Типові завдання НМТ: коливання, хвилі й оптика

Гармонічні коливання — це періодичний рух, за якого координата тіла змінюється за законом синуса або косинуса. Рівняння гармонічних коливань має вигляд $x=A\cdot \cos (\omega t)$, де $A$ — амплітуда (максимальне відхилення від положення рівноваги), $\omega$ — циклічна частота, $t$ — час. Період $T$ — це час одного повного коливання; частота $\nu =1/T$ — кількість коливань за одиницю часу. Циклічна частота пов'язана зі звичайною: $\omega =2\pi \nu =2\pi /T$.

За графіком залежності $x(t)$ можна визначити амплітуду як максимальне значення координати, а період — як відстань по осі часу між двома однаковими фазами (наприклад, між двома сусідніми максимумами). Важливо: за один повний період тіло проходить шлях, що дорівнює $4A$ (чотири амплітуди), а його переміщення дорівнює нулю, оскільки тіло повертається у вихідне положення.

Формули періоду для різних систем

Період коливань залежить від параметрів системи:

• Пружинний маятник: $T=2\pi \sqrt{m/k}$, де $m$ — маса вантажу, $k$ — жорсткість пружини.

• Нитяний маятник: $T=2\pi \sqrt{l/g}$, де $l$ — довжина нитки, $g$ — прискорення вільного падіння.

• Коливальний контур (формула Томсона): $T=2\pi \sqrt{LC}$, де $L$ — індуктивність котушки, $C$ — ємність конденсатора.

Приклад: коливальний контур містить котушку індуктивністю $L=0,1$ Гн і конденсатор ємністю $C=10$ мкФ $=10^{-5}$ Ф. Добуток $LC=0,1\cdot 10^{-5}=10^{-6}$ с². Тоді $T=2\pi \sqrt{10^{-6}}=2\pi \cdot 10^{-3}\approx 6,28\cdot 10^{-3}$ с $=6,28$ мс.

Змінний струм

Змінний струм — це електричний струм, що періодично змінює напрямок і величину. Його миттєве значення описується синусоїдальним законом. Діюче (ефективне) значення напруги й струму пов'язане з амплітудним: $U=U_{\text{max}}/\sqrt{2}$, $I=I_{\text{max}}/\sqrt{2}$. У побутовій мережі України стандартна частота змінного струму — $50$ Гц, що відповідає періоду $T=1/50=0,02$ с.

Трансформатор — пристрій для зміни напруги змінного струму. Співвідношення для ідеального трансформатора: $U_1/U_2=N_1/N_2$, де $U_1$, $U_2$ — напруги на первинній і вторинній обмотках, $N_1$, $N_2$ — відповідні кількості витків. Якщо $N_1>N_2$, трансформатор знижує напругу; якщо $N_1<N_2$ — підвищує.

Хвиля — це поширення коливань у просторі. Довжина хвилі $\lambda$ — це відстань, на яку поширюється хвиля за один період: $\lambda =vT=v/\nu$, де $v$ — швидкість поширення хвилі, $T$ — період, $\nu$ — частота.

Хвилі поділяють на поперечні (частинки середовища коливаються перпендикулярно до напрямку поширення) і поздовжні (коливання відбуваються вздовж напрямку поширення). Звук — це поздовжня хвиля. Гучність звуку залежить від амплітуди коливань (інтенсивності хвилі), а висота тону — від частоти: чим вища частота, тим вищий тон.

Електромагнітні хвилі

Електромагнітні хвилі поширюються у вакуумі зі швидкістю світла $c=3\cdot 10^8$ м/с. Для них виконується співвідношення $c=\lambda \nu$. У середовищі швидкість електромагнітної хвилі менша: $v=c/n$, де $n$ — показник заломлення середовища.

Ключовий факт: під час заломлення світла частота хвилі не змінюється. Змінюються швидкість і довжина хвилі. Якщо світло переходить у середовище з більшим показником заломлення, швидкість і довжина хвилі зменшуються.

Приклад: радіохвиля частотою $100$ МГц ($10^8$ Гц) у вакуумі має довжину хвилі $\lambda =c/\nu =3\cdot 10^8/10^8=3$ м.

Резонанс

Резонанс — явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота зовнішньої сили збігається з власною частотою коливальної системи. У механіці це може призвести до руйнування конструкцій (наприклад, міст руйнується, коли солдати йдуть у ногу). В електричних колах резонанс використовують для налаштування радіоприймачів на потрібну частоту.

Заломлення світла — це зміна напрямку поширення світлового променя під час переходу з одного прозорого середовища в інше. Закон заломлення (закон Снеліуса) має вигляд:

$$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}$$

де $\alpha$ — кут падіння, $\beta$ — кут заломлення, $n_1$, $n_2$ — показники заломлення першого й другого середовища, $v_1$, $v_2$ — швидкості світла в цих середовищах. Якщо $n_2>n_1$, промінь відхиляється до нормалі ($\beta <\alpha$); якщо $n_2<n_1$ — від нормалі ($\beta >\alpha$).

Повне внутрішнє відбивання

Коли світло переходить з оптично щільнішого середовища в менш щільне ($n_1>n_2$), за певного кута падіння заломлений промінь ковзає вздовж межі поділу ($\beta =90^{\circ }$). Цей кут називають граничним кутом повного відбивання ${\alpha }_0$. Для переходу з середовища з показником $n$ у повітря ($n_{\text{пов}}\approx 1$):

$$\sin {\alpha }_0=\frac{1}{n}$$

Якщо кут падіння перевищує граничний, світло повністю відбивається назад у перше середовище — це явище називають повним внутрішнім відбиванням. Воно можливе лише під час переходу зі щільнішого середовища в менш щільне.

Формула тонкої лінзи

Тонка лінза — це прозоре тіло, обмежене двома сферичними поверхнями, товщина якого значно менша за радіуси кривини поверхонь. Формула тонкої лінзи:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

де $F$ — фокусна відстань, $d$ — відстань від предмета до лінзи, $f$ — відстань від лінзи до зображення. Оптична сила лінзи $D=1/F$ (одиниця — діоптрія, дптр). Збільшення лінзи $\Gamma =f/d$.

Правило знаків: для збиральної лінзи $F>0$, для розсіювальної $F<0$; дійсне зображення $f>0$, уявне $f<0$. Предмет завжди вважають дійсним, тому $d>0$.

Приклад: предмет розташований на відстані $d=30$ см від збиральної лінзи з фокусною відстанню $F=10$ см. Знайдемо відстань до зображення:

$1/f=1/F-1/d=1/10-1/30=(3-1)/30=2/30=1/15$; отже $f=15$ см. Оптична сила лінзи $D=1/F=1/0,1=10$ дптр.

Побудова зображень у тонкій лінзі

Для побудови зображення точки в тонкій лінзі використовують два характерні промені:

• Промінь, що проходить через оптичний центр лінзи, не заломлюється.

• Промінь, паралельний головній оптичній осі, після заломлення проходить через фокус (у збиральній лінзі) або його продовження проходить через фокус (у розсіювальній).

Для збиральної лінзи: якщо $d>2F$, зображення дійсне, зменшене, обернене; якщо $F<d<2F$, зображення дійсне, збільшене, обернене; якщо $d<F$, зображення уявне, збільшене, пряме.

Дифракційна ґратка — це оптичний пристрій, що складається з великої кількості паралельних щілин однакової ширини, розташованих на однаковій відстані одна від одної. Період (стала) ґратки $d$ — це відстань між сусідніми щілинами.

Формула дифракційної ґратки

Умова спостереження головних максимумів під час дифракції на ґратці:

$$d\cdot \sin \phi =m\lambda$$

де $d$ — період ґратки, $\phi$ — кут, під яким спостерігається максимум, $m$ — порядок максимуму (ціле число: $0,\pm 1,\pm 2,\dots$), $\lambda$ — довжина хвилі світла.

Приклад: дифракційна ґратка має період $d=2$ мкм $=2\cdot 10^{-6}$ м. На неї падає монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda =500$ нм $=5\cdot 10^{-7}$ м. Знайдемо синус кута для максимуму першого порядку ($m=1$): $\sin \phi =m\lambda /d=1\cdot 5\cdot 10^{-7}/(2\cdot 10^{-6})=0,25$. Отже $\phi \approx 14,5^{\circ }$.

Інтерференція світла

Інтерференція — це явище накладання когерентних світлових хвиль, у результаті якого утворюється стала картина чергування максимумів і мінімумів освітленості. Умови спостереження:

• Максимум (посилення): різниця ходу $\Delta =m\lambda$, де $m=0,1,2,\dots$

• Мінімум (послаблення): різниця ходу $\Delta =(2m+1)\lambda /2$, де $m=0,1,2,\dots$

Інтерференцію можна спостерігати, наприклад, у тонких плівках (мильні бульбашки, плями бензину на воді), де світло відбивається від двох поверхонь плівки.

Дисперсія, спектри й поляризація

Дисперсія — це залежність показника заломлення середовища від довжини хвилі світла. Унаслідок дисперсії біле світло розкладається на спектр (наприклад, у призмі або в краплях води — веселка).

Спектри випромінювання бувають суцільними (нагріті тверді тіла й рідини) і лінійчастими (розріджені гази). Поляризація світла — це явище впорядкування напрямку коливань електричного вектора в електромагнітній хвилі. Ці теоретичні відомості можуть знадобитися для якісних завдань НМТ.

У цьому розділі розберемо п'ять типових завдань НМТ з коливань, хвиль і оптики в різних форматах.

Приклад 1. Вибір однієї відповіді: заломлення й довжина хвилі

Завдання: Світловий промінь переходить із повітря у воду. Показник заломлення води відносно повітря дорівнює 4/3. Як зміниться довжина хвилі світла під час цього переходу?

Розв'язання: Під час заломлення частота світла $\nu$ не змінюється. Швидкість світла у воді зменшується: $v=c/n=c\cdot 3/4$. Оскільки $\lambda =v/\nu$, а $\nu$ стала, то довжина хвилі зменшується в стільки ж разів, у скільки зменшилася швидкість, тобто в $n=4/3$ раза.

Відповідь: зменшиться в 4/3 раза.

Чому інші варіанти неправильні:

• «Збільшиться в 4/3 раза» — помилка: якщо частота стала, а швидкість зменшилася, довжина хвилі не може збільшитися.

• «Не зміниться» — помилка: довжина хвилі змінюється пропорційно швидкості, а швидкість у воді менша.

• «Зменшиться в 16/9 раза» — помилка: це $(4/3{)}^2$, але залежність лінійна, не квадратична.

Приклад 2. Коротка відповідь: формула тонкої лінзи

Завдання: Предмет розташований на відстані 30 см від тонкої збиральної лінзи з фокусною відстанню 10 см. Визначте відстань (у см) від лінзи до зображення.

Розв'язання: За формулою тонкої лінзи $1/F=1/d+1/f$. Маємо $F=10$ см, $d=30$ см. Тоді $1/f=1/F-1/d=1/10-1/30=(3-1)/30=2/30=1/15$. Отже $f=15$ см.

Відповідь: 15.

Приклад 3. Відповідність (логічні пари)

Завдання: Установіть відповідність між формулою (1–3) і фізичним явищем, яке вона описує (А–Д).

Розв'язання: Формула $T=2\pi \sqrt{m/k}$ — це період пружинного маятника (Б). Формула $T=2\pi \sqrt{LC}$ — це формула Томсона для коливального контура (А). Формула $\lambda =vT$ — це довжина хвилі (Г).

Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г.

Приклад 4. Коротка відповідь: трансформатор

Завдання: Первинна обмотка трансформатора містить 1100 витків і під'єднана до джерела змінної напруги 220 В. На вторинній обмотці напруга становить 22 В. Визначте кількість витків у вторинній обмотці.

Розв'язання: Для ідеального трансформатора $U_1/U_2=N_1/N_2$. Звідси $N_2=N_1\cdot U_2/U_1=1100\cdot 22/220=1100\cdot 0,1=110$.

Відповідь: 110.

Приклад 5. Вибір однієї відповіді: повне внутрішнє відбивання

Завдання: Світловий промінь падає зі скла на межу поділу скло — повітря під кутом, більшим за граничний кут повного відбивання. Що відбувається з променем?

Розв'язання: Коли кут падіння перевищує граничний кут ${\alpha }_0$, заломлення не відбувається — світло повністю відбивається назад у скло. Це явище називають повним внутрішнім відбиванням.

Відповідь: повне внутрішнє відбивання.

Чому інші варіанти неправильні:

• «Заломлення» — помилка: заломлення можливе лише за кутів падіння, менших за граничний.

• «Розсіювання» — помилка: розсіювання — це відбивання в різні боки від шорсткої поверхні, а не на гладкій межі.

• «Дифракція» — помилка: дифракція — це огинання хвилями перешкод, а не явище на межі поділу середовищ.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування завдань НМТ з коливань, хвиль і оптики. Запам'ятай їх, щоб не втратити бали на тестуванні.

• Знаки у формулі тонкої лінзи. Найчастіша помилка — забувати, що для розсіювальної лінзи $F<0$, а для уявного зображення $f<0$. Якщо підставити додатне $f$ для уявного зображення, відповідь буде неправильною. Завжди перевіряй: збиральна $F>0$, розсіювальна $F<0$; дійсне зображення $f>0$, уявне $f<0$.

• Частота світла під час заломлення. Багато хто вважає, що під час заломлення змінюється частота світла. Насправді частота залишається незмінною — змінюються лише швидкість і довжина хвилі. Це ключове правило для задач на заломлення.

• Плутанина між періодом і частотою, циклічною частотою й звичайною частотою. Період $T$ і частота $\nu =1/T$ — обернені величини. Циклічна частота $\omega =2\pi \nu$ відрізняється від звичайної на множник $2\pi$. У формулі $x=A\cos (\omega t)$ використовують саме $\omega$, а не $\nu$.

• Максимум і мінімум інтерференції. Плутають умови: максимум — різниця ходу $\Delta =m\lambda$, мінімум — $\Delta =(2m+1)\lambda /2$. Запам'ятай: ціле число довжин хвиль дає максимум, непарне число півхвиль — мінімум.

• Переведення одиниць. Довжини хвиль часто подають у нанометрах (нм) або мікрометрах (мкм), відстані — у сантиметрах. Не забувай переводити все в метри: 1 нм $=10^{-9}$ м, 1 мкм $=10^{-6}$ м, 1 см $=10^{-2}$ м. Помилка в переведенні одиниць зводить нанівець правильний хід розв'язання.

• Діюче й амплітудне значення змінної напруги. Діюче значення $U=U_{\text{max}}/\sqrt{2}$, а не $U_{\text{max}}/2$. У побутовій мережі $220$ В — це діюче значення, амплітудне — близько $311$ В. Не плутай їх у задачах на змінний струм.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 з фізики завдання з коливань, хвиль і оптики представлені чотирма номерами:

• № 10 — шлях і переміщення за графіком гармонічних коливань (вибір однієї відповіді).

• № 11 — період і частота змінного струму (вибір однієї відповіді).

• № 12 — характеристики світлової хвилі під час заломлення (вибір однієї відповіді).

• № 21 — формула тонкої лінзи й оптична сила (коротка відповідь).

Разом це чотири завдання, які можуть принести до п'яти балів (три завдання по 1 балу й одне — до 2 балів).

Що є в довідкових матеріалах

Довідка, яку надають на НМТ, містить такі формули з цього розділу:

• Формули періоду коливань: пружинного й нитяного маятників, формула Томсона.

• Діючі значення змінної напруги й струму: $U=U_{\text{max}}/\sqrt{2}$, $I=I_{\text{max}}/\sqrt{2}$.

• Співвідношення для трансформатора: $U_1/U_2=N_1/N_2$.

• Закон заломлення: $\sin \alpha /\sin \beta =n$.

• Формула тонкої лінзи: $1/F=1/d+1/f$.

• Умови інтерференції: $\Delta =m\lambda$ (максимум), $\Delta =(2m+1)\lambda /2$ (мінімум).

• Формула дифракційної ґратки: $d\cdot \sin \phi =m\lambda$.

Чого немає в довідці — запам'ятай окремо

У довідкових матеріалах відсутні:

• Правила побудови зображень у лінзах (як хід променів).

• Правило знаків у формулі тонкої лінзи для розсіювальної лінзи й уявного зображення.

• Шкала електромагнітних хвиль із частотами.

Стратегія підготовки

Тренуй побудову зображень у тонкій лінзі на рисунку без обчислень — це допоможе швидко визначити тип зображення (дійсне чи уявне, збільшене чи зменшене). Завжди перевіряй знаки у формулі лінзи: якщо лінза розсіювальна, $F$ від'ємне; якщо зображення уявне, $f$ від'ємне. Для завдань на заломлення пам'ятай, що частота світла не змінюється — це ключ до правильної відповіді.

• $T=2\pi \sqrt{m/k}$ — період пружинного маятника; $T=2\pi \sqrt{l/g}$ — період нитяного маятника; $T=2\pi \sqrt{LC}$ — формула Томсона для коливального контура.

• $\lambda =vT$ — довжина хвилі; $c=\lambda \nu$ — для електромагнітних хвиль у вакуумі. Частота світла під час заломлення незмінна.

• $\sin \alpha /\sin \beta =n$ — закон заломлення; $\sin {\alpha }_0=1/n$ — граничний кут повного відбивання.

• $1/F=1/d+1/f$ — формула тонкої лінзи; $D=1/F$ — оптична сила. Збиральна $F>0$, розсіювальна $F<0$; дійсне зображення $f>0$, уявне $f<0$.

• $d\cdot \sin \phi =m\lambda$ — формула дифракційної ґратки.

• $U=U_{\text{max}}/\sqrt{2}$, $I=I_{\text{max}}/\sqrt{2}$ — діючі значення змінного струму; $U_1/U_2=N_1/N_2$ — трансформатор.

• За один період гармонічних коливань шлях дорівнює $4A$, переміщення — нулю.