних функцій. Усі ознаки — контрольні точки, область визначення, парність, монотонність — треба знати напам'ять.

• Стратегія: виділи на завдання 3–5 хвилин. Почни з функції, яка має найяскравішу ознаку (наприклад, контрольна точка чи характерна область визначення). Якщо сумніваєшся — повернися до функції знову після того, як поставив інші пари.

• Показникова функція aˣ завжди проходить через (0; 1), логарифмічна logₐ x — через (1; 0).

• Основа між 0 і 1 — функція спадає; основа більша за 1 — функція зростає. Це працює і для показникової, і для логарифмічної.

• Область визначення відсікає найбільше варіантів: логарифм — аргумент > 0; дріб — без нулів знаменника; √x — x ≥ 0; tg x — без точок π/2 + πn; показникова, sin x, cos x, многочлени — усі x.

• Парна функція: f(−x) = f(x), симетрія відносно осі Oy. Непарна: f(−x) = −f(x), симетрія відносно початку координат.

• Перевіряй кожну пару за двома ознаками. Якщо одна ознака підходить двом функціям — використай другу.

• Після кожної пари називай ознаку, що її вирішила: «точка», «область», «монотонність» або «парність».