Середнє значення вибірки

У статистиці вибіркою (або рядом даних) називають набір значень, отриманих у результаті спостереження чи вимірювання. Наприклад, оцінки учня за чверть: 9, 7, 10, 7, 12. Це — вибірка. Кожне окреме число — це значення вибірки.

Кількість усіх значень у вибірці, враховуючи повторення, називають обсягом вибірки й позначають літерою n. У наведеному прикладі оцінок п'ять, тому n = 5. Зверни увагу: значення 7 повторюється двічі, але ми рахуємо його двічі, бо обсяг — це загальна кількість усіх даних, а не кількість різних чисел.

Формула середнього значення

Середнє значення вибірки (позначають x̄, читають «ікс з рискою») — це сума всіх значень, поділена на їхню кількість:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

Для оцінок 9, 7, 10, 7, 12 маємо:

$$\bar{x}=\frac{9+7+10+7+12}{5}=\frac{45}{5}=9$$

Отже, середня оцінка учня — 9.

Властивості середнього значення

• Середнє може не збігатися з жодним значенням вибірки. Наприклад: 3, 4, 4, 6 — сума 17, n = 4, середнє 4,25. Жодне число в наборі не дорівнює 4,25.

• Середнє завжди лежить між найменшим і найбільшим значенням. Якщо ти отримав результат, менший за мінімум або більший за максимум, — шукай помилку в обчисленні.

• Середнє може бути дробовим числом, навіть коли всі значення — цілі.

Важливо: формул середнього значення, моди й медіани в довідкових матеріалах НМТ немає. Їх треба знати напам'ять. Саме обчислення — це завдання в одну-дві дії, яке дає надійний внесок у прохідний бал.

Коли даних багато, їх зручно подавати у вигляді таблиці частот. У ній для кожного унікального значення xᵢ зазначають частоту nᵢ — скільки разів це значення трапилося у вибірці.

Обсяг вибірки тоді дорівнює сумі всіх частот:

$$n=n_1+n_2+\cdots +n_k$$

А середнє значення обчислюють за формулою:

$$\bar{x}=\frac{x_1{n}_1+x_2{n}_2+\cdots +x_k{n}_k}{n_1+n_2+\cdots +n_k}$$

Іншими словами: кожне значення множимо на те, скільки разів воно трапилося, додаємо всі добутки й ділимо на загальну кількість даних.

Приклад із оцінками

Нехай у класі за контрольну роботу отримали:

$$\bar{x}=\frac{24+50+22}{3+5+2}=\frac{96}{10}=9,6$$

Типова помилка: ділять на кількість різних значень. Тут різних оцінок три (8, 10, 11), але учнів — десятеро. Якщо поділити (8 + 10 + 11) / 3 ≈ 9,67 — це неправильно. Так само не можна ділити на кількість рядків таблиці (3 рядки — теж неправильно). Ділити треба на суму частот, тобто на 10.

Ще один приклад: середня ціна

Господиня купила 3 кг яблук по 40 грн/кг і 2 кг по 55 грн/кг. Яка середня ціна 1 кг?

Сумарна вартість: 3 · 40 + 2 · 55 = 120 + 110 = 230 грн. Загальна маса: 3 + 2 = 5 кг. Середня ціна: 230 / 5 = 46 грн/кг. А не (40 + 55) / 2 = 47,5 грн/кг, як іноді помилково думають.

Порада: якщо дані подано стовпчастою діаграмою частот, спершу випиши з неї таблицю — значення та їхні частоти. Далі працюй за тією самою формулою.

Бувають задачі, у яких треба не просто знайти середнє, а навпаки — за відомим середнім знайти невідоме значення. Ключ до всіх таких задач — одна проста рівність:

сума = середнє · кількість

Звідси:

• невідоме значення = потрібна сума − сума відомих значень

Яку оцінку треба отримати?

Учень уже має оцінки 9, 11, 8, 10. Яку оцінку йому треба отримати наступного разу, щоб середній бал став 10?

Крок 1. Сума наявних оцінок: 9 + 11 + 8 + 10 = 38.

Крок 2. Після наступної роботи оцінок стане 5. Щоб середнє дорівнювало 10, потрібна сума: 5 · 10 = 50.

Крок 3. Невідома оцінка: 50 − 38 = 12.

Не забудь: кількість значень після додавання збільшилася на 1! Початково було 4 оцінки, після додавання — 5.

Невідоме число в ряду

Середнє чисел 4, x, 7, 9 дорівнює 6. Знайди x.

Сума всіх чотирьох чисел: 4 + x + 7 + 9 = 20 + x. Середнє дорівнює 6, отже (20 + x) / 4 = 6. Звідси 20 + x = 24, тобто x = 4.

Вилучення значення

Середнє арифметичне шести чисел дорівнює 8. Після того як одне число вилучили, середнє п'яти чисел стало 7. Яке число вилучили?

Сума шести чисел: 6 · 8 = 48. Сума п'яти чисел: 5 · 7 = 35. Вилучене число: 48 − 35 = 13.

Перевірка: підстав знайдене значення й переконайся, що середнє справді вийшло потрібним. Між мінімумом і максимумом завжди лежить середнє, а невідоме значення може бути й поза межами відомих даних (як оцінка 12, більша за наявні 9, 11, 8, 10).

Середнє значення змінюється передбачувано, коли ми змінюємо всі елементи вибірки однаково або додаємо чи вилучаємо окремі значення. Розгляньмо основні випадки.

Однакове перетворення всіх значень

• Якщо до кожного значення вибірки додати одне й те саме число c, то середнє збільшиться на c.

• Якщо кожне значення помножити на одне й те саме число k, то середнє помножиться на k.

Наприклад, усім працівникам підприємства підвищили зарплату на 500 грн. Середня зарплата також збільшилася на 500 грн — це випливає з формули: додавання сталої до кожного доданка збільшує суму на n · c, а після ділення на n отримуємо +c.

Додавання або вилучення одного значення

Якщо додати значення, більше за поточне середнє, — середнє збільшиться. Якщо додати значення, менше за середнє, — середнє зменшиться. Якщо додати значення, що дорівнює середньому, — середнє не зміниться. Аналогічно з вилученням.

Середнє об'єднаних груп

Окремий, але важливий випадок — коли треба знайти середнє для кількох груп різного розміру, знаючи середнє кожної групи. Тут головне правило:

Ніколи не бери середнє арифметичне від середніх груп! Завжди обчислюй через суми.

Приклад: у класі A — 20 учнів із середнім балом 8, у класі B — 30 учнів із середнім балом 9. Який середній бал усіх 50 учнів?

Сума балів класу A: 20 · 8 = 160. Сума балів класу B: 30 · 9 = 270. Загальна сума: 160 + 270 = 430. Загальна кількість учнів: 20 + 30 = 50. Середній бал: 430 / 50 = 8,6.

Якби ми помилково взяли середнє середніх: (8 + 9) / 2 = 8,5 — результат був би неточним, бо в другому класі учнів більше.

Чутливість до викидів

Середнє значення дуже чутливе до різких відхилень — так званих викидів. Наприклад, зарплати п'ятьох працівників: 10, 12, 11, 13, 54 тис. грн. Середнє: (10 + 12 + 11 + 13 + 54) / 5 = 100 / 5 = 20 тис. грн. Четверо з п'ятьох отримують менше за 20 тис. грн — середнє «викривив» великий викид 54 тис. грн. Стійкішу характеристику в таких випадках дає медіана — її вивчаєш у наступному юніті.

Приклад 1. Середнє значення оцінок

Учень отримав оцінки 7, 12, 7, 10, 7, 11. Знайдіть середнє значення цих оцінок.

РОЗВ'ЯЗАННЯ

Сума оцінок: 7 + 12 + 7 + 10 + 7 + 11 = 54. Кількість оцінок: 6. Середнє: 54 / 6 = 9.

Відповідь: 9.

Чому інші варіанти неправильні:

• 10 — це середнє різних значень (7, 10, 11, 12) без урахування повторень, тобто (7 + 10 + 11 + 12) / 4 = 10 — помилка: ділити треба на кількість усіх даних (6), а не різних значень.

• 10,8 — це 54 : 5 (сума, поділена на 5, а не на 6).

• 7 — це мода (найчастіше значення), а не середнє.

• 8,5 — це медіана (середнє впорядкованого ряду 7, 7, 7, 10, 11, 12: (7 + 10) / 2 = 8,5), а не середнє арифметичне.

Приклад 2. Середнє за таблицею частот

Результати контрольної роботи 20 учнів подано в таблиці. Знайдіть середній бал.

Розподіл балів:

і бал 10 отримали 4 учні.

РОЗВ'ЯЗАННЯ

Сума добутків: 6 · 2 + 8 · 5 + 9 · 9 + 10 · 4 = 12 + 40 + 81 + 40 = 173. Загальна кількість учнів: 2 + 5 + 9 + 4 = 20. Середній бал: 173 / 20 = 8,65.

Відповідь: 8,65.

Пастка: якщо взяти середнє чотирьох балів без урахування частот: (6 + 8 + 9 + 10) / 4 = 33 / 4 = 8,25 — це неправильно, бо не враховано, що бал 9 отримали 9 учнів, а бал 10 — 4 учні.

Приклад 3. Додавання значення

Середня маса чотирьох кавунів — 7,5 кг. Коли додали ще один кавун, середня маса стала 8 кг. Знайдіть масу доданого кавуна.

РОЗВ'ЯЗАННЯ

Сума мас чотирьох кавунів: 4 · 7,5 = 30 кг. Сума мас п'яти кавунів: 5 · 8 = 40 кг. Маса доданого кавуна: 40 − 30 = 10 кг.

Відповідь: 10.

Типові хибні відповіді: 8,5 (хтось узяв різницю середніх 8 − 7,5 = 0,5 і додав її до 8) і 0,5 (різниця середніх без множення на кількість).

Приклад 4. Об'єднання груп

У першій групі 15 учнів із середнім балом 9, у другій — 10 учнів із середнім балом 7. Знайдіть середній бал усіх 25 учнів.

РОЗВ'ЯЗАННЯ

Сума балів у першій групі: 15 · 9 = 135. Сума балів у другій групі: 10 · 7 = 70. Загальна сума: 135 + 70 = 205. Усього учнів: 15 + 10 = 25. Середній бал: 205 / 25 = 8,2.

Відповідь: 8,2.

Чому інші варіанти неправильні:

• 8 — середнє арифметичне середніх (9 + 7) / 2 = 8, але групи різного розміру, тому так рахувати не можна.

• 7,8 — отримали б, якби переплутали кількості: (15 · 7 + 10 · 9) / 25 = 195 / 25 = 7,8.

• 16 — сума середніх 9 + 7 без ділення; 8,5 не відповідає жодному правильному способу обчислення.

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення середнього значення на НМТ. Запам'ятай їх, щоб не потрапити в пастку.

• Ділять на кількість різних значень, а не на кількість усіх даних. Якщо у вибірці є повторення, їх треба враховувати і в сумі, і в кількості. Правильно: сума всіх чисел (з повтореннями) поділена на загальну кількість усіх чисел.

• У таблиці частот додають значення без множення на частоти або ділять на кількість рядків таблиці. Наприклад, для рядків «8 — 3 учні, 10 — 5 учнів, 11 — 2 учні» помилково роблять (8 + 10 + 11) / 3 ≈ 9,67. Правильно: суму добутків (24 + 50 + 22) ділити на суму частот (10).

• Середнє об'єднаних груп різного розміру рахують як середнє арифметичне середніх. Запам'ятай: (8 + 9) / 2 = 8,5 — це правильно лише для груп однакового розміру. Для різних груп спочатку знаходять суми, потім ділять на загальну кількість.

• В оберненій задачі забувають, що після додавання значення кількість збільшилася на 1. Маєш 4 оцінки, хочеш знайти п'яту — множ середнє на 5, а не на 4.

• Пропускають значення під час додавання й не перевіряють, що середнє лежить між мінімумом і максимумом. Швидка перевірка: якщо середнє менше за найменше значення або більше за найбільше — точно помилка.

• Плутають середнє значення з медіаною чи модою. Середнє — це сума / кількість; мода — найчастіше значення; медіана — значення, що стоїть посередині впорядкованого ряду. У завданнях з вибором відповіді серед дистракторів можуть бути мода, медіана або середнє різних значень.

Тема «Середнє значення вибірки» входить до розділу програми НМТ з математики «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики». Програма містить «означення вибіркових характеристик рядів даних (розмаху вибірки, моди, медіани, середнього значення)». Вимога до теми — уміння «обчислювати й аналізувати вибіркові характеристики рядів даних».

Формули середнього значення, моди й медіани в довідкових матеріалах НМТ немає. Їх треба знати напам'ять.

На НМТ 2023–2024 завдання на середнє значення вибірки траплялося у форматі завдання № 20 з короткою відповіддю (0 або 2 бали, без часткових балів). Відповідь — десятковий дріб, наприклад 8,65.

Також можливі завдання № 1–15 — вибір однієї правильної відповіді з п'яти (0 або 1 бал). Серед дистракторів у таких завданнях можуть бути:

• середнє різних значень (без урахування повторень);

• медіана;

• мода.

Правильна відповідь навіть на одне таке завдання — внесок у прохідний поріг 5 тестових балів з 32. Не нехтуй цим балом: середнє значення — одна з найпростіших тем, яка потребує лише уважності та знання формули.

Збережи ці ключові пункти — вони стануть твоєю шпаргалкою для НМТ:

• Середнє значення вибірки: x̄ = сума всіх значень / кількість усіх значень.

• За таблицею частот: x̄ = (x₁n₁ + x₂n₂ + … + xₖnₖ) / (n₁ + n₂ + … + nₖ).

• Ключ до обернених задач: сума = середнє · кількість.

• Середнє об'єднаних груп різного розміру шукають через суми, а не через середнє середніх.

• Якщо до кожного значення додати c — середнє збільшиться на c.

• Середнє завжди лежить між мінімумом і максимумом — це швидка перевірка правильності.

• Формули середнього значення в довідці НМТ немає — вивчи напам'ять.