Логічні пари з термодинаміки: процеси на графіку p(V)

Перш ніж аналізувати знаки термодинамічних величин, треба навчитися «читати» графік залежності тиску p від об'єму V. Кожна ділянка такого графіка відповідає певному процесові, і її форма одразу підказує, яка фізична величина залишається сталою.

Ізохорний процес (V = const)

На діаграмі p–V ізохорний процес зображується вертикальним відрізком: об'єм не змінюється, а тиск може зростати або спадати. Якщо стрілка на графіку напрямлена вгору — тиск збільшується, отже, газ нагрівають. Якщо вниз — тиск зменшується, газ охолоджують. Оскільки V = const, робота газу в такому процесі дорівнює нулю.

Ізобарний процес (p = const)

Ізобарний процес — це горизонтальний відрізок. Тиск незмінний, а об'єм змінюється. Стрілка вправо означає розширення (V зростає), стрілка вліво — стиснення (V спадає). Роботу газу на ізобарі обчислюють за простою формулою A = pΔV.

Ізотермічний процес (T = const)

Ізотерма на графіку p–V — це гіпербола, уздовж якої добуток pV залишається сталим (pV = const). Температура не змінюється, тому зміна внутрішньої енергії ΔU = 0. Якщо стрілка показує рух униз уздовж гіперболи — об'єм зростає (розширення), якщо вгору — об'єм спадає (стиснення).

Адіабатний процес (Q = 0)

Адіабата теж має вигляд гіперболи, але вона крутіша за ізотерму. Під час адіабатного процесу газ не обмінюється теплотою з довкіллям (Q = 0). Усі зміни внутрішньої енергії відбуваються тільки за рахунок роботи. Адіабатне розширення супроводжується охолодженням газу, адіабатне стиснення — нагріванням.

Температура та добуток pV

З рівняння стану ідеального газу pV = νRT випливає, що температура T прямо пропорційна добутку pV. Тому, коли добуток pV збільшується, температура зростає; коли зменшується — температура спадає. Це ключовий спосіб визначити знак ΔU за графіком, не обчислюючи температуру явно.

Перший крок аналізу ділянки

Починаючи розв'язувати завдання, для кожної ділянки графіка постав собі три запитання: (1) яка величина стала (V, p, T чи Q)? (2) об'єм збільшується чи зменшується? (3) добуток pV зростає чи спадає? Відповіді на них одразу дадуть знаки A, ΔU і Q.

Перший закон термодинаміки — це закон збереження енергії для теплових процесів. Він пов'язує три величини: кількість теплоти Q, зміну внутрішньої енергії ΔU і роботу газу A.

Формула першого закону

Рівняння має вигляд: Q = ΔU + A. Тут Q — кількість теплоти, яку газ отримує ззовні (якщо Q > 0 — газ отримує теплоту, Q < 0 — віддає). A — це робота, яку виконує сам газ (не робота над газом!). ΔU — зміна внутрішньої енергії газу.

Для одноатомного ідеального газу внутрішня енергія залежить тільки від температури: U = (3/2)·νRT. Тому ΔU = (3/2)·νRΔT = (3/2)·Δ(pV). Останній вираз дуже зручний для графічного аналізу: зміна добутку pV одразу дає знак ΔU.

Знак роботи газу A

Знак роботи визначається напрямом зміни об'єму:

• Розширення (V зростає) — A > 0, газ виконує роботу над зовнішніми тілами.

• Стиснення (V спадає) — A < 0, зовнішні сили виконують роботу над газом.

• Ізохорний процес (V = const) — A = 0.

На ізобарній ділянці роботу обчислюють як A = pΔV. На інших ділянках робота чисельно дорівнює площі під графіком p(V) між початковою й кінцевою точками процесу.

Знак зміни внутрішньої енергії ΔU

Оскільки ΔU = (3/2)·Δ(pV), знак ΔU збігається зі знаком зміни добутку pV:

• pV збільшується — ΔU > 0 (температура зростає).

• pV зменшується — ΔU < 0 (температура спадає).

• pV не змінюється (ізотерма) — ΔU = 0.

Важливо: знак ΔU визначається саме за добутком pV, а не за зміною самого тиску чи самого об'єму. Наприклад, під час ізобарного стиснення тиск сталий, але об'єм зменшується, тому pV зменшується — ΔU < 0.

Знак кількості теплоти Q

Кількість теплоти знаходять як суму: Q = ΔU + A. Якщо Q > 0 — газ отримує теплоту ззовні. Якщо Q < 0 — газ віддає теплоту довкіллю. Наприклад, під час ізотермічного розширення ΔU = 0, A > 0, тому Q = A > 0 — газ отримує теплоту й перетворює її на роботу.

Запам'ятай: Q = ΔU + A — це перший закон термодинаміки (не плутай його з рівнянням теплового балансу Q_отр = Q_від). Усі три величини вимірюються в джоулях (Дж).

Найзручніший спосіб швидко визначити знаки Q, ΔU і A для будь-якої ділянки графіка p(V) — запам'ятати таблицю типових процесів. Більшість ділянок у таких завданнях — один із восьми процесів цієї таблиці. Трапляються й довільні ділянки: для них знак A визначають за зміною V, а знак ΔU — за зміною pV.

Як користуватися таблицею

Визнач за графіком, який саме процес відбувається на ділянці: яка величина стала (V, p, T чи Q) і в якому напрямі змінюється об'єм. Потім знайди відповідний рядок у таблиці — знаки A, ΔU і Q вказано готовими. Наприклад, якщо бачиш на графіку вертикальний відрізок угору — це ізохорне нагрівання: A = 0, ΔU > 0, Q > 0.

Пояснення ключових рядків

Ізотермічне розширення: температура не змінюється, тому ΔU = 0. Газ розширюється (A > 0), але внутрішня енергія не спадає — це означає, що газ отримує теплоту ззовні, яка повністю перетворюється на роботу. Отже, Q = A > 0.

Адіабатне розширення: теплообміну немає (Q = 0). Газ виконує роботу (A > 0) за рахунок власної внутрішньої енергії, тому ΔU < 0 — газ охолоджується. Серед процесів таблиці знаки A і ΔU протилежні лише в адіабатних (розширенні й стисненні).

Ізобарне розширення: об'єм зростає (A > 0), добуток pV зростає (ΔU > 0), тому Q = ΔU + A > 0 — газ і отримує теплоту, і виконує роботу, і його внутрішня енергія збільшується.

У завданні можуть подати не окремі процеси, а замкнений цикл із кількох ділянок. Щоб зіставити кожну ділянку з відповідною трійкою знаків (Q, ΔU, A), треба аналізувати ділянки по черзі.

Аналіз циклу покроково

Розгляньмо цикл із трьох ділянок: (1) ізохорне нагрівання — вертикальний відрізок угору; (2) ізобарне розширення — горизонтальний відрізок управо; (3) повернення до початкової точки прямою лінією, на якій змінюються і p, і V.

Ділянка 1 (ізохора вгору): V = const, p зростає → pV зростає → ΔU > 0. Оскільки V = const, A = 0. Тоді Q = ΔU + 0 = ΔU > 0. Отже, трійка знаків: (Q > 0, ΔU > 0, A = 0).

Ділянка 2 (ізобара вправо): p = const, V зростає → pV зростає → ΔU > 0. Розширення → A > 0. Тоді Q = ΔU + A > 0. Трійка знаків: (Q > 0, ΔU > 0, A > 0).

Ділянка 3 (пряма вниз-вліво): V спадає (стиснення) → A < 0. Добуток pV зменшується (кінцева точка має менші p і V, ніж початкова) → ΔU < 0. Тоді Q = ΔU + A < 0 + (−|A|) < 0. Трійка знаків: (Q < 0, ΔU < 0, A < 0).

Робота на довільній ділянці

Якщо ділянка не є ізобарою, роботу газу визначають як площу під графіком p(V) на цій ділянці. Для розширення площа береться зі знаком «+», для стиснення — зі знаком «−». Знак ΔU визначають за зміною добутку pV між початковою й кінцевою точками, а Q — за формулою Q = ΔU + A.

Властивості замкненого циклу

Для будь-якого замкненого циклу зміна внутрішньої енергії за повний оберт дорівнює нулю: ΔU_цикл = 0. Тому кількість теплоти, отримана за цикл, дорівнює роботі, виконаній газом за цикл: Q_цикл = A_цикл. Робота за цикл чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком циклу. Якщо цикл обходиться за годинниковою стрілкою, сумарна робота додатна (A_цикл > 0); якщо проти — від'ємна.

Як зіставляти в завданні «логічні пари»

У завданні дають три ділянки (позначені 1, 2, 3) і п'ять варіантів відповідей (А–Д), серед яких два зайві. Для кожної ділянки визнач трійку знаків (Q, ΔU, A) за таблицею типових процесів. Потім знайди серед варіантів той, де знаки збігаються. Наприклад, якщо для ділянки 1 отримав (Q > 0, ΔU > 0, A = 0), шукай варіант, де написано «Q = ΔU, A = 0».

Розгляньмо чотири типові завдання на встановлення відповідності (логічні пари) за темою «Перший закон термодинаміки на графіку p(V)». Кожне завдання має три ділянки (1, 2, 3) і п'ять варіантів відповідей (А–Д), з яких два зайві.

Приклад 1. Ізохорне нагрівання, ізобарне розширення, ізотермічне стиснення

Умова: на графіку p(V) зображено три процеси з тим самим газом: 1 — ізохорне нагрівання (V = const, p зростає); 2 — ізобарне розширення (p = const, V зростає); 3 — ізотермічне стиснення (T = const, V спадає). Установіть відповідність між кожною ділянкою (1–3) і трійкою знаків (Q, ΔU, A).

Варіанти відповідей:

• А — (Q > 0, ΔU > 0, A = 0)

• Б — (Q > 0, ΔU > 0, A > 0)

• В — (Q < 0, ΔU = 0, A < 0)

• Г — (Q < 0, ΔU < 0, A < 0)

• Д — (Q > 0, ΔU = 0, A > 0)

Розв'язання:

Ділянка 1 (ізохорне нагрівання): V = const → A = 0. p зростає → pV зростає → ΔU > 0. Q = ΔU + A = ΔU > 0. Отже, трійка (Q > 0, ΔU > 0, A = 0) — варіант А.

Ділянка 2 (ізобарне розширення): p = const, V зростає → A > 0. pV зростає → ΔU > 0. Q = ΔU + A > 0. Трійка (Q > 0, ΔU > 0, A > 0) — варіант Б.

Ділянка 3 (ізотермічне стиснення): T = const → ΔU = 0. V спадає → A < 0. Q = 0 + A = A < 0. Трійка (Q < 0, ΔU = 0, A < 0) — варіант В.

Відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — В. Варіанти Г і Д — зайві.

Приклад 2. Ізотермічне розширення, ізотермічне стиснення, ізохорне охолодження

Умова: на графіку p(V) зображено три процеси: 1 — ізотермічне розширення; 2 — ізотермічне стиснення; 3 — ізохорне охолодження. Установіть відповідність між процесами (1–3) і трійками знаків (Q, ΔU, A).

Варіанти відповідей:

• А — (+, 0, +)

• Б — (−, 0, −)

• В — (−, −, 0)

• Г — (+, +, +)

• Д — (+, +, 0)

Розв'язання:

Процес 1 (ізотермічне розширення): ΔU = 0, A > 0, Q = A > 0 → (+, 0, +) — варіант А.

Процес 2 (ізотермічне стиснення): ΔU = 0, A < 0, Q = A < 0 → (−, 0, −) — варіант Б.

Процес 3 (ізохорне охолодження): A = 0, pV зменшується → ΔU < 0, Q = ΔU < 0 → (−, −, 0) — варіант В.

Відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — В. Зайві: Г (+, +, +) — ізобарне розширення, Д (+, +, 0) — ізохорне нагрівання.

Приклад 3. Ізохора, ізобара, адіабата

Умова: на графіку p(V) зображено три ділянки: (1) V = const, p збільшується; (2) p = const, V збільшується; (3) адіабатне розширення. Установіть відповідність між ділянками (1–3) і співвідношеннями між Q, ΔU і A.

Варіанти відповідей:

• А — Q = ΔU, A = 0

• Б — Q > ΔU > 0

• В — Q = 0, ΔU < 0

• Г — Q < 0, ΔU = 0

• Д — Q = 0, ΔU > 0

Розв'язання:

Ділянка 1 (ізохорне нагрівання): A = 0, тому Q = ΔU. Оскільки p зростає, ΔU > 0. Отже, Q = ΔU, A = 0 — варіант А.

Ділянка 2 (ізобарне розширення): A > 0, ΔU > 0, тому Q = ΔU + A > ΔU > 0. Отже, Q > ΔU > 0 — варіант Б.

Ділянка 3 (адіабатне розширення): Q = 0, A > 0, тому ΔU = −A < 0. Отже, Q = 0, ΔU < 0 — варіант В.

Відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — В. Зайві: Г (Q < 0, ΔU = 0) — ізотермічне стиснення; Д (Q = 0, ΔU > 0) — адіабатне стиснення.

Приклад 4. Відповідність знака ΔU до ділянок p–V

Умова: на графіку p(V) зображено три процеси: 1 — ізобарне розширення; 2 — ізотермічне стиснення; 3 — ізохорне охолодження. Установіть відповідність між процесами (1–3) і знаком зміни внутрішньої енергії ΔU.

Варіанти відповідей:

• А — ΔU > 0

• Б — ΔU = 0

• В — ΔU < 0

• Г — ΔU може бути будь-яким

• Д — ΔU = A

Розв'язання:

Процес 1 (ізобарне розширення): V зростає, p = const → pV зростає → ΔU > 0 — варіант А.

Процес 2 (ізотермічне стиснення): T = const → ΔU = 0 — варіант Б.

Процес 3 (ізохорне охолодження): V = const, p спадає → pV спадає → ΔU < 0 — варіант В.

Відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — В. Зайві: Г — у кожному з цих процесів знак ΔU визначений однозначно; Д (ΔU = A) — не виконується в жодному процесі: в ізобарному розширенні ΔU = 1,5A, в ізотермічному стисненні ΔU = 0 при A < 0, в ізохорному охолодженні A = 0 при ΔU < 0.

Під час розв'язування завдань на логічні пари з термодинаміки учні найчастіше припускаються таких помилок.

• Вважати, що під час ізотермічного процесу газ не обмінюється теплотою з довкіллям. Насправді на ізотермі ΔU = 0, але Q = A. Якщо газ розширюється (A > 0), він отримує теплоту (Q > 0). Якщо стискається (A < 0) — віддає теплоту (Q < 0). Ізотермічний процес потребує теплообміну, щоб температура залишалася сталою.

• Плутати роботу газу A з роботою над газом. У формулі Q = ΔU + A величина A — це робота, яку виконує газ. Якщо газ розширюється, A > 0; якщо газ стискають зовнішні сили, то A < 0. Робота над газом дорівнює −A.

• Визначати знак ΔU за зміною тиску, а не добутку pV. Наприклад, під час ізобарного стиснення тиск не змінюється, але об'єм зменшується, тому pV зменшується і ΔU < 0. Орієнтуватися тільки на зміну p — помилка.

• Вважати, що A = 0 у всіх процесах з нагріванням. Насправді A = 0 тільки в ізохорному процесі. В ізобарному та ізотермічному розширенні A > 0, навіть якщо газ нагрівається.

• Плутати ізотерму й адіабату на діаграмі p–V. Обидві — гіперболи, але адіабата крутіша. На ізотермі pV = const (ΔU = 0), на адіабаті Q = 0. Якщо на графіку дві гіперболи, крутіша — адіабата.

• Вважати, що Q завжди дорівнює ΔU. Це правильно тільки для ізохорного процесу (A = 0). В ізобарному процесі Q = ΔU + A, тому Q > ΔU. В ізотермічному Q = A, а ΔU = 0. В адіабатному Q = 0, а ΔU = −A.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання 15 — це завдання на встановлення відповідності (логічні пари) з теми «Перший закон термодинаміки для процесів, заданих графіком p(V)». Воно належить до теми 2.2 «Основи термодинаміки» із допоміжною темою 2.1 «Основи молекулярно-кінетичної теорії».

Формат завдання

Завдання має три рядки (позначені 1, 2, 3) і п'ять варіантів відповідей (А–Д). Кожному рядку потрібно поставити у відповідність один варіант. Два варіанти — зайві. Максимальна оцінка — 3 бали (по 1 балу за кожну правильну пару).

Що можна знайти в довідкових матеріалах

У довідці, яку надають на НМТ, є такі формули:

• Перший закон термодинаміки: Q = ΔU + A.

• Внутрішня енергія одноатомного ідеального газу: U = (3/2)·νRT.

• Робота газу: A = pΔV (для ізобарного процесу).

Однак вигляду графіків ізопроцесів, правил знаків для A, ΔU і Q у довідці немає. Це означає, що ти маєш знати ці правила напам'ять.

Стратегія виконання

Для кожної ділянки графіка виконай три кроки:

1. Визнач вид процесу за формою ділянки (вертикаль — ізохора, горизонталь — ізобара, гіпербола — ізотерма чи адіабата).

2. Визнач знак A за зміною об'єму (розширення → A > 0, стиснення → A < 0, V = const → A = 0).

3. Визнач знак ΔU за зміною добутку pV (pV зростає → ΔU > 0, спадає → ΔU < 0, const → ΔU = 0).

4. Обчисли знак Q за формулою Q = ΔU + A.

5. Знайди серед варіантів А–Д трійку знаків, яка збігається з отриманою.

Порада: спочатку проаналізуй усі три ділянки, запиши для кожної трійку знаків, а потім шукай збіги. Це швидше, ніж аналізувати ділянки по черзі й щоразу переглядати всі п'ять варіантів.

Час на одне завдання такого типу — приблизно 3–5 хвилин. Не затримуйся на одному завданні довше: якщо не впевнений, познач найімовірніший варіант і переходь до наступного.

• Перший закон термодинаміки: Q = ΔU + A, де A — робота газу (не робота над газом).

• Температура T пропорційна добутку pV: T ∝ pV. Знак ΔU збігається зі знаком зміни ΔT.

• Ізохорний процес (V = const): A = 0, Q = ΔU.

• Ізотермічний процес (T = const): ΔU = 0, Q = A.

• Адіабатний процес (Q = 0): ΔU = −A.

• Розширення: A > 0; стиснення: A < 0.

• Для замкненого циклу: ΔU_цикл = 0, Q_цикл = A_цикл, робота дорівнює площі циклу.

• У завданні «логічні пари»: для кожної з трьох ділянок визнач трійку знаків (Q, ΔU, A) і знайди збіг серед п'яти варіантів А–Д.