Теплові двигуни та їх ККД

Теплові двигуни оточують нас повсюди: автомобільний двигун, турбіна на електростанції, реактивний двигун літака. Усі вони працюють за спільним принципом — перетворюють внутрішню енергію палива на механічну роботу. Розберімося, як влаштований тепловий двигун.

Складники теплового двигуна

Будь-який тепловий двигун має три обов'язкові складники:

• Нагрівник — джерело теплоти з високою температурою. У різних двигунах це може бути камера згоряння (ДВЗ), котел із парою (турбіна), ядерний реактор (АЕС). Нагрівник передає робочому тілу теплоту $Q_{\text{н}}$.

• Робоче тіло — газ або пара, що отримує теплоту, розширюється й виконує роботу. У ДВЗ це суміш повітря з пальним та продукти згоряння, у паровій турбіні — водяна пара.

• Холодильник — середовище з нижчою температурою, якому робоче тіло віддає частину теплоти $Q_{\text{х}}$. Це може бути атмосферне повітря, вода в радіаторі, річкова вода тощо.

Як відбувається цикл

Робота теплового двигуна — це циклічний процес. Розгляньмо один цикл у загальному вигляді:

1. Робоче тіло (газ або пара) отримує від нагрівника кількість теплоти $Q_{\text{н}}$.

2. Отримавши теплоту, робоче тіло нагрівається, розширюється й виконує механічну роботу $A$ (штовхає поршень або обертає лопатки турбіни).

3. Щоб повернути робоче тіло у вихідний стан і повторити цикл, його треба стиснути. Для цього потрібно відвести від нього частину теплоти. Робоче тіло віддає холодильнику теплоту $Q_{\text{х}}$ і повертається у вихідний стан.

Оскільки після завершення циклу робоче тіло повертається у вихідний стан, зміна його внутрішньої енергії за цикл дорівнює нулю: $\Delta U=0$. За першим законом термодинаміки:

$$Q=\Delta U+A\Rightarrow Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}=0+A\Rightarrow A=Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}$$

Отже, корисна робота, виконана двигуном за цикл, дорівнює різниці теплоти, отриманої від нагрівника, і теплоти, відданої холодильнику.

Навіщо потрібен холодильник?

Це ключове запитання для розуміння роботи теплового двигуна. Без холодильника неможливо повернути робоче тіло в початковий стан, не витративши всю отриману роботу. Уявімо: газ розширився, виконав роботу. Щоб стиснути його назад, треба виконати роботу над газом. Якщо газ не охолодити, то при стисканні його тиск буде таким самим високим, як і під час розширення, і на стискання доведеться витратити всю отриману роботу. Відводячи частину теплоти до холодильника, ми знижуємо тиск газу при стисканні, тому на стискання витрачається менше роботи, ніж отримано під час розширення. Саме тому двигун не може перетворити всю отриману теплоту на роботу — частина $Q_{\text{х}}$ обов'язково відводиться.

Робота на p–V-діаграмі

На графіку залежності тиску від об'єму (p–V-діаграма) цикл теплового двигуна зображують у вигляді замкненого контуру. Робота, виконана газом за цикл, чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої цим контуром. Що більша площа контуру, то більшу роботу виконує двигун за один цикл.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплового двигуна показує, яку частку теплоти, отриманої від нагрівника, двигун перетворює на корисну роботу. Це одна з найважливіших характеристик будь-якого теплового двигуна.

Формула ККД

ККД позначають грецькою літерою $\eta$ (ета). За означенням:

$$\eta =\frac{A}{Q_{\text{н}}}=\frac{Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}=1-\frac{Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}$$

де $A$ — робота, виконана двигуном за цикл, $Q_{\text{н}}$ — теплота, отримана від нагрівника, $Q_{\text{х}}$ — теплота, віддана холодильнику.

ККД завжди менший за одиницю (або за 100 %, якщо виражати у відсотках). Це тому, що $Q_{\text{х}}>0$ — двигун завжди віддає частину теплоти холодильнику.

Приклад обчислення

Нехай двигун за цикл отримує від нагрівника $Q_{\text{н}}=500$ Дж, а холодильнику віддає $Q_{\text{х}}=350$ Дж. Тоді:

$$A=500-350=150\text{Дж}$$$$\eta =\frac{150}{500}=0,30=30\%$$

Тобто лише 30 % енергії, отриманої від нагрівника, перетворюється на корисну роботу, а 70 % втрачається в холодильнику.

Потужність двигуна й паливо

ККД пов'язаний із потужністю двигуна. Якщо двигун за час $t$ отримує від нагрівника теплоту $Q_{\text{н}}$, то корисна потужність становить:

$$N=\frac{A}{t}=\frac{\eta Q_{\text{н}}}{t}$$

Якщо двигун працює на паливі з питомою теплотою згоряння $q$, то кількість теплоти, отриманої від згоряння маси $m$ палива, дорівнює $Q_{\text{н}}=q\cdot m$. Тоді ККД можна виразити через масу витраченого палива:

$$\eta =\frac{A}{q\cdot m}$$

Це дозволяє, знаючи ККД і виконану роботу, оцінити витрату пального.

Позначення в підручниках і довідці НМТ

У деяких підручниках теплоту від нагрівника позначають $Q_1$, теплоту, віддану холодильнику — $Q_2$, а температури — $T_1$ і $T_2$. У довідкових матеріалах НМТ використовують позначення $Q_{\text{н}}$, $Q_{\text{х}}$, $T_{\text{н}}$, $T_{\text{х}}$. Логіка формул і обчислень від цього не змінюється — головне правильно підставляти значення.

У цьому уроці ми послуговуватимемося позначеннями, прийнятими в довідці НМТ.

Цикл Карно й максимальний ККД

Французький фізик Саді Карно в 1824 році показав, що існує теоретична межа ККД для будь-якого теплового двигуна, який працює між двома температурами. Цю межу дає так званий цикл Карно — ідеальний оборотний цикл, у якому немає втрат на тертя й теплообмін із зовнішнім середовищем.

Максимальний (ідеальний) ККД теплової машини обчислюють за формулою:

$${\eta }_{\text{max}}=\frac{T_{\text{н}}-T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}=1-\frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}$$

де $T_{\text{н}}$ — температура нагрівника, $T_{\text{х}}$ — температура холодильника. Температури обов'язково беруть за абсолютною шкалою — у кельвінах (К).

Приклад: чому ККД 70 % неможливий

Нехай температура нагрівника 527 °C, а холодильника — 27 °C. Переведемо в кельвіни:

$$T_{\text{н}}=527+273=800\text{К}$$ $$T_{\text{х}}=27+273=300\text{К}$$

Тоді максимальний ККД:

$${\eta }_{\text{max}}=\frac{800-300}{800}=\frac{500}{800}=0,625=62,5\%$$

Отже, навіть в ідеальному випадку ККД не перевищить 62,5 %. Тому твердження, що такий двигун може мати ККД 70 %, хибне.

Як збільшити максимальний ККД?

З формули ${\eta }_{\text{max}}=1-T_{\text{х}}/T_{\text{н}}$ видно два способи:

• Підвищити температуру нагрівника $T_{\text{н}}$. Чим гарячіше робоче тіло на вході, тим більшу частку теплоти можна перетворити на роботу. Саме тому в сучасних газових турбінах намагаються використовувати жароміцні матеріали, здатні витримувати температури понад 1500 °C.

• Знизити температуру холодильника $T_{\text{х}}$. На практиці $T_{\text{х}}$ зазвичай обмежена температурою навколишнього середовища (≈ 300 К), тому знизити її істотно складно.

Чи може ${\eta }_{\text{max}}$ дорівнювати 100 %? Так, але лише за умови $T_{\text{х}}=0$ К (абсолютний нуль). Досягти абсолютного нуля неможливо — це суперечить третьому закону термодинаміки. Отже, жоден реальний двигун не може мати ККД 100 %.

Реальний ККД проти максимального

У реальних двигунах ККД завжди менший за максимальний через:

• тертя між рухомими частинами (поршень — циліндр, підшипники)

• теплові втрати через стінки циліндра, радіатор, вихлопні гази

• необоротність процесів (швидке розширення й стискання не є рівноважними)

Наприклад, типовий ККД бензинового двигуна — 20–30 %, дизельного — 30–40 %, а максимальний ККД за формулою Карно для температур газів у циліндрі (понад 2000 К) і навколишнього повітря перевищував би 80 %. Інженери постійно працюють над тим, щоб наблизити реальний ККД до теоретичної межі.

Теплові двигуни відіграють ключову роль у сучасному світі — вони приводять у рух автомобілі, літаки, кораблі та виробляють електроенергію на електростанціях. Розгляньмо основні типи теплових двигунів, які треба знати для НМТ.

Двигун внутрішнього згоряння (ДВЗ)

Це найпоширеніший тип теплового двигуна. Його називають «внутрішнього згоряння», тому що пальне згоряє безпосередньо всередині циліндра, а не в окремому котлі. ДВЗ працює в чотири такти:

Колінчастий вал перетворює зворотно-поступальний рух поршня на обертальний, який передається на колеса або інший механізм.

Парова турбіна

У паровій турбіні робочим тілом є водяна пара високого тиску. Пара утворюється в котлі, де нагрівають воду за допомогою спалювання вугілля, газу або ядерної реакції (на АЕС). Струмінь пари вдаряє в лопатки, закріплені на роторі, і змушує його обертатися. Парова турбіна має високу потужність і використовується на теплових електростанціях (ТЕС) та атомних електростанціях (АЕС).

Газова турбіна

У газовій турбіні робочим тілом є гарячі гази, що утворюються під час згоряння пального (гасу, природного газу) у камері згоряння. Ці гази з великою швидкістю проходять через лопатки турбіни й обертають ротор. Газові турбіни компактні й потужні, їх використовують в авіації (турбогвинтові й турбореактивні двигуни) та в газотурбінних електростанціях.

Реактивний двигун

Турбореактивний двигун літака — це різновид газової турбіни, у якому гарячі гази викидаються з великою швидкістю через сопло. У ракетному двигуні турбіни немає, але тягу так само створюють гази, що витікають із сопла. За третім законом Ньютона, сила реакції виштовхнутих газів створює силу тяги, що рухає літак або ракету вперед. У реактивному двигуні холодильником слугує навколишнє середовище.

Теплові електростанції (ТЕС, АЕС)

І ТЕС, і АЕС працюють за тим самим принципом: нагрівник (камера згоряння на ТЕС або ядерний реактор на АЕС) нагріває воду, утворюється пара, яка обертає парову турбіну, а турбіна обертає електричний генератор. Холодильником на таких станціях є вода з річки або ставка-охолоджувача чи повітря в градирнях, куди відводять відпрацьовану пару.

Розгляньмо типові задачі, які трапляються на НМТ з теми «Теплові двигуни та їх ККД». Кожен приклад містить покрокове розв'язання.

Приклад 1. Обчислення ККД (коротка відповідь)

Завдання. Тепловий двигун за цикл отримав від нагрівника 800 Дж теплоти й віддав холодильнику 600 Дж. Визнач ККД двигуна у відсотках.

Розв'язання.

1. Знаходимо корисну роботу за цикл: $$A=Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}=800-600=200\text{Дж}$$

2. Обчислюємо ККД: $$\eta =\frac{A}{Q_{\text{н}}}=\frac{200}{800}=0,25$$

3. Переводимо у відсотки: $0,25\cdot 100\%=25\%$

Відповідь: 25. У поле відповіді вписуємо число 25 (відсотки не пишемо, оскільки одиницю вимірювання зазначено в завданні).

Типова помилка: деякі учні знаходять $\eta =A/Q_{\text{х}}=200/600\approx 0,33$ (33 %) — неправильно, бо ККД завжди обчислюють відносно теплоти, отриманої від нагрівника.

Приклад 2. Максимальний ККД (коротка відповідь)

Завдання. Температура нагрівника ідеальної теплової машини 727 °C, а холодильника — 27 °C. Визнач максимальний ККД такої машини у відсотках.

Розв'язання.

1. Переводимо температури в кельвіни: $$T_{\text{н}}=727+273=1000\text{К}$$ $$T_{\text{х}}=27+273=300\text{К}$$

2. Обчислюємо максимальний ККД: $${\eta }_{\text{max}}=\frac{T_{\text{н}}-T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}=\frac{1000-300}{1000}=\frac{700}{1000}=0,70$$

3. У відсотках: $0,70\cdot 100\%=70\%$

Відповідь: 70.

Типова помилка: підставити температури в градусах Цельсія: $\frac{727-27}{727}\approx 0,96$ (96 %) — це хибний результат, який не відповідає дійсності.

Приклад 3. Знаходження теплоти за роботою й ККД (вибір однієї відповіді з чотирьох)

Завдання. Тепловий двигун за один цикл виконав корисну роботу 200 Дж. Його ККД становить 40 %. Яку кількість теплоти двигун отримав від нагрівника?

Варіанти відповідей:

• 80 Дж

• 200 Дж

• 500 Дж

• 800 Дж

Розв'язання.

1. Записуємо формулу ККД: $\eta =A/Q_{\text{н}}$.

2. Виражаємо $Q_{\text{н}}$: $Q_{\text{н}}=A/\eta$. ККД у десятковому вигляді: $\eta =40\%=0,40$.

3. Обчислюємо: $Q_{\text{н}}=200/0,40=500$ Дж.

Відповідь: 500 Дж (варіант «500 Дж»).

Чому інші варіанти неправильні:

• 80 Дж — хтось множить 200 на 0,4 замість ділення.

• 200 Дж — це робота, а не теплота від нагрівника.

• 800 Дж — можна отримати, якщо помилково поділити 200 на 0,25.

Приклад 4. Реальність ККД (вибір однієї з чотирьох)

Завдання. Чи може тепловий двигун, що працює між нагрівником із температурою 500 К і холодильником із температурою 300 К, мати ККД 50 %?

Варіанти відповідей:

• Так, може

• Ні, максимум 30 %

• Ні, максимум 40 %

• Ні, максимум 60 %

Розв'язання.

1. Обчислюємо максимальний ККД за циклом Карно: $${\eta }_{\text{max}}=1-\frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}=1-\frac{300}{500}=1-0,6=0,40=40\%$$

2. Жоден реальний двигун не може мати ККД вищий за ${\eta }_{\text{max}}$. Оскільки 50 % > 40 %, такий двигун неможливий.

Відповідь: Ні, максимум 40 % (варіант «Ні, максимум 40 %»).

Чому інші варіанти неправильні:

• «Так, може» — ігнорує обмеження циклу Карно.

• «Ні, максимум 30 %» — хибний результат: максимальний ККД дорівнює 1 − 300/500 = 0,40 = 40 %, а не 30 %.

• «Ні, максимум 60 %» — хибний результат (можна отримати, обчисливши 300/500 = 0,6 як ККД у відсотках, не віднявши від 1).

Під час розв'язування задач на ККД теплових двигунів учні часто припускаються однотипних помилок. Розгляньмо найпоширеніші з них, щоб ти знав, як їх уникнути.

• Підставляти температури в градусах Цельсія у формулу максимального ККД. Це найпоширеніша пастка. Формула ${\eta }_{\text{max}}=(T_{\text{н}}-T_{\text{х}})/T_{\text{н}}$ потребує температур у кельвінах. Пам'ятай: $T(\text{К})=t(°\text{C})+273$. Якщо підставити значення в °C, дріб сильно спотворюється, і ККД виходить нереалістично високим. Завжди перевіряй одиниці перед обчисленням.

• Знаходити ККД як $A/Q_{\text{х}}$ замість $A/Q_{\text{н}}$. З формули ККД $\eta =A/Q_{\text{н}}$ випливає, що ділити корисну роботу треба на теплоту, отриману від нагрівника, а не на теплоту, віддану холодильнику. Ділення на $Q_{\text{х}}$ дає неправильне, завищене значення (наприклад, 200/600 ≈ 33 % замість правильних 25 %), бо ККД за означенням — частка теплоти, отриманої від нагрівника.

• Вважати, що ККД може досягти 100 %, якщо зменшити тертя. Навіть за ідеальної відсутності тертя ККД не досягне 100 %, оскільки двигун зобов'язаний віддавати частину теплоти холодильнику (другий закон термодинаміки). Максимальний ККД обмежений температурами нагрівника й холодильника. Зменшення тертя наближає реальний ККД до максимального, але не усуває саму межу.

• Плутати теплоту, отриману від нагрівника $Q_{\text{н}}$, з корисною роботою $A$. Це різні величини: $Q_{\text{н}}$ — уся енергія, передана робочому тілу, а $A=Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}$ — лише частина цієї енергії, яку перетворено на механічну роботу. Не плутай їх — у задачах просять знайти то одне, то інше.

• Вважати холодильник окремим спеціальним приладом, а не будь-яким середовищем, куди двигун відводить теплоту. Холодильником може бути атмосферне повітря, вода в радіаторі автомобіля, річкова вода на ТЕС — будь-що з нижчою температурою, що приймає відпрацьовану теплоту. Не шукай спеціального пристрою; у більшості реальних двигунів холодильник — це навколишнє середовище.

Тема «Теплові двигуни та їх ККД» входить до програми НМТ з фізики (тема 2.2 «Основи термодинаміки»). Давай розберемося, що саме від тебе вимагають і в якому форматі можуть трапитися завдання.

Довідкові матеріали

Під час НМТ ти маєш доступ до довідкових матеріалів, у яких наведено формули для ККД теплового двигуна та максимального ККД, зокрема:

• $\eta =\frac{A}{Q_{\text{н}}}=\frac{Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}$

• ${\eta }_{\text{max}}=\frac{T_{\text{н}}-T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}$

Однак позначення в довідці можуть дещо відрізнятися від тих, що ми використовуємо. Будь уважним і звіряй позначення в умові завдання з довідковими матеріалами.

Що треба знати

Програма НМТ (тема 2.2) вимагає:

• пояснювати принцип дії теплового двигуна (складники, циклічність)

• обчислювати ККД теплового двигуна за відомими $Q_{\text{н}}$ і $Q_{\text{х}}$ або $A$

• обчислювати максимальне значення ККД за температурами нагрівника й холодильника

• пояснювати дію теплових двигунів, парової й газової турбін

Формати завдань

Завдання з цієї теми можуть мати такі форми:

• Завдання з вибором однієї правильної відповіді (№ 1–14, 0 або 1 бал). Типові формулювання: «Яку кількість теплоти отримав двигун від нагрівника, якщо…», «Чи може двигун мати ККД…», «Як зміниться ККД, якщо підвищити температуру нагрівника…».

• Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22, 0 або 2 бали). Треба вписати число в указаній одиниці вимірювання — зазвичай відсотки або джоулі. Наприклад: «Визнач ККД двигуна у відсотках» — у поле відповіді вписують число 25, а не «25 %».

Поради для успішного виконання

• Завжди перевіряй, чи температури подано в кельвінах. Якщо в умові вказано °C — обов'язково додай 273 перед підстановкою в формулу.

• Визначай, яку саме величину просять знайти: $\eta$, $A$, $Q_{\text{н}}$ чи $Q_{\text{х}}$, і підставляй числа у відповідну формулу.

• У задачах на порівняння («як зміниться ККД, якщо…») зручно взяти початкові значення, обчислити $\eta$, потім змінити один параметр і порівняти результати.

• На питання про те, чи можливий певний ККД, завжди спершу обчисли ${\eta }_{\text{max}}$ за температурами й порівняй із заданим ККД.

• Тепловий двигун перетворює внутрішню енергію палива на механічну роботу й має три складники: нагрівник, робоче тіло (газ або пара), холодильник.

• За цикл $\Delta U=0$, тому корисна робота $A=Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}$.

• ККД теплового двигуна: $$\eta =\frac{A}{Q_{\text{н}}}=\frac{Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}=1-\frac{Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}$$

• Максимальний ККД (ідеальної машини Карно): $${\eta }_{\text{max}}=\frac{T_{\text{н}}-T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}=1-\frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}$$

• Температури в формулу ${\eta }_{\text{max}}$ підставляй лише в кельвінах: $T(\text{К})=t(°\text{C})+273$.

• Реальний ККД завжди менший за максимальний, а максимальний — завжди менший за 100 %.

• Основні типи теплових двигунів: двигун внутрішнього згоряння (чотири такти: впуск, стиск, робочий хід, випуск), парова турбіна, газова турбіна, реактивний двигун.